2025年高考数学一轮复习-4.1-导数的概念、运算及几何意义【课件】

4.1导数的概念、运算及几何意义内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读1.理解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想,体会极限思想.2.能通过函数图象直观理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数.4.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数的导数.5.熟练使用导数公式表.强基础固本增分1.导数的概念

导数是用极限来刻画的

(3)导函数:对于函数y=f(x),当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数,当x变化时,f'(x)就是x的函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称导数),即微点拨

关于导数概念的理解(1)瞬时变化率是平均变化率的极限.(2)导数就是瞬时变化率.(3)导数的物理意义:若物体运动的路程与时间的关系式是s(t),则s'(t)就是速度与时间的关系式.2.导数的几何意义函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率k0,即k0=

f'(x0)

.

即在点(x0,f(x0))处微思考

“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”有何区别?提示

“曲线在点P处的切线”与“曲线过点P的切线”含义是不同的,“曲线在点P处的切线”,点P是曲线上的点,且点P就是切点;而“曲线过点P的切线”,点P不一定在曲线上,点P不一定是切点.3.基本初等函数的导数公式

4.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]'=

f'(x)±g'(x)

.

(2)[f(x)g(x)]'=

f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

,特别地,[cf(x)]'=

cf'(x)

.

5.复合函数的导数(1)复合函数的概念:一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成

x

的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数,记作

y=f(g(x))

.

(2)复合函数的求导法则:复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=

y'u·u'x

,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

常用结论1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数.3.曲线的切线与曲线不一定只有1个公共点.自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(

)2.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(

)3.曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.(

)×××题组二

回源教材

5.(人教A版选择性必修第二册第五章习题5.2第11题改编)设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直,则a的值为

.

研考点精准突破考点一导数的运算答案

(1)ACD

(2)B

(3)-2(3)由函数f(x)=f'(0)e2x-e-x求导得,f'(x)=2f'(0)e2x+e-x,当x=0时,f'(0)=2f'(0)+1,解得f'(0)=-1,因此,f(x)=-e2x-e-x,所以f(0)=-2.规律方法

函数常见形式及具体求导的6种方法

连乘形式先展开化为多项式形式,再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导根式形式先化为分数指数幂的形式,再求导对数形式先化为和、差形式,再求导复合函数先确定复合关系,由外向内逐层求导,必要时可换元考点二导数的几何意义(多考向探究预测)考向1求切线方程例题(1)(2024·山东菏泽一模)曲线

在点(-1,-2)处的切线方程为

.

(2)已知函数f(x)=ex+2x,过点(1,2)作曲线y=f(x)的切线,则函数的切线方程为

.

答案

(1)5x-y+3=0

(2)(e2+2)x-y-e2=0规律方法

利用导数几何意义求切线方程的方法

对点训练(2024·河北秦皇岛二模)已知函数f(x)为偶函数,当x>0时,f(x)=lnx-e1-x,则曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为(

)A.y-e2+1=0B.y+1=0C.(e2-1)x-y+e2-2=0D.2x+y+3=0答案

D解析

因为f(x)为偶函数,设x<0,则-x>0,所以f(x)=f(-x)=ln(-x)-e1+x,所以f(-1)=-1.因为当x<0时,f'(x)=-e1+x,所以f'(-1)=-2,所以曲线y=f(x)在x=-1处的切线方程为y+1=-2(x+1),即2x+y+3=0.考向2求曲线的切点坐标题组(1)若曲线f(x)=x3-2x在点P处的切线与直线x-y-2=0平行,则点P的坐标为

.

(2)(2024·山东威海乳山高三检测)若点P是曲线y=x2-2lnx上任意一点,则点P到直线y=x-3的距离的最小值为(

)答案

(1)(-1,1)

(2)A规律方法

已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标.考向3求参数的值(或范围)例题(2022新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是

.

答案

(-∞,-4)∪(0,+∞)规律方法

利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.考点三两曲线的公切线问题例题(多选)(2024·河北保定二模)若直线y=3x+m是曲线y=x3(x>0)与曲线y=-x2+nx-6(x>0)的公切线,则(

)A.m=-2 B.m=-1C.n=6 D.n=7答案

AD解析

设直线y=3x+m与曲线y=x3(x>0)相切于点(a,a3),与曲线y=-x2+nx-6(x>0)相切于点(b,3b+m),对于函数y=x3(x>0),y'=3x2,则3a2=3(a>0),解得a=1.所以13=3+m,即m=-2.对于函数y=-x2+nx-6(x>0),y'=-2x+n,则-2b+n=3(b>0),又-b2+nb-6=3b-2,所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2,又b>0,所以b=2,n=7.规律方法

利用导数几何意义解决公切线问题的基本方法利用导数的几何意义解决两条曲线的公切线问题,通常有两种基本方法:(1)利用其中一条曲线在某点处的切线与另一条曲线相切,列出关系式求解;(2)若两曲线解析式分别为f(x),g(x),分别设出公切线与两曲线的切点P1(x1,