期中常考题型 训练4（函数的三要素与分段函数）-人教A版（2019）高中数学必修第一册

期中专题复习之函数的三要素与分段函数

考向一函数的概念

1、某容器如图所示，现从容器顶部将水匀速注入其中，注满为止.记容器内水面的高度”

随时间t变化的函数为h=/⑺，则〃=以t）的图象可能是（）

【解答】解：由图知，容器两头小，中间大，在水流速度一定的情况下，水面高度〃在达到

容器体积，前应该是逐渐变慢；达到容器体积，后，逐渐加快；

22

故选：D.

2、下面各组函数中表示同一个函数的是()

A./(x)=尤,g(x)=(A/X)2

B.f(x)=|x|,g(x)=；E

C./(x)=--,g(x)=x+l

x-1

1,x.0,

D./«=—g(x)=

X-1,x<0*

【解答】解：A.g(x)的定义域为［0,+oo),两个函数的定义域不相同，不是相同函数.

B.g(x)=|x|,两个函数的定义域,对应法则相同是同一函数.

C.f(x)=x+l,(XHI),两个函数的定义域不相同，不是同一函数.

D./(幻的定义域为{x|尤#0},两个函数的定义域不相同，不是同一函数.

故选：B.

3、下列哪组中的两个函数是同一函数()

A.y=(«y与y=xB.y=(也了与丁=工

C.y=4^与y=(A/X)2D.y=与y=上

x

【解答】解：A、y=x与)，=7?的定义域不同，故不是同一函数.

B、y=(布y=工与y=x的对应关系相同,定义域为R,故是同一函数.

C、力=与y=(«)2的定义域不同，故不是同一函数.

D、y=泊与y=工具的定义域不同，故不是同一函数.

X

故选：B.

4、下列四组函数中，表示相等函数的一组是()

A./(x)=|x|,g(x)=B./(x)=G*,g(x)=3)2

C./(%)=-----,g(%)=X+lD./(x)=y/x+l^X-1,g(x)=j%2_l

x-1

【解答】解：A.函数gQxGUxI,两个函数的对应法则和定义域相同，是相等函数.

B.函数/(尤)=G=|x|,g(x)=x，两个函数的对应法则和定义域不相同，不是相等函数.

C.函数“x)=x+l的定义域为{幻尤片1},两个函数的定义域不相同，不是相等函数.

D.由广，解得乂.1,即函数〃x)的定义域为{x|x..l},

[x-L.O

由尤2一1..0,解得X..1或X,一1,即g(x)的定义域为{x|x..l或％,-1},两个函数的定义域不

相同，不是相等函数.

故选：A.

5、下列各组函数中，两个函数相同的是()

A./(x)=x-l,g(x)=(Vx-1)2B./(x)=x-l,g(x)=J(x-1)2

c-f(x)=~~~,g(x)=x+2D.f(x)=\x\,g(x)=E

x-2

【解答】解：对于A"(尤)的定义域是R,g(尤)的定义域是：{x|x..l},不是同一函数；

对于3"(x)=x-l,g(x)=|x-11=,尤<1时表达式不同，不是同一函数；

1-X,X<1

对于c"(X)的定义域是：{尤|x#2},g(x)的定义域是A，不是同一函数；

对于£>"(x)=|x|,定义域是R,g(x)=|x|,定义域是R,是同一函数；

故选：D.

6、(多选)函数y=/(x)的图象如图所示，则以下描述正确的是()

A.函数/(x)的定义域为[-4,4)

B.函数〃尤)的值域为[0,+00)

C.此函数在定义域内是增函数

D.对于任意的ye(5,y),都有唯一的自变量x与之对应

【解答】解:由图可知，函数小)的定义域为I,O]|J[1,4),故A错误；

函数〃尤)的值域为[0,+8),故B正确；

函数/(x)在定义域内不是单调函数，有两个单调增区间为[~4,0],[1,4),故。错误;

对于任意的ye(5,〜),都有唯一的自变量x与之对应，故力正确.

故选：BD.

考向二函数的定义域

--------1

1、函数/■(尤)=«7i+—L的定义域为

x-1

【解答】解:由题意得：

Jx+2..0

〔九-IwO'

解得：％...-2且％w1,

故函数的定义域是52,1)0(1,+8),

故答案为：[-2,1)U(1,+8).

2、已知函数y=/(x)的定义域为[-6,1],则函数g(x)="2X+D的定义域是()

x+2

A.(-00.-2)U(-2z3]B.[-11z3]

77

C.[——,-2]D.[——,-2)U(-2,0]

22

【分析】由/(%)的定义域求得了(2x+l)的定义域，结合g(x)的分母不为0取交集得答案.

【解答】解:由y=/(x)的定义域为[-6,1],得-6解x+11,

77

解得-§效/0,即/(2%+1)的定义域为[-5/0]；

'7,

Hl----领^07Tcc

由〈2,/彳B可—,，x<—2或—2v兀，0.

[-22

函数g(x)=0±12的定义域是[二，-2)D(-2,0].

x+22

故选：D.

3、若函数y=/(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=^^的定义域是()

yjx-l

A.(1,|]B.[1,|]C.(1,3]D.[1,3]

【解答】解：要使函数有意义，贝“啖蚁二12,

13

得5融5得1<%一，

x>12

即函数g（尤）的定义域为（1,1],

故选：A.

4、函数"X）的定义域为（0,3），则函数y=以』的定义域是_.

x-1

【解答】解：由题意可得，『<：+:<3,

[x—1wO

解可得，Tv尤<2且xwl,

即函数的定义域为{X|—1<X<2且尤*1}

故答案为:{x|-l<x<2且9}

5、已知函数/（尤）~；的定义域是一切实数，则，〃的取值范围是（）

me+mx+4

A.{m|0<m<16}B.{m|0<m<4}C.{m|0„m<16}D.{m\m..l6]

【解答】解：•.•函数.〃尤）=一^——的定义域是一切实数，

mx+mx+4

二对任意xeR,g（x）=mx2+zrac+40.

当机=0时,g（x）=4,符合题意；

当加70时，需^=m2—16m<0,解得0<相<16.

综上,m的取值范围是[0,16）.

故选：C.

----------1

6、已知函数，（幻=61+3|的定义域为集合A.

（1）集合A；

（2）若集合3={xeN|0<x<3},求并写出它的所有子集.

【解答】解：（1）•.・函数/（尤）="三+不二,

Jx+3

.•.函数的定义域为：厂一：.1，解得-3<%,4,

[x+3>0

集合A={x|-3VM,4}；

（2）•.•集合B={xeN|O<尤<3}={1,2},集合A={x|-3<%,4},

••.Ap|B={l,2},

的所有子集为：。，{1},{2},{112}.

考向三函数的值域

1、函数f{x）=x-J尤+1的最小值为（）

A.一B.--C.-1D.0

42

【解答】解：令t=,则/..0,

所以函数化为：y,心0,函数是二次函数的一部分，

二次函数的对称$由为：「=工，开口向下，

2

所以函数的最小值为：（3）2-1-1=-2.

224

故选：A.

2、函数y=x-'在口，2］上的最大值为（）

A.0B.2

2

C.2D.3

【答案】B

【解析】

13

y=X--在［1,2］上单调递增，所以当x=2时,取最大值为彳，选B.

x2

3、函数y=,♦的值域是________.

X2-X+1

【答案】［「。,41

11，41

【角星析】若X=O,贝!Jy=O；若中0,贝!jy=7K-~7\-K3GV，3

+1t-2/+Z

r4i

故所求值域为［o,f.

2x2-x+1/n

4、求函数y=2x.l（xR的值域

1

121+^2

当且仅当x-^=—f,即x=时取等号.

x~2

所以代表+：,即原函数的值域为［g+：，+0

【解析】当x+1=。时，上)=0,

；.0勺(x)W曾,故於)的值域为0,乎

6、求下列函数的值域

(1)丫=2*+小-2x;(2)y=x+y/l-2x

(3)y=2x-y/H

(1)令t=«l-2x,贝!]x=F—=-fi+t+l--Q-分+4(^>0).

.♦.当f=3,即x=寸，y取最大值，y1nax=1,且V无最小值，.♦.函数的值域为(-1

(3)【答案】,，+"

令，r-]=乙贝U仑0且x=F+RI,于是y=2x-\jx-1=2fi-t+2=20-如+

又因为t>Q,所以y噂.因此值域为黑，+8).

考向四函数的解析式

1、已知函数/(彳+1)=尤2—1,贝Uy(x)=.

【解答】解：•."(》+1)=/一1,

/(.r+l)=(x+l)2-2(x+l),

/(x)=x2-2x.

故答案为：X2-2X.

2、已知函数，(尤)与g(x)的定义域相同，值域也相同，但不是同一个函数，则满足上述条件

的一组与g(x)的解析式可以为—.

【解答】解：结合一次函数的性质可知，“尤)=x,g(x)=-x,两个函数的定义域，值域都

为R，但对应关系不同，不是同一个函数.

故答案为：/(%)=X,g(x)=-x,x&R.

3、已知;'C+l)=%+3,则/(久)的解析式可取()

.3X-1D3%+1「____2X_

A--D.----■D..

X—1C,1+%2-

【答案】A

【解析】令t=:+1,(tA1),

则x=六，

c-1

因为f(|+l)=x+3,

所以/«)=六+3=河，仕力1)

所以/■(%)=言，(X#1)

4、已知函数/(X)满足2/(%)+/(—%)=3%,贝1/(%)=

2

【解析】f(x)=3x+-

解析：2/(x)+/(-x)=3x+2①

2/(—尤)+/(尤)=—3x+2②

2

①义2-②:/(%)=3x+—

2

故答案为：f(x)=3x+-

5、已知"x)+2/d)=3x-2，求〃x)的解析式.

【解析】

/(x)+2，d)=3x+2①

13

/(—)+2/(%)=—+2②

xx

②x2—①得：3/(%)=--3%-2

・・・/(%)=_2_%2

x3

6、已知函数f(x)的图象如右图所示，则f(x)的解析式是一

考向五分段函数的函数值

2x,x<—

2

1、已知/(X)=")

/(x-1)+l,x.A

D115

AB.—D.-

-466

2、已矢口=，若f(x)=-l,贝Ux=

【解答】解：根据题意，/（x）=/，

[-X+l,x>1

若/（x）=-l,分2种情况讨论：

当国,1时，/（幻=?-1=7,解可得％=0,

当x>l时，，（无）=一尤+1=-1,解可得x=2,

综合可得：x=0或2；

故答案为：0或2.

3、已知/(无:。：：若/(a)+/(-1)=8,则实数。的值为()

\2x-1,x<0,

A.-2B.2C.±2D.±3

,eeh5f3x+1,x>0,,、

【解答】解：,.・/(x)=。21(a)+/(-l)=8

[2x-l,x<0,z

.•./(a)=8-1=7,

当。>0时，f(a)=3a+l=7,解得a=2,

当。<0时，/(a)=2a2-1=7,解得。=一2,或a=2(舍),

综上，实数。的值为±2.

故选：C.

4、已知〃x)=[x：'无>°,若/(一1)=4,贝[]/(/(一2))=

[a+1,工，0

【解答】解：根据题意，已知/(尤)=卜了>°c,

[a+1,%，0

若/'(-1)=4，即人+1=4，解可得。=g,

贝Uf(-2)=(g『+1=9+1=