2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,−1}，B={1,0,−1}，则集合C={a+b|a∈A,b∈B}中元素的个数为(

)A.2 B.3 C.4 D.52.已知复数z=2−ii，则z的虚部为(

)A.2 B.2i C.−2 D.−2i3.“a=1”是“函数f(x)=2x−a2A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.一组数据按从小到大的顺序排列为1，4，m，12，14，21，若该组数据的中位数是极差的25，则该组数据的第45百分位数是(

)A.4 B.6 C.8 D.125.过坐标原点O向圆C：x2+y2−4x−2y+4=0作两条切线，切点分别为M，NA.34 B.43 C.36.菱形ABCD中，AC=2，BD=4，点E在线段CD上，则AB⋅AE的取值范围是(

)A.[2,3] B.[0,1] C.[0,2] D.[−3,2]7.为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP的数据y(单位：百亿元)建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为y=0.4x+a，其中自变量x指的是时间1月2月3月4月5月6月编号x123456y百亿元yyy11.1yy参考数据：i=16yiA.经验回归直线经过点(3.5,11)

B.a=9.6

C.根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.4百亿元

D.相应于点(8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子(春分时，北京的阳光与地面夹角为60°)，若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为(

)A.2−3 B.2−1 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=sinx⋅|cosx|，则(

)A.f(x)是奇函数 B.f(x)的最小正周期为π

C.f(x)的最小值为−12 D.f(x)在10.设函数f(x)=2x3−3axA.当a>1时，f(x)有三个零点

B.当a<0时，x=0是f(x)的极大值点

C.存在a，b，使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴

D.存在a，使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心11.半正多面体(semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．传统的足球，就是根据这一发现而制成，最早用于1970年的世界杯比赛．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是(

)A.MQ⊥平面AEMH B.异面直线BC和EA所成角为60°

C.该二十四等边体的体积为4023 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.二项式(2x+1x13.某中学1600名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩X近似服从正态分布N(150,σ2)，已知成绩小于130的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩X在150∼17014.已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC═ccosB，则1tanA+1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且sinC+3cosC=3ab．

(1)求角B；

(2)若a+c=2，b=3，16.(本小题15分)

人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为85%；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为50%．

(1)在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个.以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求ξ的分布列和数学期望；

(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%．

(i)求聊天机器人模型的回答被采纳的概率；

(ii)若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率．17.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E，F，G分别是棱AB，B1C1，C1D1的中点．

(1)求直线B1D与平面EFG所成角的正弦值；

(2)求平面C18.(本小题17分)

已知数列{an}为等差数列，a1=1,a3=43+1，其前n项和为Sn，数列{bn}19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−1x．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)讨论函数在其定义域上的单调性；

(3)若f(x)>ax，其中a>0，且a≠1参考答案1.D

2.C

3.A

4.A

5.B

6.D

7.D

8.A

9.AC

10.AD

11.BCD

12.448

13.500

14.2715.解：(1)∵sinC+3cosC=3ab=3sinAsinB，∴sinBcinC+3sinBcosC=3sinA=3sin(B+C)，

整理得sinBsinC=3cosBsinC，C∈(0,π)，sinC≠0，

∴sinB=3cosB，即tanB=3，B∈(0,π)，16.解：(1)易知的所有可能取值为0，1，2，3，

P(ξ=0)=C50C33C83=156，

ξ0123P115155E(ξ)=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158．

(2)(i)记“输入的问题没有语法错误”为事件A，

记“输入的问题有语法错误”为事件B，

记“CℎatGP7的回答被采纳”为事件C，

则P(A)=0.9，P(B)=0.1，P(C|B)=0.517.解：如图建系，

因为正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，E，F，G分别是棱AB，B1C1，C1D1的中点，

所以D(0,0,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，

E(2,1,0)，F(1,2,2)，G(0,1,2)，

则DB1=(2,2,2)，EF=(−1,1,2)，EG=(−2,0,2)，

(1)设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅EF=−x+y+2z=0n⋅EG=−2x+2z=0，

令z=1，则x=1，y=−1，

所以n=(1,−1,1)，

设直线B1D与平面EFG所成角的正弦值为θ，

则sinθ=|cos<n,DB1>|=|n⋅DB1||n|⋅|DB1|=|2−2+2|22+2218.解：(1)证明：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，

若a1=1,a3=43+1，则d=a3−a12=23，

则Sn=na1+n(n−1)d2=n+3n(n−1)=3n2−(3−1)n，

故bn=Snn=3n−(3−1)，

故当n≥2时，则有bn−bn−1=3；

(2)根据题意，假设数列{an}中存在三项am、ak、an构成等比数列(m∈N19.解：(1)由题意f(1)=e−1，即切点为(1,e−1),f′(x)=xex−ex+1x2,k=f′(1)=1，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x−1+e−1，即y=x+e−2；

(2)由f′(x)=(x−1)ex+1x2，设g(x)=(x−1)ex+1，则g′(x)=xex，

所以当x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

当x>0时，g′(x)>0，g(x)单调递增，又g(0)=0，

所以对于任意的x≠0有g(x)>0，即f′(x)>0，

因此f(x)在(−∞,0)单调递增，在(0,+∞)单调递增，

即ℎ(x)=ex−x−1，则ℎ′(x)=ex−1，

所以x<0时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，

所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即ex−1>x，即ex−1x<1，x>0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，

所以ℎ(x)>ℎ(0)=0，即ex−1>x，即ex−1x>1，所以f(x)是其定义域上的增函数．

(3)由(2)可知，x<0时，f(x)<1，所以ax<1，故a>1