2025年高考数学一轮复习-第六章-第三节 等比数列-课时作业【含解析】

2025年高考数学一轮复习-第六章-第三节等比数列-课时作业（原卷版）[A组基础保分练]1.已知等比数列{an}满足a1＝1，a3a7＝16，则该数列的公比为（）A.±2B.2C.±2D.22.（2024·重庆）已知3，x，27三个数成等比数列，则x＝（）A.9B.－9C.9或－9D.03.（2024·上海）已知在等比数列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，则a1＝（）A.12B.－C.－29D.－4.（2024·湖南衡阳）中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题.今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟（单位：升）为（）A.253B.C.507D.5.已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，a2a4＝9，9S4＝10S2，则a2＋a4的值为（）A.30B.10C.9D.66.（多选）设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是（）A.数列{anan+1}是公比为qB.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列D.数列1an是公比为7.（2024·浙江宁波）已知数列an为等比数列，且a5＝5A.a1＋a9的最小值为50B.a1＋a9的最大值为50C.a1＋a9的最小值为10D.a1＋a9的最大值为108.（多选）数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn（n∈N*），则有（）A.Sn＝3n－1B.{Sn}为等比数列C.an＝2·3n－1D.an＝19.（2024·福建龙岩）在等比数列an中，a1＋a7＝9，a2a6＝8，且an＜an＋1，则a13＝10.已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1（n∈N*）＝.11.（2024·河南郑州）已知数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n（n∈N*）.若{an＋λ}成等比数列，则实数λ＝.12.已知数列{an}满足an＋1＝3an2an+1（n∈N*（1）求证1an－1是等比数列，并求出{（2）求数列1an的前n项和T[B组能力提升练]13.（2024·湖北武汉）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为（）A.10B.15C.20D.2514.设等比数列an的前n项和为Sn.已知Sn＋1＝2Sn＋12，n∈N*，则S6A.312C.30D.6315.（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a6a7＞1，a6－1A.0＜q＜1B.a6a8＞1C.Sn的最大值为S7D.Tn的最大值为T616.（多选）在数列{an}中，n∈N*，若an+2－an+1an+1－aA.k不可能为0B.等差数列一定是“等差比数列”C.等比数列一定是“等差比数列”D.“等差比数列”中可以有无数项为017.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为32，则S5＝18.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－3n（n∈N*）.（1）求a1，a2，a3的值.（2）是否存在常数λ，使得{an＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式an；若不存在，请说明理由.2025年高考数学一轮复习-第六章-第三节等比数列-课时作业（解析版）[A组基础保分练]1.已知等比数列{an}满足a1＝1，a3a7＝16，则该数列的公比为（）A.±2B.2C.±2D.2答案：A解析：设等比数列{an}的公比为q，根据题意得a3·a7＝a12·q8＝q8＝16＝24，所以q2＝2，即q＝±2.（2024·重庆）已知3，x，27三个数成等比数列，则x＝（）A.9B.－9C.9或－9D.0答案：C解析：由于3，x，27成等比数列，所以x2＝3×27＝81，解得x＝9或－9.3.（2024·上海调研）已知在等比数列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，则a1＝（）A.12B.－C.－29D.－答案：B解析：法一：设等比数列{an}的公比为q（q≠1），则由a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，得a1q法二：设等比数列{an}的公比为q（q≠1），因为S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以a3a1＝q2＝2.因为a2a5a8＝a53＝－8，所以a5＝－2，即a1q4＝－2，所以4a1＝－2，所以4.（2024·湖南衡阳）中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题.今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟（单位：升）为（）A.253B.C.507D.答案：D解析：5斗＝50升.设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a1，a2，a3，由题意可知a1，a2，a3构成公比为2的等比数列，且S3＝50，则a1（1－23）1－2＝50，解得a1＝505.已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，a2a4＝9，9S4＝10S2，则a2＋a4的值为（）A.30B.10C.9D.6答案：B解析：an为各项均为正数的等比数列，则an＞0，可得a1＞0，q＞0，∵a32＝a2a4＝9，∴a又∵9S4＝10S2，则9（a1＋a2＋a3＋a4）＝10（a1＋a2），可得9（a3＋a4）＝a1＋a2，∴a3＋a4a1＋a2＝q2＝19，解得q＝13，故a26.（多选）设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是（）A.数列{anan+1}是公比为qB.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列D.数列1an是公比为答案：AD解析：对于A，由anan+1an－1an＝q2（n≥2）知数列{a对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，当q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，1an+11a所以数列1an是公比为17.（2024·浙江宁波）已知数列an为等比数列，且a5＝5A.a1＋a9的最小值为50B.a1＋a9的最大值为50C.a1＋a9的最小值为10D.a1＋a9的最大值为10答案：C解析：由题意，在等比数列an中，a5＝5设公比为q，则a1＝a5q－4＞0，a9＝a5q4＞0，∴a1＋a9＝a5q－4＋a5q4＝a5q－4＋q4≥5×当且仅当q－4＝q4即q＝±1时等号成立，∴a1＋a9的最小值为10.8.（多选）数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn（n∈N*），则有（）A.Sn＝3n－1B.{Sn}为等比数列C.an＝2·3n－1D.an＝1答案：ABD解析：由题意，数列{an}的前n项和满足an＋1＝2Sn（n∈N*），当n≥2时，an＝2Sn两式相减，可得an＋1－an＝2（Sn－Sn−1）＝2a可得an＋1＝3an，即an+1an＝3（n又a1＝1，当n＝1时，则a2＝2S1＝2a1＝2，所以a2a1所以数列{an}的通项公式为an＝1当n≥2时，Sn＝an+12＝2·3n又S1＝a1＝1，适合上式，所以数列{an}的前n项和为Sn＝3n－1.又Sn+1Sn＝所以数列{Sn}为首项为1，公比为3的等比数列.综上可得选项A，B，D是正确的.9.（2024·福建龙岩）在等比数列an中，a1＋a7＝9，a2a6＝8，且an＜an＋1，则a13＝答案：64解析：在等比数列an中，a2a6＝8故a1a7＝8，结合a1＋a7＝9，以及an＜an＋1可得a1＝1，a7＝8，设等比数列公比为q，则q6＝a7a1故a13＝a7q6＝8×8＝64.10.已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为，a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1（n∈N*）＝.答案：an＝4×12n－1解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列得a1＝4，a3＝1，所以q＝12，an＝4×12n－1，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8、公比为14的等比数列的前n项和，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋12＋…＋8×111.（2024·河南郑州）已知数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n（n∈N*）.若{an＋λ}成等比数列，则实数λ＝.答案：2解析：数列{an}的前n项和Sn＝3an－2n（n∈N*）， ①则n≥2时，Sn－1＝3an－1－2（n－1）， ②①－②，得an＝3an－3an－1－2，∴2an＝3an－1＋2，∴an＝32an－1＋1.若{an＋λ}∴an＋λ＝32（an－1＋λ），解得λ＝12.已知数列{an}满足an＋1＝3an2an+1（n∈N*（1）求证1an－1是等比数列，并求出{（2）求数列1an的前n项和T解：（1）记bn＝1an－则bn+1bn＝2an+1－3a又b1＝1a1－1＝32－1所以1an－1是首项为所以1an－1＝12即an＝2·所以数列{an}的通项公式为an＝2·（2）由（1）知，1an－1＝12即1an＝12·1所以数列1an的前Tn＝121－13n1[B组能力提升练]13.（2024·湖北武汉）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为（）A.10B.15C.20D.25答案：C解析：由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5，可得S8－S4＝S4＋5.又由等比数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4（S12－S8）＝（S8－S4）2.于是a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝（S8－S4）2S4＝（S4+5）2S4＝S4＋25所以a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.14.设等比数列an的前n项和为Sn.已知Sn＋1＝2Sn＋12，n∈N*，则S6A.312C.30D.63答案：D解析：由题得：Sn＋1＝2Sn＋12①Sn＋2＝2Sn＋1＋12②，①－②得：an＋2＝2an＋1，q＝2则Sn＝a1（1－2n）1－2＝（2n－1）a1，代入①中，即（2n＋1－1）a1＝2（2n－1）a1＋1215.（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1＞1，a6a7＞1，a6－1A.0＜q＜1B.a6a8＞1C.Sn的最大值为S7D.Tn的最大值为T6答案：AD解析：由题意知，等比数列{an}的公比q＞0，则{lgan}为等差数列，公差d＝lgq，由a1＞1，a6a7＞1，q＞0且q≠1，得lga1＞0，lga6＋lga7＞0，又a6－1a7－1＜0，所以a6＞则0＜q＜1，故A中的结论正确；lga6＞0，lga7＜0，又lga1＞0，所以数列{lgan}是递减数列，{lgan}从第7项开始小于零，故其前6项和lgT6最大，即Tn的最大值为T6，故D中的结论正确；由lga6＋lga8＝2lga7＜0，得0＜a6a8＝a72＜1，故因为0＜q＜1，a1＞1，所以数列{an}的各项均为正数，Sn没有最大值，故C中的结论错误.16.（多选）在数列{an}中，n∈N*，若an+2－an+1an+1－aA.k不可能为0B.等差数列一定是“等差比数列”C.等比数列一定是“等差比数列”D.“等差比数列”中可以有无数项为0答案：AD解析：对于A，k不可能为0，正确；对于B，当an＝1时，{an}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；对于C，当等比数列的公比q＝1时，an+1－an＝0，分式无意义，所以{an}不是“等差比数列对于D，数列0，1，0，1，0，1，…，0，1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确.17.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1a6＝2a3，a4与2a6的等差中项为32，则S5＝答案：3118.如图所示，正方形上连