高中数学人教版两角和与差及解三角形习题及解析

两角和与差及解三角形

OO选择题

1、函数/。）=8/2》的最小正周期是（）

冗兀

A.24B.%C.2D.4

郛

2、已知sina、cosa是方程5x2-亚x-2=0的两个实根，且aW（0,

花），则

兀

cos（a+4）=（）

OO

>/ioM3>/io3>/io

A.10B..10c.10D.-10

27r、71、

中sin(+a)=cos(z一+a)

3、已知339贝sin2rz=()

A.-1B.1c.2D.0

(a.

疑tar1~+"7-=一2

£124)

OO4、己知,贝ijsina=()

4433

A.-5B.5C.-5D.5

/、

•好•71_2石(

VkJoa---=CtG冗、--

I2)2

5、已知5,I),则tana=()

3j_

A.2B.2C.1D.2

穿

O渺O6、sin45cos15°+cos45°sinl50的值为()

l旧1

A..BB.——C.—D.-

2222

7、式子cosa+gsina的化简结果是（）

氐•E

A.2cos(a-y)B.2cos奴+a

C.—cos(a--)D.—cos(oc+—)

O2323

装

线

外

ooo订oo

学校

姓名

班

考号

级

内

装

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oooo线o

1>1A11,9,8

3-2・1。

17，,，

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园

—

163口

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D

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694

二

据

星

Tc

Fo

(s

岛L

a

+

6—17—

ii

15、下列各式中值为」i的是（）

oo2

A.2sin150cosl50B.cos215°—sin215°

C.2sin2150-lD.sin215°+cos215°

郛

16、在A4BC中，A=60°,a=4百，8=4夜，则8等于（）

A.45°B.135°C.45°或135°D.以上答案都不对

oo17、A43c中，若4=1,。=2,8=30。，则八43。的面积为（）

1y/3r-

A.—B.—C.1D.、/3

22

□]r»

18、在A/18C中，若a°+b2=*+Jlab,则。=（）

A.30°B.1500C.450D.135°

19、在△ABC中，若A=30°,a=8,匕=86,则5刖吹等于（）

ooA.32MB.1673C.32G或16石D.12后

20^在A4BC中，a=3,b-5,sinA=-,则sinB等于（）

3

•好•51c非,

A.-B.-C.---D.1

953

21、在△/8C中，若b=3,c=1,cos/f=-,则△/BC的面积为（）

3

A.V2B.26C.2D.2V2

0^0

22、在AABC中，若sir?A=sir?8+sir?C,则AABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定

23、在AABC中，a=l,b=g,NA=^，贝ijNB=（）

氐•E6

712乃

A.—D.

3T

24、在AABC中，已知A=60°,C=30°,c=5,贝ija=（）

o

A.5B.10C.573D.5V6

25、在AABC中，若NA:NB:NC=1:2:3,则a:0:c等于(？？)

A.1:2:3

ooB.3:2:1

C.2:V3:1

D.1:73:2

郛

填空题

(n\

tan。+—=—3

26、已知,"，则

o27、cos15°cos45°—cos75°cos45°=

--ij乃八3兀/c、123

28>已知—</3<.oc<.,cos(cz—(3)—，sin(a+/7)=——则

□]r»cos2a=.

29、在AABC中，6?=3A/3,C=2,B=150°,则b=.

三.解答题

30、已知AM。内接于单位圆，且(1+SM(1+S〃B)=2,

疑

⑴求角C

(2)求AABC面积的最大值.

•好•

31、已知函数/(x)=(sinx+cosx)**+cos2x.

(1)求/(尢)的最小正周期；

0^0(2)求/(力在区间0,-上的最大值和最小值.

氐•E

32、已知函数/(x)=gsin-+VSsinxcosj：-；cos2x.

(1)求函数＞=/(x)在［0,K］上的单调递增区间.

O

(2)若a且/(e)=j,求/(a+方)的值.

oo

郛

33、设函数f(x)=2cos2x+VJsin2x-l

(1)求/(X)的最大值及此时的x值

o

(2)求/(x)的单调减区间

(3)若白时，求/'(x)的值域

□]r»63

34、已知向量应二(2,sina),无=(cosa,—l),其中aw(0《)，且加_L”.

(1)求sin2a和cos2a的值；

疑(2)若sin(a-/7)=噜，且夕求角尸.

o

•好•35、已知函数/(x)=2asin2x+2sinxcosx-a的图象过点(0,-石).

(1)求常数a；

(2)求函数/(x)的最小正周期、单调区间、对称轴方程、对称中心坐标；

7T

(3)当xw[0,,]时，求函数/(x)的值域.

0^0

36、在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知acosC+ccosA=2bcosA.

(1)求角A的值；

(2)求sinB+sinC的取值范围.

氐•E

37、已知"c是AABC的三边长，Ka2+b2-c2=ab

(1)求角C

O

(2)若。=遥,。=3,求角A的大小。

38、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bsinA=&acosB.

OO

..(D求角B的大小；

..(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

..

..

..

..

郑

郑

39、已知在锐角^ABC中，a,b,c为角A,B,C所对的边，且（b-2c）cosA=a-

..

..

..2acos2—.

..

..2

..

..（I）求角A的值；

..

..（H）若a=M，求b+c的取值范围.

OO

..

..40、在AABC中，角A、8、。所对的边分别为a,b,c,已知（2c—a）cosB=/x:osA.

..

..

..（1）求角8；

..（2）若8=6,c=2a,求AABC的面积.

-IH

..

..

..

..

..

..

OO

..

..

..

..

..

..

期

堞

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..

..

..

..

..

..

..

..

OO

..

..

..

..

..

..

氐

M

.

..

..

..

..

..

..

O

O

・

♦・•

:

..

参考答案

一、单项选择

1、【答案】c

2、【答案】D

3、【答案】A

4、【答案】D

5、【答案】A

6、【答案】C

7、【答案】A

8、【答案】B

9、【答案】A

10、【答案】D

11、【答案】A

12、【答案】B

13、【答案】B

14、【答案】D

15、【答案】B

16、【答案】A

17、【答案】A

18、【答案】C

19、【答案】C

20、【答案】A

21、【答案】A

22、【答案】B

23、【答案】B

24、【答案】C

25、【答案】D

二、填空题

26、【答案】注

10

27、【答案】；

28、【答案】一3三3

65

29、【答案】7

三、解答题

30、【答案】（1）C=—（2）正二

42

试题分析：（1）变形已知条件可得山横+378=1-32从口〃8,代入可得

S〃C=Ta〃（A+B）=—警丝吗=-1,可得C值；（2）由正弦定理可得c,由余弦

\-tanAtanB'）

定理和基本不等式可得ab的取值范围，进而可得面积的最值.

详解：⑴++幻〃3）=2

tanA+tanB=1-tanA-tanB,

tanA+tanB_

tanC=一柩〃（A+3）=

\—tanAtanB

•/CG（0,7）C=7

（2）•.•△ABC的外接圆为单位圆，

其半径R=1

由正弦定理可得c=2Hs%C=&，

由余弦定理可得/=a2+h2-2abcosC,

代入数据可得2=/+〃+6Mb

N2ab+及ab=（2+&）ab,当且仅当a=b时，"=”成立

2

cib<----f=,

2+V2

:.^ABC的面积S=LahsinC<—二•—=也」，

22+V222

.1△ABC面积的最大值为：立二!■

2

【点睛】

本题考查两角和与差的正切，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，基本不等式的应用,

熟记定理，准确计算是关键，属中档题.

31、【答案】（1）］；（2）最大值为3+1,最小值为0.

试题分析：（1）利用平方和公式，二倍角的正弦函数公式，两角和的正弦函数公式即可

化简为f（x）=Asin（3X+巾）+k的形式，利用周期公式即可得解f（x）最小正周期;

.,心一tv_71715兀

(2)由已知可求2XH—G—，—利用正弦函数的图象和性质即可得解f（x）在区

444

TT

间0,-上的最大值和最小值.

_2J

试题解析：

7T

z--

#.f(x)=l+sin2x+cos2xV2sin(2x+r)+l

\1/•3

_2兀—

.,.f(x)的最小正周期为T=2二兀；

⑵由⑴的计算结果知，f(x)=65打(女14)+1.

-[0,

兀「「兀5兀1

...2x『[不—

K返

.,.sin(2x+4)e[-2,1],

.•.f（x）111ax二加+1，f（X）min=0.

点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，这是重要一环，通过看角之间

的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称

之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征,

可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.

32、【答案】（1）1局和伍，兀）；⑵埠心

试题分析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性得出结

论；（2）利用同角三角函数的基本关系、两角和差的正弦公式，求得/伉+3］的值.

试题解析：函数/(x)=；sin2x+J5simcosx-gcos2x=Gsinxcosx-gcos2x

呵2—，

(1)令2kit—<2x—<2kliH—,keZ,得---Fkuvxv—I-kit,keZ,

26263

所以函数y=/（x）在[0,可上的单调递增区间为0仁和吟，兀

।।（兀7兀、_7T।7T

（2）因r为卜所以2。一石£1],兀

因为/（a）=s山（2。_珊）=1，所以cos（2a_t）=—|,

所以

/^a+j1^=sin2a=sinK2a--^+仁=sin."2a——兀、cos—71+,cosfn2a——兀1sin.—兀,

I6j6I6；6

3V3413G-4

=­X-----------X—=

525210

点睛：本题主要考查了三角函数的化简，以及函数丁=4411（5+。）的性质，属于基础

题，强调基础的重要性，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周

期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，首先都应把它化为三角函数

的基本形式即y=Asin（ox+。），然后利用三角函数y=Asin〃的性质求解

33、【答案】（1）x=巳+Z万时，/（x）ma、=2；

JI2

（2）kjr—,kjrH—7i,keZ；

63

(3)[-1,2].

试题分析：（1）通过降幕公式化简2cos2%=l+cos2x,再利用辅助角公式化简函数为

/(x)=2sin2x+£,令2x+2=X+br,求函数的最大值以及x值；⑵根据上一

V6?62

7[TT3

间的化简，令2〃万+—42尤+—<2〃乃+—万次€2求函数的单调递减区间；（3）根据

262

x的范围，求2x+^的范围，然后求sin（2x+?1的范围，最后求函数的值域.

试题解析：/(x)=2x1+c；2"+6sin2x-1=V3sin2x4-cos2x=2sinf2x+^

当乙氏"时，%=乙+人乃时，；

(1)2x+6=2c+/J/(\x/)ITlaA=2

26

JIJI3

(2)由2k兀H—<2xH—<2k兀H—TI,kQZ

262

44万2

得2人左+—«2x42&4+—乃，解得：一+Z乃〈无工一7+女乃

3363

JT2

所以函数的单调递减区间为k7T+-,k7r+-7V,keZ.

63

(3)/(x)=2sin(2x+?

由-生得：—工42%+工4』万，所以-二4sin(2x+71W1

636662\6J6

所以—1</(x)<2,故函数/(x)的值域为[-1,2].

考点：1.三角恒等变换；2.三角函数的性质.

437t

34、【答案】(1)sin2a=—,cos2a=—；(2)P——.

554

试题分析：(1)由已知得2cos>-sina=O,从而由cos%+sin2a=1即可得cosa和

sina,由二倍角公式即可得解；

(2)由sin4=sin[a-(。一月)]利用两角差的正弦展开即可得解.

试题解析：

(1)•/m±n,：.2cosa-sina=0,

即sina=2cosa.

代入cos%+sin2tz=1,得5cos2a=1,且二

V5,275

则cosa=—,sina=—.

则sin2a=2sinacosa=2x立x述=-

555

cos2a=2cosa-l=2x——1=——.

55

⑵心[o,3

r./小丽/小35而/10

又sin(a-尸)=记，.-.cos(a-/7)=-^-.

10

/.sin/7=sin[a—(e—/7)]=sincrcos(a-7?)-costzsin(«-/?)=

2y/5

___y_3_>_/_io___V__5y_V__io—_7_2

510510-2'

因得夕=(.

点睛：三角函数求值的三种类型

(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角

函数.

(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.

(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确

定角.

35、【答案】(1)a=百；(2)7=乃，单调增区间［―2+左肛叱+Z4］(keZ)；单调

、冗11jrk7E

减区间［已一+&%,上+4万］/62),对称轴x=L+2伏eZ)；对称中心

1212122

(—।----,0)(A:&Z)；(3)［―\/3,2］.

62

试题分析：(1)把点((),一百)代入函数表达式即可求得。的值；(2)首先利用倍角公式

下两角差的正弦函数化简函数解析式，然后利用正弦函数的图象与性质解答；(3)利用

正弦函数的图象与性质解答即可.

试题解析：(1)把点((),一百)代入函数表达式，得一G=2asin2()+2sin0cos0-a,

得a=y/3.

(2)/(x)=273sin2x+sin2x-V3=sin2x-V3cos2x=2sin(2x--).

TT、冗

周期T=〃；单调增区间［—二+攵肛兰•+女切伏eZ)；单调减区间

I---卜kjt、------Fkjv\(kGZ).

1212

STTK7TTTk冗

对称轴x=+(&£Z)；对称中心(z+一,0)/£Z),

12262

(3)因为04x4工，所以一工-工《二，--<sin(2x-—)<1,

233323

所以一百＜2sin(2%-y)42,故f(x)的值域为[-6,2].

考点：1、倍角公式；2、两角差的正弦函数；3、正弦函数的图象与性质.

36、【答案】(1)A=y；⑵(近”.

试题分析：(1)要求解，已知条件中有角有边，一般情况下我们可以利用正弦定理把边

化为角的关系，本题acosC+ccosA=2bcosA,由正弦定理可化为

sinAcosC+sinCeosA=2sinBcosA,于是有sin(A+C)=2sinBcosA,即

1712TT

sinB—2sinBcosA,而sinBw0,于是cosA=—,A=—；(2)由(1)C=------B,

233

2TC2乃

且0＜3＜丁，sinB+sinC=sinB+sin(y-B),由两角和与差的正弦公式可转化为