2023-2024学年福建省福州四中高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省福州四中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若1+ai1−i=2−i(其中i是虚数单位)，则实数a=(

)A.−3 B.−1 C.1 D.32.已知x是实数，则“x>2”是“x2+4x−12>0”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法错误的是(

)A.甲的数学成绩最后3次逐渐升高

B.甲的数学成绩在130分以上的次数多于乙的数学成绩在130分以上的次数

C.甲有5次考试成绩比乙高

D.甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差4.已知i为虚数单位，复数z满足|z−(3+2i)|=1，则复数z对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.若一个轴截面为正三角形的圆锥的顶点在球O的表面上，底面圆心与O重合，则该圆锥的表面积与球O的表面积之比为(

)A.1：4 B.1：2 C.1：6 D.1：36.在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E，F，G分别是AA1，A1A.22+33 B.27.已知在三棱锥A−BCD中，AD⊥平面BCD，∠ABD+∠CBD=π2，BD=BC=1，则三棱锥A−BCD外接球表面积的最小值为(

)A.25+14π B.58.已知函数f(x)=x2(1−2ex+1)，g(x)满足g(1+3x)+g(3−3x)=0，G(x)=f(x−2)−g(x)，若G(x)A.2n B.2n+1 C.4n D.4n+2二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知a，b，c为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是(

)A.若a//b，a⊂α，b⊂β，α∩β=c，则a//c

B.若a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，则a⊥α

C.若a//α，b//α，a∩b=A，a⊂β，b⊂β，则α//β

D.若α⊥β，α∩β=c，a⊥c，则a⊥β10.设向量a=(2,0)，b=(1,1)，则(

)A.|a|=|b| B.(a−b)//b11.已知函数f(x)=3sinxcosx−cosA.f(x)=sin(2x−π6)

B.函数f(x)的最小正周期为2π

C.x=π3是函数f(x)图象的一条对称轴

D.12.已知函数f(x)和实数m，n，则下列说法正确的是(

)A.定义在R上的函数f(x)恒有f(x)=f(m−nx)，则当n=1时，函数的图象有对称轴

B.定义在R上的函数f(x)恒有f(x)=f(m−nx)，则当n=−1时，函数具有周期性

C.若m=1，n=2，f(x)=−3x2+2x,x≤13f(m−nx),x>13，则∀t∈(−∞,13)，f(t)>f(23−t)恒成立

D.若m=4，n=1，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。13.若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为

．14.已知单位向量a,b满足2a+b15.设x，y是正实数，记S为x，y+1x，1y中的最小值，则S四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入200万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%．

(1)写出第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式，并指出函数的定义域；

(2)该企业从第几年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过400万元？

(参考数据lg0.11≈−0.959，lg1.1≈0.041，lg11≈1.041，lg2≈0.301)17.(本小题12分)

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π2)的一条对称轴为x=π6，且f(A)=12．

(1)求A18.(本小题12分)

在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，且满足b2+c2−a2=bc．

(Ⅰ)求角A的值；

(Ⅱ)若a=3，设角B的大小为19.(本小题12分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC=2，BC=23，AB=4，AA1=2，点D是AB的中点．

20.(本小题12分)

如图1所示，在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE=4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点．

(1)求证：DE⊥平面BCD；

(2)若EF//平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B−DEG的体积．

21.(本小题12分)

已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)．

(1)当c=b时，解关于x的不等式f(x)>1；

(2)若f(x)的值域为[1,+∞)，关于x的不等式f(x)<a的解集为(m,m+4)，求实数a的值；

(3)设g(x)=−2x2+3x2+1，函数f(g(x))的最大值为1参考答案1.A

2.A

3.C

4.A

5.A

6.D

7.B

8.D

9.AC

10.CD

11.ACD

12.ACD

13.814.π315.216.解：(1)第一年投入的资金数为200×(1+10%)万元，

第二年投入的资金数为200×(1+10%)2万元，

第x年(2019年为第一年)该企业投入的资金数y(万元)与x的函数关系式y=200(1+10%)x万元，

其定义域为{x∈N∗|x≤10}；

(2)由200(1+10%)x>400可得1.1x>2，即x>17.解：(1)∵函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π2)一条对称轴为x=π6，

∴f(π6)=sin(2×π6+φ)=±1，

∴π3+φ=kπ+π2，k∈Z，

∴φ=kπ+π6，k∈Z，

∵0<φ<π2，∴φ=π6，

∴f(x)=sin(2x+π6)，

∴f(A)=sin(2A+18.解：(Ⅰ)在△ABC中，由b2+c2−a2=bc及余弦定理，

得cosA=b2+c2−a22bc= 12，

而0<A<π，则A=π3；

(Ⅱ)由a=3，A=π3及正弦定理，

得bsinB=19.解：(1)证明：∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC

又AC=2，BC=23，AB=4，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC

又CC1∩BC=C，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1

∴AC⊥平面BCC1B1又B1C⊂平面BCC1B1，

20.解：(1)取AC的中点P，连接DP，

因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，

所以∠A=30°，△ADC是等腰三角形，所以DP⊥AC，DP=3，∠DCP=30°，∠PDC=60°，

又点E在线段AC上，CE=4，

所以AE=2，EP=1，所以∠EDP=30°，

∴∠EDC=90°，∴ED⊥DC；

∵将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，平面BDC∩平面EDC=DC

∴DE⊥平面BCD；

(2)若EF/​/平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，G为EC的中点，此时AE=EG=GC=2，

因为在Rt△ABC中，AC=6，BC=3，∠ABC=90°，CD为∠ACB的平分线，

所以BD=3，DC=32+(3)2=23，

所以B到DC的距离ℎ=BD⋅BCDC=3×323=32，

因为平面BCD⊥平面ACD21.解：(1)当c=b时，由f(x)>1得x2+bx+b−1>0，

即(x+b−1)(x+1)>0，

当1−b>−1，即b<2时，原不等式的解集为(−∞,−1)∪(1−b,+∞)，

当b=2时，原不等式的解集为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，

当b>2时，原不等式的解集为(−∞,1−b)∪(−1,+∞)．

(2)由f(x)的值域为[1,+∞)，得4c−b24=1，

因为关于x的不等式f(x)<a的解集为(m,m+4)，

所以m，m+4是方程f(x)=a的两个实根，

即x2+bx+c−a=0的两根之差为4，

所以4=(−b)2−4(c−a)，则b2−4(c−a)=164c