2021-2022学年浙教版新八年级暑期数学讲义-第十四讲 直角三角形全等的判定

第十四讲直角三角形全等的判定

2.8直角三角形全等的判定

鼻学习门标】

1.理祢和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法一一“斜边，直角边"(即“HL”).

2.能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等.

3.了解角平分线的判定：角的内部，到角两边距离相等的点，在角平分线上，及其简单应用.

【基础知识】

一、判定直角三角形全等的一般方法

由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，

这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理.

二、判定直角三角形全等的特殊方法一一斜边，直角边定理

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).这个判

定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备.

要点：

(1)“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状

和大小就确定了.

(2)判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL.证明两个直角三角形全等，

首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法.

(3)应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△的条件.

三、角平分线的判定定理

角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

要点：这个定理和“角平分线上的点到角两边的距离相等”是互逆定理.它们的题设和结论交换了位置,

运用的时候，一定要分清题设是什么，求证的结论又是什么.切不可发生混淆.

第【考点剖析】

、1例1.下列条件不能判定两个直角三角形全等的是()

A.两条直角边对应相等B.斜边和一锐角对应相等

C.斜边和一直角边对应相等D.两个锐角对应相等

【答案】D

【解析】

根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解.

解：A、可以利用边角边判定两三角形全等，故本选项不合题意:

B、可以利用角角边判定两三角形全等，故本选项不合题意；

C、根据斜边直角边定理判定两三角形全等，故本选项不合题意;

D.三个角对应相等不能证明两三角形全等，故本选项符合题意;

故选：D.

【点睛】

本题考查了直角三角形全等的判定方法;本题主要利用三角形全等的判定，运用好有一对相等的直角这一隐含条

件是解题的关键.

2.如图，BE=CF,AE±BC,DF±BC,要根据“HL”证明RsABE^RtADCF,则还需要添加一个条

△ll例

件是（）

B.ZA=ZDC.ZB=ZCD.AB=CD

【答案】D

【解析】

根据垂直定义求出NCFD=NAEB=90。，由已知5£=C尸，再根据全等三角形的判定定理推出即可.

添加的条件是AB=CD；理由如下：

VAE1BC,DF1BC,

.".ZCFD=ZAEB=90°,

在RtAABE和RtADCF中,

AB=CD

BE=CF'

:•RtAABE^RsDCF(HL).

故选：D.

【点睛】

木题考查了全等三角形的判定定理的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键.

3.如图，RhABC中，ZBAC=90°,DE工BC，AC=6,EC=6,ZACB=O)°,则ZACD

等于（)

A

D.

H

A.45°B.30°C.20°D.15°

【答案】B

【解析】

利用HL可证明△ACDgZ\ECD,可得NACD=NECD,即可得答案.

•;DE±BC，

:.ZDAC=ADEC=90°.

DC=DC

在用八48和四△EC。中，，

AC=EC=6'

Rt^ACD会RtAECD(HL),

:.ZACD=NECD.

•.•ZACS=60。，

NACO=30。.

故选：B.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定定理有：SSS、SAS、ASA、AAS,HL等，注意：AAA、

SSA不能判定两个三角形全等，当运用SAS时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并汉话运用适当的判定方法是

解题关键.

P例4.下列条件中：①两条直角边分别相等；②两个锐角分别相等；③斜边和一条直角边分别相等；④一

条边和一个锐角分别相等；⑤斜边和一锐角分别相等；⑥两条边分别相等.其中能判断两个直角三角形全等的有

()

A.6个B.5个C.4个D.3个

【答案】D

【解析】

画出两直角三角形，根据选项条件结合图形逐个判断即可.

【详解】

①两条直角边分别相等；正确；

②两个锐角分别相等；两直角三角形相似不一定全等，错误；

③斜边和一条直角边分别相等，正确；

④一条边和一个锐角分别相等；若斜边和另个三角形的直角边相等则不全等，错误；

⑤斜边和一锐角分别相等；正确；

⑥两条边分别相等，若一直角三角形的斜边和另一三角形的直角边相等，另一组直角边相等，则不全等，错误；

其中能判断两个直角三角形全等的有3个.

故选D.

【点睛】

本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意：直角三角形的全等的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,HL.

例5.如图所示，点。在NAO5的内部，DE±OA,DFLOB,垂足分别为£，F，DE=DF，

则ZA8与的大小关系是（）

A.ZAOD>ZBODB.ZAOD^ZBODC.ZAOD<ZBODD.无法确定

【答案】B

【解析】

由角平分线的判定定理可知，点。在NAO8的平分线上，据此解题.

\-DElOA,DFLOB,DE=DF，

.••点。在NAOB的平分线上，

：.ZAOD=ZBOD.

故选：B.

【点睛】

木题考查角平分线的判定定理及角平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

f\］例6.如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离

相等，凉亭的位置应选在（)

A

A.AABC三条中线的交点B.AABC三条角平分线的交点

C.AABC三条高所在直线的交点D.以上均不正确

【答案】B

【解析】

根据题意，想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以要选角平分线的交点.

•••要使凉亭到草坪三边的距离相等，

凉亭应在△A8C三条角平分线的交点处.

故选B.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质，需要注意区分三角形中线的交点、高的交点、垂直平分线的交点以及角平分线的交

点之间的区别.

7.用三角尺画角平分线：如图，先在NAOB的两边分别取=再分别过点M，N作。4,

0B的垂线，交点为P.得到0P平分NAOB的依据是（）

A.HLB.SSSC.SASD.ASA

【答案】A

【解析】

利用垂直得到NPMO=NPNO=90°，再由OM=ON,0尸=0尸即可根据HL证明

△PMO也△PNO(HL)，由此得到答案.

-PM±OA,PN1OB,

•••ZPMO=ZPNO=900-

•；OM=ON，OP=OP,

：.△PMO也△PNO(HL),

：.4P0A=4P0B,

故选：A.

【点睛】

此题考查三角形全等的判定定理.：SSS、SAS、ASA、AAS,HL,根据题中的已知条件确定对应相等的边或角，

由此利用以上五种方法中的任意一种证明两个三角形全等.

例8.如图，有两个长度相同的滑梯(即BC=EF),左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF

相等，则有下列结论：①AB=DE；®ZABC=ZDEF；®ZACB=ZDFE；④/ABC+/DFE=90。.其中成立的

是()

E

BADF

A.①©③④B.①②③C.①②D.②③

【答案】A

【解析】

利用HL证明△ABCgADEF,根据全等三角形的性质，可判断各结论.

在RSABC和RtADEF中，

BC=EF

AC=DF'

.•.RtAABC^RtADEF(HL).

则①AB=DE,正确；

②NABC=NDEF,正确；

③NACB=NDFE,正确；

ZDEF+ZDFE=90°

④/ABC+NDFE=90°正确；

故选A.

【点睛】

本题考查了全等三角形的应用，解答本题的关键是判断△ABC乡ADEF,注意掌握全等三角形的性质：对应边相

等、对应角相等.

［、］例9.如图，在AABC中，AB=AC,A£>平分44C，DE±AB，DFLAC，E、/为垂足,

则下列四个结论：①/DEF=/DFE；②隹=AF；③A。垂直平分£尸；④跖垂直平分A。，其中正确

的个数是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

由题意易得£应=£)尸，然后可判定①，进而可证AAEZ注△AFD，最后可求解问题.

解：：AZ>平分N3AC,DEX.AB，DFA.AC-

：•DE=DF，ZAED=ZAFD=9Q。、

；-ADEF=/DFE，故①正确：

；AO=A。，

Rt&AE哈Rt&AFD(HL),

AAE=AF,故②正确；

二AO垂直平分E尸，故③正确；

由已知及①②③的结论无法得出所垂直平分AD，故④错误；

正确的个数有3个；

故选C.

【点睛】

本题主要考查直角三角形全等的判定、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理，熟练掌握直角三角形全

等的判定、等腰三角形的判定及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键.

|\〕例1().如图，在AABC中，OE垂直平分8C，垂足为E,平分NB4C,MD_LA8于点

ND,AC的延长线于点N,己知MB=4,则CN=()

E

A.5B.2V2C.4D.40

【答案】C

【解析】

因为即是BC的垂直平分线，那么BO=C£),而AD是NBAC的平分线，DMLAB,DNLAC,根据角平分线的

性质可得DM=DN,再根据HL可判定RtABMD名RtACND,从而有BM=CN.

【详解】

解：连接BD,如图：

所在直线是BC的垂宜平分线,

；.BD=CD,

平分NB4C,DM1AB,DNLAC,

DM=DN,

BD=DC

在RtABMD与RtACDN中,

DM=DN

：.RtABMD^RtACDN(HL),

:.BM=CN=4,

故选：C.

【点睛】

本题考查了全等二角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的定义以及性质,

掌握角平分线的性质以及具体的应用.

【过关检测】

一、单选题

1.如图，已知ACJ.B。，垂足为。，AO=CO,AB=CD,则可得到△AOBwACOD,理由是（）

SASC.ASAD.AAS

【答案】A

【解析】

根据全等三角形的判定定理分析即可.

解:；AC1BD

：.ZAOB=ZCOD=90°

在RtAAOB和RtACOD中

AO=CO

AB=CD

:.AAOBwkCOD(HL)

故选A.

【点睛】

此题考查的是全等三角形的判定定理,掌握用HL判定两个三角形全等是解决此题的关键.

2.如图所示，在AABC与△。上尸中,AB=DE，BC=EF,NC=NF=90。.能判定这两个三角形全等

C.ASSD.HL

【答案】D

【解析】

根据直角三角形全等的判定方法解答即可.

【详解】

在AABC与△£）£：/中，AB=DE,BC=EF,ZC=ZF=90°,根据HL可以判定这两个三角形全等，故选项D

符合题意.

故选：D.

【点睛】

本题考查了直角三角形全等的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用直角三

角形全等的判定.

3.下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（）

A.斜边相等

B.面积相等

C.两锐角对应相等

D.两直角边对应相等

【答案】D

【解析】

试题分析：直角三角形全等的判定方法有SSS、SAS、AAS、ASA以及HL判定定理，根据判定方法只有D

选项可以进行判定.

考点：直角三角形的判定

4.如图，在4ABCCDE中，若NACB=/CEZ）=90。，AB=CD,CE=AC,则下列结论中正确的是（)

B.2BE=CDC.CB=CDD.△ABC也△COE

【答案】D

【解析】

首先利用HL定理证明RtAABC乌Rt&CDE,然后根据全等三角形的性质，即可一一判断.

【详解】

解：VZACB^ZCED=9Q°

AB=CD

在RmABC与RtACCE中，<,

CE=AC

:.RtxABC迫RmCDE(HL),

；.CB=DE,CE=AC,CD=AB,△ABC^/XCDE,故。符合题意，其他选项不符合题意

故选：D.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，掌握乩定理判定三角形全等是解题关键

5.如图，点E是/40B的平分线上一点，ECJ_Q4,E£>_LO8,垂足分别是C,£>.下列结论中正确的有()

(1)ED=EC；(2)OD=OC-,(3)ZECD=ZEDC；(4)£。平分/。《:；(5)OELCD-,(6)直线

0E是线段C。的垂直平分线.

【答案】D

【解析】

根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EC=ED,再利用“乩”证明RtAOCE和RtAODE全等,根

据全等三角形对应边相等可得。。=。仁全等三角形对应边相等可NEC£>=/EDC,再根据等腰三角形三

线合一的性质和角平分线的定义解答.

【详解】

:点E是/A02的平分线上一点，ECVOA,EDLOB,

：.EC=ED,故(1)正确；

OE=0E

在RtAOCE和RtAODE中，《，

[EC^ED

ARtAODE(HL),

：.OD=OC,NECD=NEDC,故(2)(3)正确：

二£。平分/。后(工故(4)正确;

VOC=OD,0E平分NA08,

：.OE±CD,故(5)正确；

直线0E是线段C。的垂直平分线，故(6)正确；

综上所述，6个结论都正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定(HZJ和性质及等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是

掌握全等三角形的判定(HL)和性质.

6.如图，已知AC平分CE_LAB于£,CF，AO于尸，且3C=C£).若A6=21，A£>=9,

A.8B.8.5C.9D.7

【答案】A

【解析】

【解析】

由角平分线的定义及所给条件，利用AAS可证明△ACE丝AACF,进而得到RsCDF/RsCEB,可得

DF=BE,再由AE-AF,可证得DF=BE,利用线段和差可求得BE、AE,在RsBCE中可求得CE,则可

求得CF.

【详解】

解：：AC平分NBAD，CE_LAB于E，CFLAD于F，

二4AC=NCAD，/AFC=NAEC=90°，

在AACE和AACF中，

ZBAC=ZCAD

<ZAFC=ZAEC,

AC=AC

AACE^AACF(AAS)；

/.CE=CF.AF=AE,

又在RtACDF和RtACEB中

CD=CB

CF=CE'

：.RtACDF=RtACEB(HL),

DF=EB，

AD+DF=AF=AE=AB—EB，

；AB=21，AD=9,

.•.9+DF=21-EB，

EB=DF=6，

AF=15.

又•:AC=17,

二在RtAACF中，根据勾股定理可得CF=8.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、

AAS和HL.

7.如图，在RtAABC中，ZACB^90°，3c=4cm,在AC上取一点E,使EC=,过点E作跖J_AC,

连接C凡使CE=A3,若所=10cm,则AE的长为（）

A.5cmB.6cmC.7cmD.无法计算

【答案】B

【解析】

证明RtAACB^RtAFEC,得到AC=£,F=10cm,EC=BC=4cm,即可求出AE的长度.

【详解】

EFLAC,

：.ZCEF=ZACB=90°.

在RtAACB和RSFEC中，

AB=FC

BC=CE'

RtAACB=RtAFEC.

AC=EF=1Ocm,EC=BC=4cm，

AE=AC-EC=6cm,

故选：B.

【点睛】

此题考查三角形全等的判定及性质，熟记三角形全等的判定定理，根据题意准确确定对应相等的条件正确

三角形全等是解题的关键.

8.如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE_LAB于E,DFJ_AC于F,则下列结论：①DE=DF；

②BD=CD；③AE=AF；④NADE=NADF,其中正确结论的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

根据角平分线的性质可得①正确，即可证出△ADE冬aADF,可得③④正确.

【详解】

：AD是△ABC的角平分线，DE1AB,DF1AC,

，DE=DF,

VAD=AD

/.RtAADE且RtAADF,(HL)

，AE=AF,ZADE=ZADF.

故①③④正确；

•••只有等腰三角形顶角的平分线才是底边的中线，

②错误.

故选C.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质.

9.如图，AD是^ABC的角平分线，DFLAB,垂足为F,DE=DG,△ADG和AAED的面积分别为50和

39,则4EDF的面积为()

A.11B.5.5C.7.5D.12.5

【答案】B

【解析】

作ZW=DE交AC于作。N_LAC,利用角平分线的性质得到QN=OF,将三角形ED尸的面积

转化为三角形DNM的面积来求.

【详解】

解：作=交AC于M，作ONLAC于点N,

•;DE=DG,

DM=DG,

•.•AD是AA3C的角平分线，。尸_LA6，

:.DF=DN,

在RtADEF和RtADMN中，

DN=DF

DM=DE'

RtADEF=RtADMN(HL),

QD4X；和/SAED的面积分别为50和39,

S/MDG=SiADG-5^=50-39=11,

SWM=S4H0c=—xl1=5.5.

故选:B.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线，将所求的三角

形的面积转化为另外的三角形的面积来求.

10.如图，点C,E分别在B。，AC上，ACLBD,且A8=QE,AC=CD,则下列结论错误的是（）

BCD

A.AE=CEB.NA=N：DC.NEBC=45。D.ABIDE

【答案】A

【解析】

由“HL”可证RtAABC^RtADEC,可得NA=ND,BC=CE,可得NEBC=45。，由余角的性质可证ABJ_DE,

利用排除法可求解.

【详解】

如图，延长DE交于点4,

BCD

VAC1BD,

・•・ZACB=ZECD=90°9

在RtAABC和RtADEC中，

AB=DE

AC=CD'

/.RtADECkHL）,

，NA=NO,BC=CE,

；.NEBC=45。,

'：NA+/ABC=90。，

:.NQ+/ABC=90。，

.,.AB1.DE,

AB,C,D正确；

故选：A.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，证明RSABC^RtADEC是本题的关键.

11.如图，AABC中，4AC=60°,ZR4C的平分线A£＞与边8C的垂直平分线相交于点£），

DELAfi交A3的延长线于点E，_LAC于点F，现有下列结论：①DE=DF；②DE+DF=AD；

③ZW平分NA。/；®AB+AC^2AE.其中正确的有（）

A.①②B.①②③④C.①②④D.②④

【答案】C

【解析】

①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知NEAD=NFAD=30。，故此可知ED=^AD,DF=—AD,

22

从而可证明②正确；③若DM平分NEDF,则NEDM=60。，从而得到NABC为等边三角形，条件不足，不

能确定，故③错误；④连接BD、DC,然后证明△EBD丝Z\DFC,从而得到BE=FC,从而可证明④.

【详解】

解：如图所示：连接BD、DC.

A

①：AD平分NBAC,DEIAB,DF1AC,

，ED=DF.

.,•①正确.

@VZEAC=60°,AD平分NBAC,

二ZEAD=ZFAD=30°.

VDE1AB,

二ZAED=90°.

VZAED=90°,NEAD=30。，

.*.ED=—AD.

2

同理：DF=^AD.

2

；.DE+DF=AD.

，②正确.

③由题意可知：ZEDA=ZADF=60°.

假设MD平分NEDF,则ZADM=30。.则/EDM=60。,

又：/E=NBMD=90。，

AZEBM=120°.

二ZABC=60°.

VZABC是否等于60。不知道，

,不能判定MD平分/EDF,

故③错误.

@VDM是BC的垂直平分线，

/.DB=DC,

在RtABED和R（ACFD中

DE=DF

BD=DC'

BED出RSCFD.

，BE=FC.

，AB+AC=AE-BE+AF+FC

又：AE=AF,BE=FC,

；.AB+AC=2AE.

故④正确.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助

线的作法是解题的关键.

12.在四边形ABCD中，AB〃CD,ZA=90°,AB=1,BD±BC,BD=BC,CF平分/BCD交BD、AD

于E、F,则△EDC的面积为（）

A.2-y2-2B.3y/2~2C.2-y/2D.-1

【答案】C

【解析】

先过点E作EGJ_CD于G,再判定△BCD、△ABD都是等腰直角三角形，并求得其边长，最后利用等腰直

角三角形，求得EG的长，进而得到AEDC的面积.

【详解】

解：过点E作EGLCD于G,

又；CF平分/BCD,BD±BC,

；.BE=GE,

在RtABCE和RtAGCE中

CE=CE

BE=GE

：.RtABCE丝RSGCE,

；.BC=GC,

VBD±BC,BD=BC,

/.△BCD是等腰直角三角形,

/.ZBDC=45°,

VAB//CD,

二NABD=45°,

又：NA=90°,AB=1,

二等腰直角:.角形ABD中，BD=Tf+l7=0=BC,

...RsBDC中，CD==2,

ADG=DC-GC=2-五,

「△DEG是等腰直角三角形,

；.EG=DG=2-6,

...△EDC的面积=JxDCxEG=gx2x（2-夜）=2-72.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质,以及勾股定

理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形EDG进行求解.

二、填空题

13.结合如图，用符号语言表达定理“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”的推理形式:

D

在用AABC和R/AD防中，ZC=ZF=90°,

AC^DF,

:.Rt^ABC=RtM)EF.

【答案】AB=DE

【解析】

根据判断两个直角三角形全等的条件“HL”即可填空.

【详解】

AC和DF为直角边.再利用“HL”，可知两个直角三角形的斜边相等即可证明这两个三角形全等.

填AB=DE.

故答案为：AB=DE.

【点睛】

本题考查直角三角形全等的判定条件“HL”，掌握判定直角三角形全等的判定定理是解答本题的关键.

14.如图，在AABC中、ZC=90°.BE平分NA8C交BC于点E.ED_LAB、垂足为D、若8c=8,

AB=17,则△4)£的周长为.

【解析】

由NC=90°,BC=8,AB=17,求解AC,由NC=90°，BE平分NABC交BC于点E.ED上AB,

证明皮＞=EC,再证明8C=8O,求解AO,从而可得答案.

【详解】

解：•••ZC=90°,BC=8,AB=17,

AC=V172-82=J25x9=15,

・・•ZC=90°,BE平分NA8C交BC于点E.EDA.AB^

/.ED=EC,

:BE=BE,

：.RtABCE沿RtABDE(HL),

.-.BC=BD=S,

A£)=AB—3。=17—8=9,

：.C4ADn匕F^AD+DE+AE=AD+CE+AE=9+AC=9+15=24.

故答案为：24.

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.

15.下列说法中，①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；②有两边和它们的夹角对应相等的

两个直角全角形全等；③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；④两个锐角对应相等的两个直角

三角形全等，其中正确的是(填序号)

【答案】①②③

【解析】

根据直角三角形全等的判定条件可直接进行逐一排除.

【详解】

解：①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形，由“HL”可判定全等，故正确；

②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角全角形，由“SAS”可判定全等，故正确；

③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，可由“AAS”或“ASA”判定全等，故正确；

④两个锐角对应相等的两个宜角三角形，无法判定全等，因为没有对应边的相等，故错误；

所以正确的有①②③；

故答案为①②③.

【点睛】

本题主要考查直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形的全等判定条件是解题的关键.

16.阅读后填空：

已知：如图，NA=ND=90。，AC=DB,AC、DB相交于点O.

求证：OA=OD.

分析：要证OA=OD,可证AABO丝ADCO；

要证AABO畛ADCO,可先证AABCZADCB得出AB=DC这个结论;

而用可证AABC^ADCB(填SAS或AAS或HL).

【答案】HL

【解析】

根据HL定理推出RtAABC也RtAOCB,求出/ACB=NQBC,再根据等角等边求出即可.

【详解】

解：：NA=NO=90。，

.•.在RtAABC和RtADCB中，

BC=CB

AC=DB

；.RtAABC多RtAOC8(HL),

：./ACB=ZDBC,

；.OB=OC,

故答案为：HL.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的

关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS,AAS,ASA,SSS,直角三角形全等还有也定理.

17.如图，在中，ZC=90°,AC=10,BC=5,线段PQ=AB,P,。两点分别在线段AC

和过点4且垂直于AC的射线AO上运动，当AQ=时，AABC和△PQ4全等.

【答案】5或10

【解析】

分两种情况：当AQ=5时，当AQ=10时，利用全等三角形的判定及性质定理得到结论.

【详解】

分两种情况：

当AQ=5时，

,/BC=5,

；.AQ=BC,

VADIAC,

/.ZQAP=ZACB=90°.

VAB=PQ,

△ABC^APQA(HL)；

当AQ=(O时,

AC=10，

，AQ=AC,

VADIAC,

/.ZQAP=ZACB=90°,

；AB=PQ,

.,.△ABC^AQPA,

故答案为：5或10.

【点睛】

此题考查全等三角形的判定及性质定理，运用分类思想，动点问题，熟记三角形的判定定理及性质定理是

解题的关键.

18.如图，点。在BC上，于点E,OF_LBC交AC于点尸，BD=CF,BE=CD.若NAFO=145。,

【解析】

由NAF£>=145。可求得/CFD=35。，证明RlABDE^ARlACFD,根据对应角相等推知/BDE=/CFD=35。,

进而可求出NED尸的值.

【详解】

解：VZDFC+ZAFD=180°,NAFD=145°,

，ZCFD=35°.

XVDE1AB,DF±BC,

:.ZBED=ZCDF=90°,

在RtABDE与ARtACFD中，

BE=CD

BD=CF'

.*.RtABDE^ARtACFD(HL),

/.ZBDE=ZCFD=35°,

ZEDF=180o-90°-35o=55°.

故答案是：55°.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质.全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重

要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件.

19.如图，MN//PQ,A5_LPQ,点A，D，8,C分别在直线MN与P。上，点E在A3t,AD+BC=7,

AD=EB，DE=EC,则AB=.

【答案】7

【解析】

先根据平行线的性质证出/DAE=/EBC=90。，再利用HL证出RtAAZ)E^RtABEC,从而得出AE=BC,

AD=BE,然后利用等量代换即可求出结论.

【详解】

解：•：ABLPQ,

，ZEBC=90°

MN//PQ

：./DAE=180O-ZEBC=90°

，ZDAE=ZEBC

在Rt^ADE和RtZXBEC中

AD=EB

DE=EC

•••RQAZ3E^RtZxBEC

；.AE=BC,AD=BE

；.AB=AE+BE=BC+AD=7

故答案为：7.

【点睛】

此题考查的是全等三角形的判定及性质和平行线的性质，掌握全等三角形的判定及性质和平行线的性质是

解题关键.

20.如图，在直角AABC中，ZB=90°,AE平分NBAC,交BC边于点E,若BC=5,AC=13,则AA£C

的面积是.

【答案】y

【解析】

如图（见解析），先利用勾股定理可得48=12,再根据角平分线的性质可得应：=0E，然后根据直角三

角形全等的判定定理与性质可得AD=AB=12,从而可得CD=1,设OE=8E=x,在拉△CDE中，利

用勾股定理可求出x的值，最后利用三角形的面积公式即可得.

【详解】

如图，过点E作EOLAC于点D,

B

.・・在中，ZB=90°,BC=5,AC=13,

:.AB=yjACI2-BC2=12-

.「AEt平分N8AC,且ED_LAC,NB=90°,

:.BE=DE，

[BE=DE

在WAABE和心△?1£)£中，《，，

AE=AE

RtSBE三RtSDE(HL),

..AD=AB=\2<

：.CD^AC-AD=\,

设DE=BE=%，则CE=BC—BE=5—x,

在RtACDE中,CD2+DE=CE?,即F+f=0一4，

解得X=y,

12

即£>E=?,

I11278

则AAEC的面积是一ACOE=—xl3x—=—.

2255

78

故答案为：.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握角平分线

的性质是解题关键.

21.如图，AD是△ABC的角平分线，DFLAB,垂足为F,DE=DG,△ADG和△AED的面积分别为48

和26,求^EDF的面积.

【答案】11

【解析】

作DHJLAC于H,根据角平分线的性质得到DF=DH,证明RsFDE丝RsHDG,RtAFDA^RtAHDA,

根据题意列方程，解方程即可.

【详解】

解：如图，作DHLAC于H,

：AD是△ABC的角平分线，DFJ_AB,DH1AC,

；.DF=DH,

在RSFDE和RtAHDG中，

DF=DH

DE=DG'

ARtAFDE^RtAHDG(HL),

同理，RtAFDA^RtAHDA(HL),

设AEDF的面枳为x,由题意得，

48-A26+X,

解得H，

即^EDF的面积为11,

故答案为：11.

【点睛】

本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等

是解题的关键.

22.如图，CA=CB,CD=CE,NACB=/DCE=50。，AD、BE交于点H,连接CH,则NCHE=

【答案】65°

【解析】

先判断出A4CD三MCE,再判断出△ACMMABCN即可得到C”平分NAHE，即可得出结论.

【详解】

解：如图，•.•ZAC8=ZDCE，

:.NACD=NBCE，

CA=CB

在MCD和KBCE中，＜NACD=NBCE

CD=CE

:.^ACD=^BCE(SAS)；

过点。作CMLACTFM，CN工BE于N,

•;MCD^^BCE,

：.ZCAM=ZCBN,

ZCAM=NCBN

在&ACM和ABCN中，＜ZAMC=ZBNC=90°

AC=BC

AACM=ABCN,

:.CM=CN,

CM=CN

在RtACMH与RtACNH中＜

CH-CH

RlACMH三RtACNH(HL),

ZMCH=ZNCH,

.\CH平分ZAHE：

•.•△ACD合ABCE，

:./CAD=/CBE,

♦：ZAFC=4BFH,

:.ZAHB=ZACB=50°,

/.ZAHE=180°-50°=130°,

NC”E=LzAH£=4x130。=65。,

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意

掌握数形结合思想的应用.

三、解答题

23.如图，AABC中，。为AC的中点，于E,DF1,BC于F,且DE=DF，求证：BA=BC.

【解析】

只要证明放△AOEgRSCQF,推出/A=/C,可得BA=BC,即可得到结论.

【详解】

解：证明：'：DELAB,DFLBC,垂足分别为点E,F,

ZA£D=ZCFD=90°,

为AC的中点，

：.AD=DC,

在Rt4ADE和Rt4CDF中,

AD=DC

DE=DF'

:.RtxADEgRt&CDF(HL),

，NA=NC,

：.BA=BC.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是正确寻找全等三角形.

24.己知：如图，AC平分NSAD,CE_LA5于点E,CF_LA£＞于点尸，且BC=C£).

(1)求证：ABCEWADCF；

(2)若4?=15,AO=7,BC=5,求CE的长.

【答案】(1)见解析；(2)3

【解析】

(1)易证NCF£)=90°,ZCEB=90°,CE=CF,即可证明/?[△BCE也/?/△OCF；

(2)求出EB,在R/AEBC中，利用勾股定理即可解决问题.

【详解】

解：(1)证明：•.♦AC平分㈤£>，。£，43于七，Cr_LADTF,

ZCfD=90°.NCEB=90°,CE=CF,

在RgBCE和RUDCF中，

CE=CF

BC=CD'

RtABCE三RtA£>CF(HL)；

⑵♦.•AB=15，A£>=7，

.-.2DF=AB-AD=S,

:.DF=EB=4,

在RtABCE中，CE=dBC?-BE?=V52-42=3.

，EC=3.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，考查「全等三角形对应边相等的性质，本题中求证RtZXBCEwRtZXDCF和

Rt/MCF三RtAACE是解题的关键.

25.如图，中，AB=BC,NA5C=90°，尸为A3延长线上一点，点E在6C上，且AE=Cf\

(1)求证：AABE^ACBF；

(2)若NC4E=25°,求NBCV的度数.

【答案】(1)见解析；(2)20°

【解析】

(1)运用也定理直接证明△A8E四△CBF,即可解决问题.

(2)说明△ABC是等腰直角三角形，所以ZBAC=45°,得/BAE=20。，由(1)中的全等得：ZBCF=ZBAE=20°,

从而得出结论.

【详解】

解：(1)在ABE与RmCBF中，

AE=CF

AB=BC'

：.RmABE"Rt&CBF(HL).

(2)'：AB=CB,ZABC=90°,

NC4B=NACB=45°,

ZCAE=25°,

：.ZBAE=45°-25°=20°,

,:RtXABE^RtLCBF,

ZBCF=ZBAE=20°.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出图形中隐含的相等或全等关系是解题的

关键.

26.如图，ADHBC,NA=90°,E是AB上的一点，且AD=3E，Zl=Z2.

（1）与△BEC全等吗？请说明理由；

（2）若AD=3,AB=7,请求出AECD的面积.

【答案】（1）全等，理由见解析；（2）—

2

【解析】

（1）首先根据等角对等边证明OE=CE,证明A£BC是直角三角形，然后利用乩定理证明AADE与

△BEC全等.

（2）首先根据勾股定理求出OE、EC的长度，再证明AECD是直角三角形，然后求AECD面积.

【详解】

解：（1）iADE^^BEC.

•.•N1=N2,

DE=EC.

ADIIBC,

.-.ZB+ZA=180°.

又•.•NA=90°,

.•.ZA=N8=90。.

.♦.VADE与△BEC是直角三角形.

在RtAADE与RtABEC'l',

DE=EC

AD=BE

:.^ADE三曲EC(HL).

(2)■.■/\ADE=^BEC,

:.AE^BC.ZADE=ZBEC.

,/AD-3.AB=7.

AE=BC=4.

:.DE=EC=5.

又/WE+NA£D=90°,

ZAED+ZBEC=90°,

/DEC=9。。.

1125

...△DEC的面积为：-xDEx£C=-x5x5=—.

222

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理、直角三角形的判定定理、勾股定理、三角形的面积计算公式等知识.

27.如图，在△ABC中，ZC=90°,AD平分/CAB,DE_LAB于E,点F在AC上，且DF=BD.

(1)求证：CF=BE

(2)若AC=8,AB=10,且△ABC的面积等于24,求DE的长

【解析】

(1)由HL证明RtACDF^RtAEDB,即可得出结论;

(2)根据SAACB=SAACD+SAADB结合DC=DE即可求得DE.

【详解】

(1)证明：：AD平分/CAB且DE_LAB,DC1AC

ADE=DC

在RtADCF和RtADEB中

,/DE=DC,DF=BD

ARtADCF学RtADEB,

，CF=BE；

(2)由(1)得：CD=DE,

SAACB=SAACD+SAADB>

/.SAABC=-AC*CDH—AB»DE,

22

XVAC-8,AB=10,且△ABC的面积等于24,

-x8x£>£+-xlOD£=24,

22

Q

DE="

3

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握角平分线的性质,

证明三角形全等是解题的关键.

28.如图，AABC中，AZ)平分/B4C,OGJ_BC且平分BC,DE1ABTE,。尸_LAC于凡

(1)求证：BE=CF；

(2)如果AB=8,AC=6,求AE,8E的长.

【答案】(1)证明见解析，(2)AE=7,BE=L

【解析】

(1)连接08、DC,先由角平分线的性质就可以得出。£=OF,再证明△OBEgZXOC/就可以得出结论;

(2)由条件可以得出△AOETZV1。尸就可以得出AE=AF,进而就可以求出结论.

【详解】

解：(1)证明：

连接。B、DC,

・・・0G_LBC且平分8C

:・DB=DC.

〈A。为N84C的平分线，DELAB,DF1AC,

：.DE=DF.

在RtADBE和RtADCF中

DB=DC

DE=DF'

RtADBE丝RlADCF(HL),

：.BE=CF.

(2)在RSADE和RtAADF中

AD=AD

DE=DF'

：.RtAADF(HL).

：.AE=AF.

VAC+CF=AF,

：.AE=AC+CF.

'：AE=AB-BE,

：.AC+CF=AB-BE,

•・・AB=8,AC=6,

，6+8E=8-BE,

:.BE=1,

：.AE=S-1=7.

即AE=7,BE=\.

E

【点睛】

本题考查了角平