高中数学第二章平面向量2.1从位移速度力到向量学案（含解析）北师大版必修4

1从位移、速度、力到向量考纲定位重难突破1.通过位移的概念，了解向量的实际背景．2.理解平面向量、零向量和单位向量的概念．3.理解向量的几何表示．4.理解向量共线及相等向量的含义.重点：对向量的有关概念的认识与理解及向量的表示．难点：相等向量、共线向量的理解与应用.授课提示：对应学生用书第33页[自主梳理]1．向量的概念及其表示(1)向量的概念：既有大小，又有方向的量．(2)向量的表示：①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作eq\o(AB,\s\up6(→))，线段AB的长度也叫作有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))的长度，记作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.②向量的表示(3)向量的模：|eq\o(AB,\s\up6(→))|(或|a|)表示向量eq\o(AB,\s\up6(→))的大小，即长度(也称模)．2．与向量有关的概念向量定义记法零向量长度为零的向量称为零向量0单位向量与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量a0相等向量长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量向量a与b相等，记作a＝b共线向量(平行向量)如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．规定零向量与任一向量平行a与b平行或共线，记作a∥b[双基自测]1．下列各量：①密度；②浮力；③温度；④拉力．其中是向量的有()A．①② B．②③C．②④ D．③④解析：由向量的概念知：浮力和拉力是向量，密度与温度是数量．答案：C2．已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，则|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)解析：易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，设AC与BD交于点O，则AO＝eq\f(1,2)AB△ABO中，易得|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，则|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).故选D.答案：D3.如图，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，AC与BD相交于点O，则相等的向量是()A.eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(CB,\s\up6(→)) B.eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→))与eq\o(DB,\s\up6(→)) D.eq\o(DO,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为平行四边形．∴AC与BD的交点O为BD中点，eq\o(DO,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).答案：D授课提示：对应学生用书第34页探究一向量的概念[典例1]判断下列语句是否正确，并简要说明理由．(1)若eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(PQ,\s\up6(→))是共线向量，则P，Q，M，N四点共线；(2)共线的向量，若始点不同，则终点一定不同；(3)若两个向量相等，则它们的始点和终点都相同；(4)所有的单位向量都相等；(5)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))|.[解析](1)不正确．若eq\o(MN,\s\up6(→))与eq\o(PQ,\s\up6(→))是共线向量，则直线MN与PQ可能重合也可能平行，故P，Q，M，N四点不一定共线．(2)不正确．共线的向量，始点不同，终点也可能相同．如图中的eq\o(AC,\s\up6(→))和eq\o(BC,\s\up6(→))共线，它们的始点不同但终点相同．(3)不正确．两个向量只要长度相等、方向相同就相等，和始点、终点的位置无关．(4)不正确．所有的单位向量的长度均等于1，但它们的方向不一定相同，所以它们不一定相等．(5)正确.eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的长度均为线段AB的长度．(1)零向量是用向量的长度来定义的，共线向量是用表示向量的有向线段所在直线平行或重合来定义的．相等向量是用向量的长度和方向共同定义的，要弄清这些概念的联系和区别．(2)理解向量的有关概念时，注意区分向量与有向线段：只有起点、大小和方向均相同，才是相同的有向线段．对于向量，只要大小和方向相同，就是相等向量，而与起点无关．1．给出下列几种说法：①温度、速度、位移这些物理量都是向量；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③向量的模一定是正数；④起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；⑤向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．其中，正确的序号是________．解析：①错误，只有速度、位移是向量．②错误．|a|＝|b|仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系．③错误.0的模|0|＝0.④正确．对于一个向量仅由大小和方向确定，与起点的位置无关．⑤错误．当eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))时，直线AB与CD也可能平行．答案：④探究二向量的表示方法[典例2]一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向向北偏西40°走了200km到达C点，最后改变方向，向东行驶了100km到达D点．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(AD,\s\up6(→))|.[解析](1)向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))如图所示．(2)由题意，易知eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))方向相反，故eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))共线，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，∴在四边形ABCD中，AB綊CD.∴四边形的ABCD为平行四边形．∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝200(km)．1．要能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型，数学建模是今后能力培养的主要方向，在日常学习中应注意积累经验．2．要注意区分向量和向量的模．2．如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(5).(1)画出所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)求|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值与最小值．解析：(1)所有的向量eq\o(AC,\s\up6(→))如图所示．(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最小值，为eq\r(12＋22)＝eq\r(5)；②当点C位于点C5或C6时，|eq\o(BC,\s\up6(→))|取得最大值，为eq\r(42＋52)＝eq\r(41).∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|的最大值为eq\r(41)，最小值为eq\r(5).探究三相等向量与共线向量[典例3]如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．(1)写出与eq\o(EF,\s\up6(→))共线的向量；(2)写出与eq\o(EF,\s\up6(→))的模相等的向量；(3)写出与eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量．[解析](1)因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF綊eq\f(1,2)BC.又因为D是BC的中点，所以与eq\o(EF,\s\up6(→))共线的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).(2)与eq\o(EF,\s\up6(→))的模相等的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).(3)与eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量有：eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).向量相等的辨别方法：判断一组向量是否相等，关键是看这组向量是否方向相同，长度相等，与起点和终点的位置无关．对于共线向量，则只要判断它们是否同向或反向即可．3.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．(1)与向量eq\o(ED,\s\up6(→))相等的向量有________；(2)若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，则|eq\o(EC,\s\up6(→))|＝________.解析：(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量eq\o(ED,\s\up6(→))相等的向量有eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→)).(2)因为|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，eq\o(EC,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以|eq\o(EC,\s\up6(→))|＝6.答案：(1)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))(2)6对向量的有关概念理解不准致误[典例]给出下列几种说法：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|≠|b|，则a≠b；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则ABCD是平行四边形；④平行四边形ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确的有________(填所有正确说法的序号)．[解析]①错误．两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同．②正确．③错误．若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四个点有可能在同一条直线上．所以ABCD不一定是平行四边形．④正确．平行四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝DC且有向线段eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))方向相同，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).⑤错误．若a