2023-2024学年江苏省连云港市灌云一中高一（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省连云港市灌云一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.MP+PQ−A.QN B.NQ C.PM D.MP2.掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a，设事件A=“a为3”，B=“a为4”，C=“a为奇数”，则下列结论正确是(

)A.A与B为互斥事件 B.A与B为对立事件 C.A与C为对立事件 D.A与C为互斥事件3.已知复数z满足z(3+i)=3+i2024，其中i为虚数单位，则z的共轭复数z−的虚部为A.−25i B.−25 4.某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为(

)A.110 B.1300 C.125005.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为13，弧长为10π的扇形，则该圆锥的体积为(

)A.100π B.120π C.150π D.300π6.在正四面体ABCD中，点E为棱BC的中点，F，G分别为棱CD，AC靠近C点的三等分点，则异面直线AE，FG所成角的余弦值为(

)A.−33

B.33

7.已知sin(α−π3)+3A.13 B.−13 C.78.已知△ABC的外接圆的圆心为O，且A=π3，BC=23，则OBA.32 B.3 C.2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1

B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5

C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23

D.若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1−1，210.设a，b为两条不重合的直线，α为一个平面，则下列说法正确的是(

)A.若a⊥b，b⊂α，则a⊥α B.若a⊥α，a//b，则b⊥α

C.若a//α，b⊂α，则a//b D.若a//α，b⊥α，则a⊥b11.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N，P分别是AA1，CCA.存在点Q，使B，N，P，Q四点共面

B.存在点Q，使PQ//平面MBN

C.三棱锥P−MBN的体积为23

D.经过C，M，B，N四点的球的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.给定数6，4，3，8，6，3，8，3，1，8，则这组数据的中位数是______．13.已知直三棱柱的侧棱长为3，直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形OAB(如图)，斜边长OB=1，则该直三棱柱的侧面积为______．14.已知事件A与B相互独立，P(A)=0.6，P(AB)=0.42，则P(A+B)=______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(2,4)，b=(x,1)．

(1)若向量a，b的夹角为锐角，求x的取值范围；；

(2)若(2a−16.(本小题15分)

为打造精品赛事，某市举办“南粵古驿道定向大赛”，该赛事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展．本次大赛分少年组、成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：组数速度(千米/小时)参赛人数(单位：人)少年组[6,8)300成年组[8,10)600专业组[10,12]b(1)求a，b的值；

(2)估计本次大赛所有选手的平均速度(同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到0.01)；

(3)通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访的2人都来自“成年组”的概率．17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA+sinC=a−csinB+csinA+sinC．

(1)求角A的大小；

(2)若a=2bcosB18.(本小题17分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.AB=CB=2，A1C=6．

19.(本小题17分)

已知函数f(x)=23sin2(x+π4)+2sin2x−3−1．

(1)当x∈[π12,5π12]，且g(x)=2mf(x)+sin答案解析1.B

【解析】解：MP+PQ−MN=NP2.A

【解析】解：∵设事件A=“a为3”，B=“a为4”，C=“a为奇数”，

∴A与B是互斥事件，

B与C是互斥事件，

这里没有对立事件，

A事件包含在C事件里，

故选：A．3.D

【解析】解：∵z(3+i)=3+i2024，i2024=(i2)1012=(−1)1012=1，

∴z(3+i)=4，∴z=43+i=4(3−i)4.A

【解析】解：根据分层抽样的特点可知，抽取的学生为25002500+350+150×300=250人，

则学生甲被抽到的概率P=2502500=15.A

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，高为ℎ，则2πr=10π，

所以r=5，高为ℎ=132−52=12，

所以该圆锥的体积为6.B

【解析】解：连接DE，设正四面体ABCD的棱长为2，

因为G，F

分别为AC，CD

的中点，则GF/​/AD，

所以异面直线AE，FG

所成角为∠DAE

(或其补角)，

在△ADE

中，则

AE=DE=3,AD=2，

由余弦定理可得cos∠DAE=AD2+AE2−DE22AD⋅AE=4+3−37.D

【解析】解：因为sin(α−π3)+3cosα

=12sinα−8.C

【解析】解：作出图形，如图所示：

∵A=π3，BC=23，

∴由正弦定理得2R=BCsinA=23sinπ3=4，故OA=OB=OC=2，

∵A=π3，

∴∠BOC=2π3，

则OB⋅AC=9.AC

【解析】解：对于选项A，个体m被抽到的概率是550=0.1，故正确；

对于选项B，1+2+m+6+7=4×5，∴m=4，

故S2=15×[(1−4)2+(2−4)2+(4−4)2+(6−4)2+(7−4)2]=5.2，

故错误；

对于选项C，∵8×70%=5.6，

∴数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是从小到大排序的第6个数，即为23，

故正确；

对于选项D，∵样本数据x1，x2，…，10.BD

【解析】解：若a⊥b，b⊂α，则a⊂α或a//α或a与α相交，相交也不一定垂直，故A错误；

若a⊥α，a//b，由直线与平面垂直的性质可得b⊥α，故B正确；

若a//α，b⊂α，则a//b或a与b异面，故C错误；

若b⊥α，则b垂直于所有与α平行的直线，又a//α，则a⊥b，故D正确．

故选：BD．11.ABD

【解析】解：对A选项，如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接A1B，CD1，

∵N，P分别是CC1，C1D1的中点，∴CD1//PN，

又CD1//A1B，∴A1B//PN，

∴A1，B，N，P四点共面，

即当Q与点A1重合时，B，N，P，Q四点共面，∴A选项正确；

对B选项，连接PQ，A1C1，当Q是D1A1的中点时，

∵PQ//A1C1，A1C1//MN，∴PQ//MN，

又PQ∉平面BMN，MN⊂平面BMN，

∴PQ//平面BMN，∴B选项正确；

对C选项，连接D1M，D1N，D1B，∵D1M//BN，

∴V三棱锥P−MBN=12.5

【解析】解：根据题意，将数据从小到大排列为：1，3，3，3，4，6，6，8，8，8，

则数据的中位数为12(4+6)=5．

故答案为：513.3(1+【解析】解：根据题意，直观图中，OA=22，

则在原图中，OA的对应边长为2，AB对应边长为3，且OB对应边长不变，

故直三棱柱底面三角形的周长为1+2+3，

14.0.88

【解析】解：因为事件A与B相互独立，

所以P(AB)=P(A)×P(B)=0.6×P(B)=0.42⇒P(B)=0.7，

所以P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.6+0.7−0.42=0.88．

故答案为：0.88．

15.解：(1)∵向量a，b的夹角为锐角，

∴a⋅b>0且a与b不共线，

则2x+4>02−4x≠0，解得x>−2且x≠12，

故x的取值范围是{x|x>−2且x≠12}；

(2)由a=(2,4)，b=(x,1)，

得2a−b=2(2,4)−(x,1)=(4−x,7)，

【解析】(1)由两向量夹角为锐角可得数量积大于0，但要排除同向共线的情况；

(2)由(2a−b)⊥a，求出16.解：(1)由频率分布直方图得：

0.1+0.15+a+0.3+0.15+0.1=1，

解得a=0.2．

少年组人数为300人，频率P1=0.1+0.15=0.25，

总人数n=3000.25=1200人，

∴b=1200−300−600=300，

∴a=0.2，b=300．

(2)平均速度为：

v−=6.5×0.1+7.5×0.15+8.5×0.2+9.5×0.3+10.5×0.15+11.5×0.1=9.05．

∴估计本次大赛的平均速度为9.05千米/小时．

(3)成年组和专业组的参赛人数分别为600人，300人，

设在成年组和专业组抽取的人数分别为x，y，

则6600+300=x600=y300，

解得x=4，y=2，

∴由分层抽样在成年组中抽取4人，专业组中抽取2人，

设成年组中的4人分别用A，B，C，D表示，专业组中的2人分别用a，b表示，

从中抽取2人均来自成年组的所有结果为：

AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，DB，ab，共15种，

接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：

AB，AC，AD，BC，【解析】(1)由频率分布直方图列方程，求出a，利用少年组人数为300人，频率为0.25，能求出总人数n，由此能求出b．

(2)由频率分布直方图能估计本次大赛的平均速度．

(3)成年组和专业组的参赛人数分别为600人，300人，设在成年组和专业组抽取的人数分别为x，y，利用分层抽样的性质列方程能求出由分层抽样在成年组中抽取4人，专业组中抽取2人，设成年组中的4人分别用A，B，C，D表示，专业组中的2人分别用a，b表示，从中抽取2人，利用列举法能求出接受采访的2人都来自成年组的概率．

17.解：(1)因为bsinA+sinC=a−csinB+csinA+sinC，

由正弦定理可得：ba+c=a−cb+ca+c，化简可得：b2+c2−a2=bc，

由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，

因为A是三角形ABC内角，则A=π3；

(2)由a=2bcosB，则sinA=2sinBcosB=sin2B，

则A=2B或A+2B=π，所以B=π6【解析】(1)利用正余弦定理化简即可求解；(2)利用正弦定理求出A=2B或A+2B=π，由此即可求出B，C，然后分三角形ABC为等边三角形和直角三角形，分别求解即可．

18.解：(1)证明：取AB中点O，连结OC，A1B，A1O，

∵AB=AA1，∠BAA1=60°，

∴△BAA1是正三角形，

∴A1O⊥AB，

∵CA=CB，

∴CO⊥AB，

又CO∩A1O=O，CO⊂平面COA1，A1O⊂平面COA1，

∴AB⊥平面COA1，

又∵A1C⊂平面COA1，

∴AB⊥A1C；

(2)由题设知△ABC与△AAB都是边长为2的等边三角形，

所以OC=OA1=3，

又A1C=6，A1C2=OC2+OA12，

故OA1⊥OC，

因为OC∩AB=O，OC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，

所以OA1⊥平面ABC，

即OA1为三棱柱ABC−A1B1C1的高，

又△ABC的面积S=3，

故三棱柱ABC−A1B1C1的体积V=S×OA1=3×3=3；【解析】(1)取AB中点O，通过证明A1O⊥AB，CO⊥AB，可得AB⊥平面COA1，再由线面垂直的性质即可得证；

(2)先证明OA1为三棱柱ABC−A1B1C1的高，再由棱柱的体积公式求解即可；

(3)过O作OH⊥A19.解：(1)f(x)=23×12[1−cos(2x+π2)]+1−cos2x−3−1=3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，

当x∈[π12,5π12]时，令s=2x−π6∈[0,2π3]，则2x=s+π6,sins∈[0,1]，

∴g(x)=4msinx+sin(2s+π2)=cos2s+4msins=−2sin2s+4msins+1，

令t=sins∈[0,1]，y=−2t2+4mt+1，该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线t=m，

①当m≤0时，二次函数y=−2t2+4mt+1在[0,1]上单调递减，

则ymax=