第16讲 圆的方程7种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假课（人教A版2019选择性必修第一册）解析版

第16讲圆的方程7种常见考法归类

----------------------

学习目标

------------------------

回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.

1第基础知£

---------------------IIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII-----------------------

知识点1圆的标准方程

1.圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.

2.圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.如图所示.

3.圆的标准方程：圆心为A(a,b),半径长为r的圆的标准方程是(x—a)2+(j—力2=户.

当a=b=O时，方程为/+*=凡表示以原点为圆心、半径为广的圆.

注：(1)圆的方程的推导：

设圆上任一点M(尤，y),则|MA|=r,由两点间的距离公式，得a)2+(y_6)2=r,

化简可得：(x—。)2+。-6)2=只

(2)当圆心在原点即A(0,0),半径长厂=1时，方程为r+,2=1,称为单位圆.

(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的.

(4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上.

知识点2点与圆的位置关系

⑴根据点到圆心的距离”与圆的半径r的大小判断：d＞一点在圆外；"=一点在圆上；点在圆

(2)根据点M(x0,州)的坐标与圆的方程(x—a)2+(y—力2=产的关系判断:

(xo—a)2+(yo—by>R妗点在圆外；

(元()—a)2+(y()—力2=产0点在圆上；

(刈一〃)2+(y()—b)2V产<4点在圆内.

知识点3圆的一般方程

1.圆的一般方程的概念

当D2+E2-4F>0时，二元二次方程炉+产+瓜+卧+/=。叫做圆的一般方程.

注：将方程xZ+V+Dx+Ey+FuO,配方可得口+E)2+Q+,』.+：二",当〃+/—4/〉。时，

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆.当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,表示一个点

(-去_D-

2.圆的一般方程对应的圆心和半径

圆的一般方程尤2+y2+z)x+Ey+尸=0(£>2+£2—4斤>0)表示的圆的圆心为(一,，-£],半径长为；

y]D2+E2~4F.

注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需

要代数运算才能得出，且圆的一般方程工2+?+6+或+尸=0(其中。，E,尸为常数)具有以下特点：

⑴炉,一项的系数均为1；

⑵没有孙项；

(3)Z)2+£2-4F>0.

3.常见圆的方程的设法

标准方程的设法一般方程的设法

圆心在原点x2_p^2=r2x2+y2—7^=0

过原点(%—tz)2+(y—Z7)2=tz2+Z22x2+y2+Dx+Ey=0

圆心在X轴上。一〃)2+,2=/x2+y2+Dx+F=0

圆心在y轴上x2+(y—Z?)2=r2x2+y2+Ey+F=O

x2+y2+Dx+Ey+^D2=0

与无轴相切(x-tz)2+(y—Z7)2=Z?2

x2+y2+Dx+Ey+^E2=0

与y轴相切(工一〃)2+(厂。)2=〃2

A=C^O,

4.二元二次方程-2+3盯+Cy2+Dx+£v+P=0表示圆，则<8=0,

。2+£2—4AF>0.

5.以A(xi,%),B(X2,>2)为直径端点的圆的方程为(X—XI)(X—X2)+(y—>1)。一>2)=0.

知识点4圆的轨迹问题

轨迹和轨迹方程区别：轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标

满足的关系式.

弱解题策略)

---------------------llllllllillllllllllilllllllllllllllllllll-----------------------

1'求圆的标准方程的方法

确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a,6)及半径厂，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a,

b,r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径.常用到中点坐标公

式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆

心”等.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.

2、判断点与圆的位置关系的方法

(1)确定圆的方程：化为(x—a)2+(y—匕)2=户.

(2)将点的坐标代入代数式(x—a)2+(y—6)2,比较代数式的值与3的大小关系.

(3)下结论：若(x—“尸+⑪一。)2=凡表示点在圆上；若(x—a)2+(y—。)2>产，表示点在圆外；若(x-

+(y—b)2<r2,表示点在圆内.

此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断.当•时，点在圆外；当d=r时,

点在圆上；当衣厂时，点在圆内.

3、圆的一般方程辨析

判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一

般方程的特征时，再看它能否表示圆.此时有两种途径：一是看小十严一4尸是否大于零；二是直接配方变

形，看方程等号右端是否为大于零的常数.

4、方程xZ+V+Dx+Ey+FuO表示的图形

条件图形

D2+£2-4F<0不表示任何图形

表示一个点(一,，一勺

D2+£2-4F=0

表示以(r§为圆心，以4-为半径

22，-十：

D+E~4F>0

的圆

5、利用待定系数法求圆的方程的解题策略

(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方

程，再用待定系数法求出a,b,r.

(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D,

E,F.

6、求与圆有关的轨迹问题的方程

(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.

(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.

(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.

7、用代入法求轨迹方程的一般方法

建立适当的坐标系，如果题目中已经建好坐标系

我们可以省略此步骤________________________

［设］点＞［设曲线上任意一点］

Jr|把点”的坐标看作已知点，寻找在已知方程的

［列式卜图形的相关点，并表示相关点，代入已知方程,

列出方程f(x,y)=0

［化’简川化方程/G,y)=O为最简形式］

8、圆上的点到定点的最大、最小距离

设A的方程(x-a)2+(y-。)2=/,圆心A(a,Z?),点M是,A上的动点，点尸为平面内一点；记

d=\PA\-,

①若点P在CA外，则|PM1111ax^d+r-\PM|mm=d-r

②若点P在。A上，则IPMJ=2r；|PM|min=0

③若点P在QA内，则|P"lmax=d+r；1PMimin=­d

9、与圆有关的最值问题常见的几种类型

(1)形如“=巳形式的最值问题，可转化为过点(x,y)和3,田的动直线斜率的最值问题.

(2)形如l=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线产一齐+缄距的最值问题.

(3)形如(X一“)2+。-8)2形式的最值问题，可转化为动点(x,y)到定点(a,勿的距离的平方的最值问

题.

Q考点剖析

--------------llllllllllllllilllllllllllllllllllllllill-----------------------

考点一：求圆的标准方程

(一)由圆的标准方程求圆心、半径

［、］例1.(2023秋•高二课时练习)已知圆C的标准方程为(无-行+丁二⑶则此圆的圆心及半径长分

别为()

A.(LO),r=13B.(1,0),厂=屈

C.(-L0),r=13D.(-1,0),r=713

【答案】B

【分析】根据圆的标准方程直接求解即可.

【详解】由标准方程(》-1)2+丁=13可得：圆C的圆心为(1,0),半径为相，

故选：B.

变式1.(2023秋高二单元测试)圆(x+4y+(y-3)2=7的圆心和半径分别是()

A.(Y,3),7B.(<3),77

C.(4,-3),7D.(4,-3),77

【答案】B

【分析】根据圆的标准方程的定义即可得圆心坐标和半径.

【详解】由圆的标准方程(左一。)2+(丫一匕)2=/可得，

圆心坐标为(T,3)，半径r=77.

故选：B

变式2.(2023・江苏•高二假期作业)已知圆C的标准方程为(x-l)2+(yT2=2,则圆心C的坐标为

圆的面积为•

【答案】(1,1)2兀

【分析】由圆的标准方程直接得出圆心和半径，进而得圆的面积.

【详解】圆C的标准方程为(x-l)2+(y_l)2=2,

则圆心半径/=点，故圆的面积S=nr2=2TC.

故答案为：(1,1),27r.

(-)求圆的标准方程

|\例2.(2023春・河北邯郸・高二统考期末)已知圆C的圆心为点C(2,l),且经过原点，则圆C的标准

方程为.

【答案】(x-2)2+(y-l)2=5

【分析】先求出圆C的半径，再写出圆C的标准方程.

【详解】由已知得圆C的半径厂=万石=石，

所以圆C的标准方程为(无-2)2+(y-l)2=5.

故答案为：。一2)2+(>-1)2=5.

变式1.(广东省广州市培正中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题)求圆心在y轴上，半径为1,

且过点(1,2)的圆的标准方程.

【答案】X2+(^-2)2=1

【分析】设圆的方程为无2+。-加2=1,将点(1,2)代入圆的方程，求得6的值，即可求解.

【详解】由题意，可设圆的方程为V+(y-6)2=1,

因为点(1,2)在圆上,可得1+(2-6)2=1,解得6=2,

所以所求圆的方程为尤②+(y一2)2=1

变式2.(福建省泉州外国语中学2022-2023学年高二上学期期中质量监测数学试题)与x轴相切，且圆心

坐标为(-1,-2)的圆的标准方程为

【答案】(x+l『+(y+2)2=4

【分析】根据圆的圆心坐标结合与y轴相切可得到该圆的半径可得答案.

【详解】：圆心坐标为(-1,-2),又与y轴相切，

；•圆的半径为2,

；•圆的标准方程为(x+球+(y+2)z=4.

故答案为：(x+l)2+(y+2)2=4.

变式3.(2023春.重庆沙坪坝.高一重庆八中校考期末)在平面直角坐标系xOy中，已知耳(0,2)、£(4,4)两

点，若圆M以々鸟为直径，则圆M的标准方程为()

A.(X-2)2+(J-3)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=V5

C.(x-l)2+(y-4)2=5D.(x-l)2+(y-4)2=>/5

【答案】A

【分析】求出圆心M坐标以及圆M的半径，即可得出圆M的标准方程.

【详解】由题意可知，圆心M的横坐标为等=2,纵坐标为审=3,即点/(2,3),

圆M的半径为=^(2-0)2+(3-2)2=-J5,

因此，圆加的标准方程为(X—2)2+(y-3『=5.

故选：A.

变式4.(2023・江苏•高二假期作业)求经过点P(L1)和坐标原点，并且圆心在直线2x+3y+l=0上的圆的

方程.

【答案】(x-4)2+(y+3)2=25

【分析】利用待定系数法或几何法求解.

【详解】法一(待定系数法)：

设圆的标准方程为(x—a)2+(y—6)2=/,

222

a+b=ra=4

则有：(a-l)2+(b-l)2=r2,解得.b=—3,

2。+3Z?+1=0r=5

圆的标准方程是(彳-4)2+(y+3)2=25.

法二(几何法)：

由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为无+，-1=0.

•••弦的垂直平分线过圆心，

2x+3y+l=0/曰x=4

由

x+y-l=0y=.3'

即圆心坐标为(4,-3),半径r=,42+(-3)2=5.

；•圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.

变式5.(广东省肇庆市百花中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题)直线乙：2x+5y-12=。与直线

个-3x+y+l=0相交于点A,直线/过点A且与直线2x-y+l=0平行.

(1)求直线/的方程；

(2)求圆心在直线/上且过点0(0,0),3(2,0)的圆的方程.

【答案】(l)2x-y=0；

⑵(x-iy+d=.

【分析】(1)由题可得4(1,2),然后根据直线的位置关系可设/：2尤-y+c=O,进而即得；

(2)根据圆的几何性质可得圆心和半径，即得.

f2x+5y—12=0fx=l/、

【详解】⑴由二1c，可得G，即A1，2，

[—3x+y+l=0[y=2'7

由题可设直线/：2x-y+c=0,又直线/过点A。,2),

所以c=0,

所以直线/的方程为2x-y=0；

(2)因为圆心在直线/上且过点0(0,0),3(2,0),

由0(0,0),5(2,0),可得线段08的中垂线方程为x=l,

fx=l

由c，可得尤=l,y=2,

[2x-y=0

所以圆心坐标为(1,2),半径为「=炉下=逐，

所以圆心在直线/上且过点0(0,0),8(2,0)的圆的方程为(*-1)2+(卜2)2=5.

考点二：圆的一般方程

(~)圆的一般方程辨析

[、]例3.(2023秋・江苏盐城•高二盐城市伍佑中学校考期末)方程Y+y2+2y+根=。表示一个圆，则机

的取值范围是()

A.(1,-Hx))B.(-oo,l)

C.[l,+oo)D.(-oo,l]

【答案】B

【分析】运用配方法，结合圆的标准方程的特征进行求解即可.

【详角军】由%之+y2+2)+m=。，得%之+(y+l)2=1一机>(),

解得m<\.

故选：B

变式1.(2023秋.河南许昌・高二禹州市高级中学校考阶段练习)方程d+V-依+2。、+2。+1=0表示圆,

则实数a的可能取值为()

A.1B.2C.0D.-2

【答案】D

【分析】先把/+/一办+2ay+2a+l=0整理成圆的标准形式，满足右边关于。的表达式大于零.

【详解】由d+9-办+2ay+2a+l=0,可得[无-1]+(y+a)2=^--2a-l,

所以生-2a-1>0,

4

2.

解得a<-1或。>2,

选项中只有-2符合题意.

故选：D.

(-)由圆的一般方程求圆心、半径

・例4.

(上海市第三女子中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题)圆/+9+2天-分=0的圆

心坐标是.

【答案】(-1,2)

【分析】化圆的一般方程为标准方程，即可求得圆心坐标.

【详解】由f+y~+2x—4y=0,得(x+1)~+(y—2)-=5,

可得圆心坐标为(-1,2).

故答案为：(-1,2).

变式1.(2023春・湖北武汉•高二武汉市新洲区第一中学校考开学考试)已知圆C：x2+y2-4y+3=0,则

圆C的圆心和半径为()

A,圆心(0,2),半径厂=1B.圆心(2,0),半径r=1

C.圆心(0,2),半径厂=2D,圆心(2,0),半径厂=2

【答案】A

【分析】将圆的方程化为标准方程，从而可得圆心与半径.

【详解】由/+9——+3=0化为标准方程可得无2+(y-2『=1,

故圆心(0,2),半径r=L

故选:A.

变式2.（2023秋•高二课时练习）圆C：尤2+/+4尤-2y+3=0的圆心是,半径是

【答案】（-2,1）叵

【分析】将圆的方程化为标准方程，即可得出答案.

【详解】将圆方程化为标准方程可得，（x+2）2+（y-l）2=2.

所以，圆心C（-2,l）,半径/=忘.

故答案为：（-2,1）；也.

（三）求圆的一般方程

5.（2023秋・新疆克拉玛依・高二克拉玛依市高级中学校考期中）求适合下列条件的圆的方程:

⑴圆心在直线尤一2〉一3=0上，且过点4（2,-3）,3（—2,—5）的圆；

⑵过三点4。,0）,3（-1,一2）,。（3,-2）的圆.

【答案】(l)(x+l)2+(y+2)2=10

（2）%2+/-2%+4y+l=0

（2-a）2+（-3-Z＞）2=r2

【分析】（1）首先设圆的标准方程为（*-4+（八32=/，根据题意得到〈（-2--5-4=/，再解

a—2b—3=0

方程组即可.

1+0+尸=0

（2）首先设圆的一般方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0,加+炉一4尸＞。，根据题意得至『1+4一£）-2E+尸=0,

9+4+3D-2E+F=Q

再解方程组即可.

【详解】（1）设圆的标准方程为（x-a）2+（y-b）2=/,由题知:

（2-域+（-3一。）2=rra=.i

，（-2-4+（-5-5）2=/，解得卜=_2.

a-2Z?-3=0[r=10

所以圆的标准方程为：（x+iy+（y+2）?=10.

(2)设圆的一般方程为：^+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0,

‘1+。+尸=0fD=-2

由题知：*]+4-D-2E+F-0=<E=4,

9+4+3。一2E+尸=0[F=]

所以圆的方程为：X2+y2-2x+4y+l=0.

变式1.（2023•河南•校联考模拟预测）已知圆C经过抛物线＞-4x-8与x轴的交点，且过点（。,2）,则

圆C的方程为.

【答案】x2+y2-4x+2y-8=0

【分析】首先设圆的一般方程，结合条件，利用待定系数法，即可求解.

【详解】设圆C的方程为丁+y2+为+珍+尸=。，令y=0,X2+Dx+F=0,

则由圆C经过抛物线＞=一一4彳-8与x轴的交点可知方程/+m+尸=o与％2一4x-8=0同解，

所以D=T,F=-8,所以圆C的方程为尤2+/一4%+4一8=0,

又因为圆C过点（0,2）,所以4+2片-8=0,所以E=2,

所以圆C的方程为d+y2-4x+2y-8=0.

故答案为：x2+y2-4x+2y-8=0

变式2.（2023•河南郑州•模拟预测）已知点4-2,1）,3（-1,0）,以2,3）,0（02）四点共圆，则点。到坐标原点O

的距离为

【答案】3

【分析】待定系数法求得过42,C的圆的方程为x2+y2-4y-l=0,从而可得"+4一8-1=0,解得/=5,

再根据两点距离公式即可求解.

222

【详解】设过A,民C的圆的方程为：^+y+Dx+Ey+F=0,D+E-4F＞0,

4+l-2£)+£+F=0。=0

则，1-D+F=Q,解得<E=-4,

4+9+2D+3£+F=0F=-l

所以过A,B,C的圆的方程为：x2+y2-4y-l=0.

又因为点。在此圆上，所以4+4-8-1=0，解得4=5,

所以点。到坐标原点0的距离为+4=3.

故答案为：3

变式3.（2023・江苏•高二假期作业）过坐标原点，且在无轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为（）

A.x2+y2-2x-3y=0B.x2+y2+2x—3y=0

C.x2+y2-2x+3y=0D.x2+y2+2x+3y=0

【答案】A

【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点的坐标代入得到方程组，求出圆的方程.

【详解】设圆的方程为炉+/+。％+与+尸=0,（。2+£2-4尸>0）,

由题意知,圆过点（0,0）,（2,0）和（0,3）,

F=0D=-2

所以4+2。+/=0,解得石=-3,

9+3£+F=0F=0

所以所求圆的方程为犬+/一2工-3'=0.

故选：A

变式4.（2023秋•高二校考课时练习）已知圆经过点（2,1）和（-1,0）,该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2,

求圆的方程.

【答案】x2+y2-3x+5y-4=0.

【分析】利用待定系数法设出圆的方程，然后利用圆与两坐标轴的四个截距之和为-2,即可求解.

【详解】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由圆经过点（2,1）和（-1,0）,

[2D+E+F+5=0

代入圆的一般方程，得「1c（*）

[-D+F17+1-0

设圆在X轴上的截距为4、X2,则它们是方程尤2+小+尸=0的两个根，得不+々=一。.

设圆在y轴上的截距为为、为，则它们是方程/尸=。的两个根，得%+%=-E.

由已知，得-D+（-E）=-2,即£>+E—2=0.③

由（*）③联立解得。=-3,E=5,b=T.

故所求圆的方程为丁+/—3了+5'—4=0.

考点三：根据对称性求圆的方程

[、]例6.（2023秋・重庆荣昌•高二重庆市荣昌永荣中学校校考期中）圆（尤+丁+（k2『=4关于直线y=0

对称的圆的标准方程为.

【答案】(x+iy+(y+2y=4

【分析】两圆关于直线对称等价于圆心关于直线对称，半径不变，根据题意运算求解.

【详解】：圆(》+1)2+(丁-2)2=4的圆心(-1,2),半径为/=2,

则(-1,2)关于直线y=0对称的点为(-1,-2),

.•.对称圆的圆心为(―1,—2),半径为4=6=2,

故对称圆的方程为：(x+l『+(y+2)2=4.

故答案为：(x+l)2+(y+2)2=4.

变式1.(2023秋•高二单元测试)圆(x+l)2+(y-4)2=l关于直线丫=尤对称的圆是()

A.(x-l)2+(y+4)2=1B.(X-1)2+(J-4)2=1

C.(x+4)2+(y-l)2=lD.(X-4)2+(J+1)2=1

【答案】D

【分析】求出圆心关于直线对称的点的坐标，即可得到对称圆的方程.

【详解】圆(x+lf+Q-4=1圆心为(—1,4),半径为1,

设点(T4)关于直线y=%对称的点为(。力)，

b-41

----=—1

Q=4

则,解得

Z?+4a-1b=-V

K二F

所以点(T4)关于直线V=%对称的点为(4,-1),

所以圆G+l)2+(y—4)2=1关于直线y对称的圆是(％—4)2+(y+l)2=l.

故选：D.

变式2.(2023・全国•高三专题练习)与圆C:f+y2-x+2y=0关于直线/：x+y=0对称的圆的标准方程是

2

【答案】(x-l)+h+|j=|

【分析】先求得所求圆的圆心坐标，进而得到该圆的标准方程.

（』，半径中,

【详解】圆C：Y+y2-x+2y=0的圆心C

点关于直线/:x+y=0对称的点坐标为C'（l,

则所求圆的标准方程为。-1）2+、+3

故答案为：（x-l）2+（y+gI25

4

变式3.（2023秋•高二课时练习）已知圆Ci：x2+y2+2x—2y+l=0,圆C?与圆Q关于直线x-y-1=0对称,

则圆C2的方程为（）

A.尤2+9-4x+4y+7=0B.尤2+y2-4x-4y+7=0

C.炉++4x+4y+7=0D.x2+y2+4.r-4y+7=0

【答案】A

【分析】先求得圆G的圆心坐标G（-1,D和半径厂=1,再求得CbLl）关于x-y-l=0的对称点G（2,-2）,

得到圆C2的圆心坐标，进而求得圆C2的方程.

【详解】由题意知，圆G的圆心与G关于直线x-y-l=0对称，且两圆半径相等,

因为圆G:x2+j2+2x-2y+l=0,即G:(x+l)2+(y-l)2=1,

所以圆心G（-Ll）,半径为r=l,

设圆G（-1,1）关于直线x-y-1=0对称点为C?（九〃）,

-1+m1+H

-------------------1=0

22

则-，解得〃?=2,〃=-2,即Cz(2,-2),

n-lry

------xl=-l

.m+1

所以圆的方程为：（x-2>+（y+2『=1,即Y+/-©+4y+7=0.

故选：A.

变式4.（2023春・河南开封•高二统考期末）已知圆G：Y+y2=4与圆G关于直线2x+y+5=o对称，则圆

G的标准方程为（）

A.（x+4）2+（y+2）2=4B.（尤-4）?+（y-2『=4

C.（^+2）2+（y+4）2=4D.（尤-2）?+（＞-4）?=4

【答案】A

【分析】根据题意，求得圆心C1关于直线2x+y+5=。的对称点，即可得到结果.

【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为（0,0）,半径为2,设圆心G（0,0）关于直线2x+y+5=0的对称点

-x(-2)=-l

为C?(a,b),则，

2x-+-+5=0

22

所以圆C2的标准方程为（x+4Y+（y+2）2=4.

故选：A

变式5.（2023秋•高二课时练习）求圆/+丁+4%—12y+39=0关于直线3x—4y—5=0的对称圆方程.

【答案小

【分析】求出已知圆的半径和圆心坐标，再求出其圆心关于直线力-分-5=0对称的点的坐标，则可求对

称圆的方程.

【详解】由丁+9+412，+39=0可得(x+2y+(y-6)2=l,

故圆心坐标为P（-2,6）,半径为1,

设点P关于直线3x-4y-5=0的对称点为P（a,A）,

ci—2.匕+6.八32

3.—4--------5—0CL=-

225故尸传26、

则有＜解得＜

b-64,2615

---------二—b=--

〃+235

所以圆/+/+4X一12、+39=0关于直线3》一4〉一5=0的对称圆的方程为：

考点四：点与圆的位置关系

例7.【多选】（2023秋•高二课时练习）（多选）下列各点中，不在圆5-1）2+（丫+2）2=25的外部的

是（）

A.(0,2)B.(3,3)

C.(-2,2)D.(4,1)

【答案】ACD

【分析】利用给定的圆方程，把各选项中的点的坐标代入判断作答.

【详解】对于A,(0—1)2+(2+2)2遵25,点(0,2)在圆内;

对于B,(3-1)。+(3+2)2>25,点(工3)在圆夕卜;

对于C,(-2-1)2+(2+2)2=25,(-2,2)在圆上；

对于D,(4-叶+(1+2)2<25,(4,1)在圆内.

故选：ACD

变式1.(2023・江苏•高二假期作业)写出圆心为42,-3),半径为5的圆的标准方程，并判断点

加|(5,-7),知2(-2,-1)是否在这个圆上.若该点不在圆上，说明该点在圆外还是在圆内？

【答案】答案见解析

【分析】将点的坐标代入圆的方程，验证是否在这个圆上.根据点到圆心的距离判断该点在圆外还是在圆

内.

【详解】圆心为42,-3)，半径为5的圆的标准方程是(尤-2)2+(y+3)2=25.

把点叫(5,-7)的坐标代入方程(尤-2)2+(y+3>=25的左边，

得(5-2)2+(-7+3)2=25，左右两边相等，

点Mi的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上.

把点加式-2,-1)的坐标代入方程(X-2)2+(y+3)2=25的左边，

得(-2-2)2+(-1+3)2=20,左右两边不相等，

点M。的坐标不满足圆的方程,所以点M2不在这个圆上.

又因为点心到圆心A的距离d=M2A卜5(-2-2)2+(-1+3)2=26<5.

故点在圆内.

变式2.（2023秋•高二校考课时练习）若点（a+l,"l）在圆/+9一2世-4=0的内部，则a的取值范围是

（）.

A.<2>1B.0<d!<1C.—1<a<—D.a<1

【答案】D

【分析】根据题意，将点的坐标代入圆的方程计算，即可得到结果.

【详解】由题可知，半径厂=病乙，所以“eR,把点（。+1,。-1）代入方程，

贝Ma+l）2+（a-l）2-2a（a—l）-4<0,解得a<1,所以故a的取值范围是a<1.

故选：D

变式3.（2023秋高二课时练习）点尸（5,与圆尤?+y=24的位置关系是（）

A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不确定

【答案】C

【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外.

【详解】因为夕+加=25+加>24,所以点在圆外，

故选：C

考点五：圆过定点问题

[X例8.（2023秋・山西晋中•高二山西省平遥中学校校考期中）若圆

C：%2+_/-（;九—2）_¥+（〃2-2）y+〃，一3，九+2=0过坐标原点，则实数的值为（）

A.1B.2C.2或1D.—2或一1

【答案】A

【分析】把坐标（0,。）代入圆方程求解.注意检验，方程表示圆.

【详解】将（0,。）代入圆方程，Wm2-3m=0,解得机=3或0,

当"7=3时，x2+y2-3x+6y=0,满足题意;

当m=0时，x2+y2=0,不满足题意.

故选：C.

变式1.（2023高二课时练习）点尸（x,y）是直线2x+y-5=0上任意一点，。是坐标原点，则以OP为直径

的圆经过定点（）

A.（0,0）和（1,1）B.（0,0）和（2,2）C.（0,0）和（1,2）D.（0,0）和（2,1）

【答案】D

【分析】设点P（r,5-2t）,求出以OP为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.

,则线段OP的中点为/］；,三

【详解】设点尸5—2。

Z2+(5-2?)2,5产-201+25

圆M的半径为=

2

所以，以OP为直径为圆的方程为1+'-=5"’25

即尤2+y~_—5)y=0,即(彳2+,2_5y)+(2y_x)=0,

2y-x=0x=0x-2

解得或

x2+y2-5y=0'y=oj=l

因此，以。尸为直径的圆经过定点坐标为（0,0）、（2,1）.

故选：D.

变式2.（2023・全国•高三专题练习）若抛物线y=Y+以+6与坐标轴分别交于三个不同的点A、B、C,

则一ABC的外接圆恒过的定点坐标为

【答案】（0,1）

【分析】设抛物线y=v+办+6交y轴于点8（0力），交X轴于点A（X，0）、C（%,0）,根据题意设圆心为

P，'!，"，求出,写出圆尸的方程，可得出关于X、y的方程组，即可得出圆尸所过定点的坐标.

【详解】设抛物线y=/+如+6交y轴于点3（0⑼，交X轴于点4（40）、c（x2,o）,

由题意可知△=/-46>0,由韦达定理可得占+%=-°,XjX2=b,

所以，线段AC的中点为（go],设圆心为「1号1，

由四?=|哨可得、+「+-=£+«一力，解得t=\+彳厂2

xf+ax.+b=O,贝ljf=__b__b+l,则『一>=2_2,

-2b22

所以，圆？的方程为(x+~|J+(丫—等1=〃+/y

整理可得(炉+/一同+6+6(1->)=。，

x2+y2-y=0

x=0

方程组x=0的解为

y=i

l-y=0

因此，ABC的外接圆恒过的定点坐标为（0,1）.

故答案为：（0,1）.

变式3.（2023春・上海徐汇•高二上海中学校考期中）对任意实数优，圆/+/一3”a-6〃）+9帆-2=0恒过

定点，则定点坐标为一.

【答案】（1』）或

x2+y2-2=0

【分析】由已知得/+9一2一（3%+6y-9）机=。，从而3」'-9=。,由此能求出定点的坐标

【详角军】解：x2+y2-3mx-6my+9m-2=0,BPx2+y2-2-(3x+6y-9)m=0,

；解得，，或，，

令X=L=1x=gy=(

3x+6y—9=055

所以定点的坐标是（1,1）或

故答案为：（1,1）或

变式4.（2023秋•四川内江•高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知曲线C：

(l+a)%2+(l+a)y2-4x+8ay=0.

（1）当。取何值时，方程表示圆？

（2）求证：不论。为何值，曲线C必过两定点.

（3）当曲线。表示圆时，求圆面积最小时a的值.

【答案】（1）。工一1；（2）证明见解析；（3）a=\.

【分析】（1）当。=-1时，可知方程表示直线；当4工-1时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程；

（2）将已知方程整理为/+丁一©+°（犬+/+8幻=0,从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可

证得；

（3）根据（2）的结论，可知以为直径的圆面积最小，从而得到圆的方程，与已知方程对应相等可构造

方程组，解方程组求得结果.

【详解】解：（1）当。=-1时，方程为x+2y=0表示一条直线.

当1时，(1+。)尤2+(1+〃))2一41+8砂=0,

74/74+16〃2

整理得（尤_昌）2+。+々）2:

Q+1。+1(4+1)2

,-4+16"

由于国彳>0,

所以aw-1时方程表示圆.

（2）证明：方程变形为尤2+9—4x+a（尤2++8y）=0.

X2+y2-4x=0,

由于。取任何值，上式都成立，则有

x2+/+8y=0,

16

解得二。或

8

所以曲线C必过定点A（0,0）,

即无论。为何值，曲线C必过两定点.

（3）由（2）知曲线C过定点A,B,在这些圆中，以为直径的圆的面积最小（其余不以AB为直径的

圆的直径大于AB的长，圆的面积也大），

从而以AB为直径的圆的方程为+[+[]=y>

28

l+tz5

4a4解得aj

所以

1+a5

4+16/16

(1+a)2-5

考点六：与圆有关的轨迹问题

［、1例9.(上海市上海中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题)点M与两个定点。(0,0),F(2,0)

的距离的比为3:1,则点M的轨迹方程为.

［答案］(V>+y2=3

416

【分析】设出动点M(x,y),利用条件得到=3,再化简即可得到结果.

7(x-2)2+y2

I22

【详解】设点M(x,y),由题知y=3,两边平方化简得2/+2y2-9x+9=0,即(x/:

J(尤-2>+^416

QQ

所以点加的轨迹方程为(尤-;)2+y2=J.

416

故答案为：。-1Q了+/二橙Q.

416

变式1.(2023秋•高二课时练习)已知圆C：x2+y2-8.x-6y+16=0,过点尸(4,1)的直线与圆C交于点M,

N,线段的中点为Q,则点。的轨迹方程为.

【答案】(x-4y+(y-2)2=l

【分析】先判断点P在圆内，连接CQ,设出点Q的坐标(x,y),在利用垂径定理得到CQLMN,写出CQ和

P。坐标，利用CQ•尸。=0,得到％,>的关系，即可得出结果.

【详解】由圆C：/+,2-81-6丫+16=0方程变形为标准式(.―4)2+(,-3)2=9,

进而得出(4-4)2+(1-3)2=4<9,所以点尸(4,1)在圆C内部，

又因为。为线段MN的中点，连接CQ,由垂径定理得CQLMN,

设点。的坐标(x,y),得CQ=(x-4,y-3),PQ=(x-4,y-l),

所以CQ-PQ=0,W(x-4)2+(y-3)(y-l)=0,整理得(x-4)2+(y-2>=1,

所以点。的轨迹方程为(x-钎+(y-2>=1,

故答案为：。一4)2+(y-2)2=l

变式2.（2023秋・安徽阜阳•高二校联考阶段练习）已知圆E经过点A（0,0）,3（1,1）,且被直线

=平分.

（1）求圆E的一般方程；

（2）设尸是圆E上的动点，求线段AP的中点”的轨迹方程.

【答案】⑴Y+y2-2x=0

⑵f-x=0

【分析】（1）根据直线方程求定点，结合圆的性质，可得圆心，利用两点之间距离公式，可得答案;

（2）设动点坐标，根据题意，建立等量关系，代入圆的方程，可得答案.

【详解】（1）直线皿一丫―>=。恒过点（L0）.

因为圆E恒被直线侬-y-〃z=0（meR）平分，

所以〃氏一丫一根=0恒过圆心，

所以圆心坐标为（1,0）,又圆E经过点4（0,0）,所以圆的半径r=l,

所以圆E的方程为（x-iy+y?=1,gpx2+y2-2x=0.

（2）设M（x,y）.因为M为线段AP的中点，所以尸（2元,2y）,

因为点P是圆E上的动点，所以（24+（2丫）2-2x