吉林省通化市三校联考2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

2023—2024学年度下学期三校联考期末考试（柳河一中通化县七中集安一中）高一数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第九章，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.矩形的直观图是（）A.正方形B.矩形C.三角形D.平行四边形2.某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是（）A.24B.26C.30D.363.已知向量，若，则（）A.-4B.4C.D.4.在中，角所对的边分别为，若，则为（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形5.某科技攻关青年团队共有18人，他们的年龄分布如下表所示：年龄45403632302826人数3234231下列说法正确的是（）A.29是这18人年龄的一个分位数B.40是这18人年龄的一个分位数C.34是这18人年龄的一个中位数D.这18人年龄的众数是46.在正四面体中，其外接球的球心为，则（）A.B.C.D.7.已知正三棱柱与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的高的比值为（）A.B.C.D.8.《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为4，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.的最小值为D.的最大值为410.已知i为虚数单位，复数为方程的两个根，则下列选项中正确的有（）A.B.C.复数在复平面上对应的点在第二象限D.11.如图，已知三棱柱平面分别是的中点，则下列说法正确的是（）A.平面B.平面C.直线与直线的夹角为D.若，则平面与平面的夹角为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量与的夹角为，则__________.13.已知向量为平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________.14.在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，指出点位置，并证明你的结论；若不存在，说明理由.16.（本小题满分15分）某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，随机抽查了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），将所得到的数据分成7组：，（棉花纤维的长度均在内），绘制得到如图所示的频率分布直方图.（1）求的值，并估计棉花纤维的长度的众数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；（2）估计棉花纤维的长度的分位数.17.（本小题满分15分）如图，在直三棱柱中，为的中点，为的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.18.（本小题满分17分）如图，在四棱锥中，.（1）求证：平面平面；（2）若，点满足，且三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值.19.（本小题满分17分）在中，内角的对边分别为，已知.（1）求角；（2）已知是边上的两个动点（不重合），记.①当时，设的面积为，求的最小值；②记.问：是否存在实常数和，对于所有满足题意的，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由.2023~2024学年度下学期三校联考期末考试·高一数学参考答案､提示及评分细则1.D直观图的画法不改变平行关系，也不改变平行于横向的线段长度，故矩形的直观图是平行四边形.故选D.2.A由题意，从全校2000人中抽取80人访谈，按照年级分层，则高一年级应该抽（人）.故选A.3.A因为，所以.故选A.4.A因为，故为直角三角形.故选A.5.B对选项A：，第分位数为30，故A错误；对选项B：，第分位数为40，故B正确；对选项C：这18人年龄的中位数是，故C错误；对选项D：这18人年龄的众数是32，故D错误.故选B.6.C由题知，在正四面体中，因为是外接球的球心，设三角形的中心为点的中点为，则，所以.故选C.7.D设正三棱柱的底面边长为，高为，等边的面积为，则正三棱柱的体积为，设的外接圆半径为，则，解得，设圆柱的高为，则圆柱的体积，由题意得，解得.故选D.8.B延长交于点，延长交于点，根据正八边形的特征，可知，又.，所以，则的取值范围是.故选B.9.AC对于A，若，且，则存在唯一实数使得，即，则解得故A正确；对于B，若，则，即，无实数解，故B错误；，故当时，取得最小值为，无最大值，故C正确，D错误.故选AC.10.ABD不妨令的两个根为，因此，故A正确；，故B正确；复数在复平面上对应的点在第一象限或者第四象限，故C错误；由于，故D正确.故选ABD.11.ABD因为分别是的中点，所以，又平面平面，则平面，故A正确；因为平面，所以平面，即，又，且平面，则平面，即，又，且平面，则平面，故B正确；由于为中点，且，因此是等腰直角三角形，是的中点，则，故C错误；连接，由于，易知平面，则，因此平面与平面的夹角为，由于，因此，则，因此，故D正确.故选ABD.12.因为，所以.13.由题意可得，则点到平面的距离.14.由三角形面积公式可得，故，故，因为，所以，解得或0，因为为锐角三角形，所以，由正弦定理得，其中，因为为锐角三角形，所以，故，所以，令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，则，又，因为，所以，则.15.（1）证明：连交于，因为为中点，所以是中位线，所以，又因为平面平面，所以平面；（2）解：点为线段的中点，连接，由于为中点，则，即，四边形为平行四边形，因此平面平面，则平面.16.解：（1）由频率分布直方图知，解得.最高小矩形底边中点横坐标即为众数，可得众数为.平均数21.（2）设棉花纤维的长度的分位数为，所以，解得.17.（1）证明：不妨设，则，所以，所以，即，在直三棱柱中，平面，又平面，所以，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，所以，，所以，所以，易得平面的一个法向量为，又，又平面，所以平面；（2）解：因为，所以，设平面的一个法向量为，所以令，解得，所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的大小为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为.18.（1）证明：由题意知为等边三角形，所以，又，所以，在中，由余弦定理得，所以，所以，又平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）解：取的中点，连接，所以，又，所以，又平面平面，平面平面平面，则平面，即是三棱锥的高.因为点满足，所以，解得.又平面，所以.以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.所以，，所以，设平面的一个法向量为，所以令，解得，所以平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则令，解得，所以平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角的大小为，所以，即平面与平