4.4.2对数函数的图像和性质教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

《对数函数的图象和性质》教学设计

课程基本信息学科高中数学年级高一年级课题对数函数的图象和性质（第一课时）教学目标1.会作对数函数的图像，理解底数对图象的影响。2.通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质。3.能利用对数函数的图象与性质来解决简单问题。教学内容本课所用教材为北师大版普通高中教科书数学必修第一册，教学内容为“对数函数的图象和性质（第一课时）”。对数函数是在学生系统地学习了指数函数概念及性质,掌握了对数与对数的运算性质的基础上展开研究的。作为重要的基本初等函数之一,对数函数是指数函数知识的拓展和延伸，同时也为学生今后进一步学习提供了必要的基础知识，因此对数函数在知识体系中起了承上启下的作用。教学内容的安排要体现类比、数形结合等的重要的数学思想，同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作用，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。教学重点：1.研究对数函数的图象，归纳对数函数的性质。2.对数函数性质的初步应用。教学难点：1.通过观察实例，理解底数a的两个范围对函数图象的影响，归纳对数函数的性质。2.对数函数性质的应用。教学过程一、知识回顾1.指数函数概念：形如y=ax(a>0，且a≠1)的函数叫做指数函数.指数函数的图象与性质:2.对数函数的概念：一般地，函数y=logax，(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，+∞）．二、新知探索与研究指数函数一样，我们首先画出其图象，然后借助图象研究其性质．先完成下列表格，并用描点法画出y=log2x的图象．问题：如何作出y=（学生讨论，并展示结果，教师点评）利用换底公式，可以得到y=y=log2x的图象用GeoGebra软件演示出这两个函数，增加学生对它们对称性的印象。同理，y=所以y=logax即底数互为倒数的两个对数函数的图象关于𝑥轴对称.用GeoGebra软件观察底数a对函数图象的影响，让学生感受到底数对图象变化的影响。并能总结出一般性质。选取底数a的若干值，例如a＝3，a＝4，a＝13，a＝1发现对数函数y=logax,(a>0,且a≠1)的图象按底数a的取值，可分为0<a<1和a>1两种类型，因此，对数函数的性质可以分为0<a<1和a>1两种情况进行研究．三、实践提升例1比较下列各组中，两个值的大小：（1）log23.4与log28.5解:log23.4与log28.5可以看成函数y=log2x的两个函数值,∵底数2>1,∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；∵3.4<8.5∴log23.4<log28.5（2）log0.31.8与log0.32.7；解:log0.31.8与log0.32.7可以看成函数y=log0.3x的两个函数值,∵底数0.3<1,∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；∵1.8<2.7∴log0.31.8>log0.32.7（3）loga5.1与loga5.9(a＞0，且a≠１)．解:loga5.1与loga5.9可以看成函数y=logax的两个函数值,当a>1时,函数在区间（0，+∞）上是增函数，∵5.1<5.9∴loga5.1<loga5.9当0<a<1时,函数在区间（0，+∞）上是减函数；比较两个对数值大小关系的基本方法：①底数相同时，可以用构造函数的方法，利用函数的单调性进行比较；②底数不相同时，可以选取中间值进行比较，通常会选取0，1等中间值.∵5.1<5.9∴loga比较两个对数值大小关系的基本方法：①底数相同时，可以用构造函数的方法，利用函数的单调性进行比较；②底数不相同时，可以选取中间值进行比较，通常会选取0，1等中间值.例2溶液酸碱度的测量．溶液酸碱度是通过pH计量的．pH的计算公式为pH＝-lg[H＋]，其中[H＋]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．（1）根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；（2）已知纯净水中氢离子的浓度为[H＋]＝10－7摩尔/升，计算纯净水的pH．解：（1）令pH=y,[H＋∵函数

y=lgx在（0，+∞∴函数

y=-lgx在（0，+∞所以，pH随着[H＋]的增大而减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强．（2）当[H＋]＝10－7时，pH＝－lg10－7＝7．所以，纯净水的pH是7．总结：对应用性的问题，通常会把这个问题进行数学化，即引入数学函数模型，用数学建模的方法，把应用性问题转换成数学函数问题，更有利于后续问题的讨论。练习1比较下列各题中两个值的大小： ⑴lg6lg8 ⑵log0.56log0.54 ⑶log0.10.5log0.10.6 ⑷log1.51.6log1.71.5解析：⑴lg6<lg8⑵log0.56<log0.54⑶log0.10.5>log0.10.6⑷∵log1.51.6>log1.51.5=1log1.71.5<log1.71.7=1∴log1.51.6>log1.71.5练习2解下列不等式⑴ln(2x)<0; ⑵log2x<2;⑶lg(1-x)>lg(x+1); ⑷log0.5x2>log0.5(x+2).解：⑴∵函数

y=lnx在(0， 又ln1=0

， ∴当ln(2x)<ln1时，0<2x ∴0<x<(2)∵函数 又log ∴当log2 得0<x<4(3)∵函数y=lgx在(0，+∞)上是增函数， ∴当lg(1-x 解得：-1<x<(4)∵函数y=log0.5x在 ∴当log0.5x2 解得：-1<x<2本课小结(1)(2)11、思想方法：(1）数形结合：