第一章数列+题型总结（二）讲义 高二年级下册数学北师大版（2019）选择性必修第二册

数列题型总结(二)

三、等差数列

【等差数列常用性质】

1.在等差数列｛断｝中，当m+n=p+q时，am+an=ap+aq,(m,n,p,qeN+\

特别地，若m+n=23510am+an=2at(m,n,te/V).

2.ak,ak+m,ak+2m,仍是等差数列，公差为md(k,meN+).

3.Sn,S2n-Sn,S3n—S2n，..也成等差数列，公差为n2d.

4.若｛册｝,｛%｝是等差数列，则｛pan+qb”｝也是等差数列.

5.若｛an｝是等差数列，则｛*｝也成等差数列，其首项与｛an｝首项相同，公差是｛an｝公差的之

6.若项数为偶数2九，则S2=九(%+a)=n(a+a),贝口偶一S奇=九匕三=❷-

n2nnn+1蹈可S偶an+l

7.若项数为奇数2九-1,则S2rl_1=(2n-l)an,S偶一S4=an;=匕

8.前n项和%=小声+口般(4B为常数)

(-)等差数列的基本运算

【例1】(2021年新高考n卷)记％是公差不为0的等差数列也"｝的前n项和，若。3=55,

a2a4—S4

(1)求数列｛5｝的通项公式

(2)求使%＞即成立的n的最小值

【例2】在等差数列｛即｝中，ax=0,若Qm=以1++@3+…+则m的值为

(二)等差数列的判定与证明

【例1】记Sn为数列｛斯｝的前n项和，bn为数列｛S"的前n项积，已知白+5=2

Dn

(1)证明数列｛%｝为等差数列

(2)求｛即｝的通项公式

【例2】Sn为数列｛23的前n项和，且满足an+2S„Sn_!=0,(n>2),an=i

(D求证：｛2｝为等差数列

(2)求｛%｝的通项公式

【例3】已知数列｛即｝满足：的=6,an.1an-6an_1+9=0,且(n22),求证｛走｝为等差

数列

［例4］已知数列｛册｝满足：%=1,且对于任意非负整数m,n均有Qm+n+Qm-n+m-九一

1=5(。2m+a2n)

(1)求劭，a2

(2)求证数列｛Qm+1-Qm｝是等差数列，并求出Qn的通项公式

（三）等差数列的性质与应用

【例1】1.设S”、〃分别为等差数列｛即1｛%｝的前n项和，若as=2为，则金的值为。

2.若5n是等差数列｛册｝的前n项和，且a2+。9+的9=6,则由0、S19的值为。

【例2】1.设%是等差数列｛即｝的前n项和，若S3=9,56=36,则a:++&9的值为

2.已知Sn是等差数列｛斯｝的前n项和，若%=-2016,骗一骗=6,则S2021的值为

【例3】在等差数列｛&J中％=29,S1O=S2O,则又的最大项为()

【方法总结】求等差数列前n项和最值的方法

(1)函数法：利用%=+B71,通过配方或者借助图像求二次函数最值方法求解

(2)邻项变号法：①若%>0,d<0则满足［:加的项数m使得％取得最大值Sm

②若的<0,d>0则满足30n的项数m使得%取得最小值Sm

四'等比数列

【等比数列常用性质】

2

1.若zn+n=p+q=2k,am-an=ap-aq=ak,(m,n,p,q,ke/V+).

2.ak,ak+m,ak+2m>为等比数列，公比为qm(k,m。4+).

n

3.S”S2n-Sn,S3.-52加..也成等比数列，公比为q.

4.若｛册｝,｛%｝是等比数列，则｛%,•%｝也是等比数列.

【等比数列前n项和性质】

等比数列国工中，所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有的性质:

(1)若共有2n项，则兽=q

(2)若共有2n+l项，则号2=q

(-)等比数列的基本运算

【例】等比数列｛册｝中的=1，as=4a3

(1)求｛斯｝的通项公式

(2)设％是数列｛%｝的前n项和，若Sm=63,求m

(~)等比数列的判定与证明

【例】已知数列｛%｝中的=1,nan+1=2(n+l)an,设例=4

⑴求b2>b3

(2)判断数列｛瓦｝是否为等比数列，并说明理由

(2)求｛an｝的通项公式

【例2］已知数列｛%｝、｛bn｝满足臼=1,瓦=0,4an+1=30n-bn+4,46n+1=3bn-an-4.

(1)证明｛斯+%｝是等比数列,｛an-匕｝是等差数列

(2)求｛即｝和｛%｝的通项公式

【例3】已知在正项数列｛即｝中，%=2,点%(何，师)在双曲线丫2一/=1上，在数列

｛%｝中，点(bn,Tn)在直线、=一：％+1上，其中7；是｛%｝的前n项和。

(1)求｛册｝的通项公式

(2)求证:｛%｝是等比数列

（三）等比数列的性质与应用

【例1】1,在等比数列｛a“｝中，a3,%5是方程/+6x+2=0的两根，则管^的值为。

2.等比数列｛an｝的各项均为正数,且=4,则1092al+1092a2+1092a3+1092a4+2a5

的值为。

3.己知等比数列｛斯｝，若。4+。6=10.则。7（%+2a3）+a3a9的值为

[例2]1.已知等比数列｛a.｝共有2n项，和为-240,且奇数项比偶数项的和大40,则公比为。

2.设等比数列｛斯｝的前n项和为Sn,若Sio：Ss=1:2,则S^Ss的值为

3.记等比数列｛即｝的前n项和为％,若52=4,S4=6,则S6的值为

4.己知数列｛an｝满足log2an+1=1+log2an，且a1+a2+a3+•••4-a10=1»则，。出®®+

%02+a103---%10）的值为

5.已知数列｛须｝是等比数列，Sn为其前n项和，若为+a2+。3=4,a4+a5+a6=8,则S12

为

五、数列求和方法总结

(-)错位相减法

使用条件：适用于通项公式为等差X等比的形式

技巧：若a”=(an+b)•q"T,S”=Q4n+B)q"-B其中4=9,8=?

n1

【例】已知an=(2n-l)3-,求其前n项和Sn

【练习】设｛6｝是首项为1的等比数列，数列｛%｝满足既=等，已知%,3a2,9。3成等差数列。

(1)求数列｛即｝和｛%｝的通项公式

(2)记%和7；分别为｛斯｝和也｝的前n项和。证明：Tn

(二)裂项相消

使用条件：适用于分子为两个因式相乘的形式

【例】对下列式子进行裂项

*"n-n(n+l)—・°nn(n+2)

Q-1=42-=

'Un=(2n+l)(2n-l)=,小一(2w-l)(2n+1-l)-

__n+2_久_1_

,0n-n(n+l)2n+1.出1-Vn+Zc+Vn-

【练习】已知数列即二莅乐，则满足的。2+。203+・・・+。-1M〈扣勺。的最大值为

【例】已知数列的=六,求其前n项和治

(三)分组求和

使用条件：适用于通项为等差+等比或其他两个类型数列相加的形式

即口九=bn4-cn的形式

【例】1.已知即=(2"+/)2,求其前n项和Sn

2.已知册=n•2n+丽壶K，求其前n项和Sn

六、奇偶数列问题

（-）下标变换问题

n

1.【引入】由函数思想理解数列的下标【例】己知即+1=]“为奇数，求的,a2,a3,

I-n,n为偶数

a2n+l，a2n（注：可由f（x+l）=[”'短鬻过渡）

（一%,%为偶数

a九+1,几为奇数

【例】（2021新高考I）已知数列｛时｝满足的=1,an+1=

an+2,九为偶数'

（1）记“=。2小写出瓦，匕2证明匕为等差数列，并求匕

（2）求册

2.奇偶数列识别与通项求解

pn+fln+1=/（"）

表现：三种形式［。/„+1=/5）,

（递推关系含（一l）n

求通项公式时可以仅求一种情况，另一种可直接利用递推关系求解

【例】已知数列与中，的=1,斯+1=（5"，求职

【例】已知数列满足即+an+i=4n-3,且臼=2,求数列的通项公式

（二）奇偶数列求和方法

1.两两分组一一并项求和

则若求其前100项和，则Sioo=

【例】已知即=（一例13n-2）,求数列的前n项和S“

【例】已知数列｛伉Qn｝是等差数列，记现为｛。九｝的前n项和，｛Sn+%｝是等比数列，即=1

(1)求小

(2)记“=log2a2n-i+log2a2"，求数列｛(一1)九匕2"的前10项和

2.构造新数列一一直接求和

naan-1

【例】已知an=2,求-Q2a3+34---+(-l)anan+1

n-1

［例］已知an=2n-1,记bn=(-l)——,求｛%｝的前n项和〃

anan+l

3.奇偶分类求和

标志：已分别得到奇偶数列的通项公式

a+1,为奇数

【例】（2021新高考I）已知数列｛时｝满足的=1,0+i=n

n星+2,n为偶数

（2）求｛an｝的前20项和

n

【例】已知数列On=n,bn=an+1+（-l）are,求6n的前100项和

七、数列放缩问题

常见放缩模型：

(1_J.___1

放大*<;inTn放小1>1_11

11-11\n2n(n+l)nn+1

1<n2-l-(n-l)(n+l)-2^n-1n+r

思路：放缩要有利于求和，根据题目证明目标线索找到放缩目标

【例】己知,bn=-------，证明：*+配H-----1■屏<1

n2a3…

练习题3.记Sn是公差不为0的等差数列｛Qn｝的前n

1.（2019年全国UI卷）记Sn是公差不为0的项和，且满