高考数二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分 专题一 第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用 文（以真题和模拟题为例 含解析）

"《创新方案》届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题一第三讲基本初等函数、函数与方程及函数的应用（以年真题和模拟题为例，含答案解析）"一、选择题1．设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．a<b<cC．b<a<c D．a<c<b解析：选C根据幂函数y＝x0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b<a<1；根据对数函数y＝log0.3x的单调性，可得log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1.所以b<a<c.2．(·辽宁高考)已知函数f(x)＝ln(eq\r(1＋9x2)－3x)＋1，则f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝()A．－1B．0 C．1D．2解析：选D由已知，得f(－x)＝ln(eq\r(1＋9x2)＋3x)＋1，所以f(x)＋f(－x)＝2.因为lg2，lgeq\f(1,2)互为相反数，所以f(lg2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1,2)))＝2.3．(·日照模拟)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是()A．(0，eq\r(5)) B．(－eq\r(5)，eq\r(5))C．(2，eq\r(5)) D．(－eq\r(5)，－2)∪(2，eq\r(5))解析：选D由已知得函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，且f(1)＝2，所以0<x2－4<1，则x∈(－eq\r(5)，－2)∪(2,eq\r(5))．4．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1、y2分别是2万元、8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A．5千米处 B．4千米处C．3千米处 D．2千米处解析：选A设仓库到车站的距离为x千米，由题意得y1＝eq\f(k1,x)，y2＝k2x，其中x>0，又当x＝10时，y1＝2，y2＝8，故k1＝20，k2＝eq\f(4,5).所以y1＋y2＝eq\f(20,x)＋eq\f(4,5)x≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4,5)x)＝8，当且仅当eq\f(20,x)＝eq\f(4,5)x，即x＝5时取等号．5．已知符号函数sgn(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))则函数f(x)＝sgn(x－1)－lnx的零点个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C依题意得，当x－1>0，即x>1时，f(x)＝1－lnx，令f(x)＝0得x＝e>1；当x－1＝0，即x＝1时，f(x)＝0－ln1＝0；当x－1<0，即x<1时，f(x)＝－1－lnx，令f(x)＝0得x＝eq\f(1,e)<1.因此，函数f(x)的零点个数为3.6．已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3,3b＝2，则nA．－1 B．－2C．1 D．2解析：选Aa＝log23>1，b＝log32<1，令f(x)＝0，得ax＝－x＋b.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝ax和y＝－x＋b的图像(图略)，由图可知，两函数的图像在区间(－1,0)内有交点，所以函数f(x)在区间(－1,0)内有零点．所以n＝－1.7．(·太原模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2,|x－4|)，x≠4，,a，x＝4，))若函数y＝f(x)－2有3个零点，则实数a的值为()A．－4 B．－2C．0 D．2解析：选D如图，当函数y＝f(x)－2有3个零点时，等价于函数y＝f(x)的图像和y＝2的图像有3个交点，此时必有a＝2.8．(·沈阳模拟)已知关于x的方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝eq\f(1＋lga,1－lga)有正根，则实数a的取值范围是()A．(0,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，10))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)，1)) D．(10，＋∞)解析：选C令f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，g(x)＝eq\f(1＋lga,1－lga)，由方程eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x＝eq\f(1＋lga,1－lga)有正根，即f(x)，g(x)的图像在(0，＋∞)上有交点，如图可知0<eq\f(1＋lga,1－lga)<1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋lga,1－lga)>0，,\f(1＋lga,1－lga)<1，))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<lga<1，,\f(2lga,lga－1)>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<lga<1，,lga<0或lga>1，))即－1<lga<0，则eq\f(1,10)<a<1.9．已知两条直线l1：y＝a和l2：y＝eq\f(18,2a＋1)(其中a>0)，l1与函数y＝|log4x|的图像从左至右相交于点A，B，l2与函数y＝|log4x|的图像从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为m，n.当a变化时，eq\f(n,m)的最小值为()A．4 B．16C．211 D．210解析：选C设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，则xA＝4－a，xB＝4a，xC＝4－，xD＝4，则eq\f(n,m)＝eq\f(4a－4,4－4－a)，分子与分母同乘以4，可得eq\f(n,m)＝4a＋eq\f(18,2a＋1)＝2.又2a＋eq\f(36,2a＋1)＝2a＋1＋eq\f(36,2a＋1)－1≥2eq\r(2a＋1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(36,2a＋1))))－1＝11，当且仅当2a＋1＝6，即a＝eq\f(5,2)时等号成立，所以eq\f(n,m)的最小值为211.10．(·济南模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，－1<x≤0，,fx－1＋1，x>0，))若函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为()A．an＝eq\f(nn－1,2) B．an＝n(n－1)C．an＝n－1 D．an＝2n－2解析：选C当x∈(－1,0]时，f(x)＝x3，其端点为(0,0)，然后将其图像向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到x∈(0,1]的图像，其中一端点为(1,1)，….如此平移下去，分别得到x∈(1,2]，x∈(2,3]，…的图像，其端点分别为(2,2)，(3,3)，…，又其图像与直线y＝x的交点的横坐标即为函数g(x)＝f(x)－x的零点，易知零点分别为0,1,2,3，…，故其通项公式为an＝n－1.二、填空题11．已知函数f(x)＝2x－eq\f(1,2x)，函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx，x≥0，,f－x，x<0，))则函数g(x)的最小值是________．解析：当x≥0时，g(x)＝f(x)＝2x－eq\f(1,2x)为单调增函数，所以g(x)≥g(0)＝0；当x<0时，g(x)＝f(－x)＝2－x－eq\f(1,2－x)为单调减函数，所以g(x)>g(0)＝0，所以函数g(x)的最小值是0.答案：012．(·潍坊模拟)若关于x的方程kx＋1＝lnx在区间[1，e2]上有解，则实数k的取值范围是________．解析：原方程在区间[1，e2]上有解，即方程k＝eq\f(lnx－1,x)在区间[1，e2]上有解，也就是函数y＝k和y＝eq\f(lnx－1,x)的图像在区间[1，e2]上有交点．因为y＝eq\f(lnx－1,x)的导数为eq\f(2－lnx,x2)，所以可得函数y＝eq\f(lnx－1,x)在[1，e2]上单调递增，可知函数y＝eq\f(lnx－1,x)在x＝e2处取得最大值eq\f(1,e2)，在x＝1处取得最小值－1，所以函数y＝eq\f(lnx－1,x)在[1，e2]上的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，eq\f(1,e2)))，从而－1≤k≤eq\f(1,e2).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，eq\f(1,e2)))13．函数y＝f(x)满足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,4)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))，当x∈[－1,4]时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在区间[0,2012]上零点的个数为________．解析：根据feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5,4)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,4)))，可得fx＋eq\f(5,2)＝－f(x)，进而得f(x＋5)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以5为周期的周期函数．当x∈[－1,4]时，f(x)＝x2－2x，在[－1,0]内有一个零点，在(0,4]内有x1＝2，x2＝4两个零点，故在一个周期内函数有三个零点．又因为2012＝402×5＋2，故函数在区间[0,2010]内有402×3＝1206个零点，在区间(2010,2012]内的零点个数与在区间(0,2]内零点的个数相同，即只有一个零点，所以函数f(x)在[0,2012]上零点的个数为1207.答案：120714．届大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20000元，每天需要房租水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R与门面经营天数x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0≤x≤400，,80000，x>400，))则总利润最大时，该门面经营的天数是________．解析：由题意，知总成本C(x)＝20000＋100x.所以总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x－\f(x2,2)－20000，0≤x≤400，,60000－100x，x>400，))P′(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300－x，0≤x≤400，,－100，x>400.))令P′(x)＝0，得x＝300，易知当x＝300时，总利润最大．答案：30015．(·西城模拟)已知函数f(x)＝e|x|＋|x|.若关于x的方程f(x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．解析：f(－x)＝f(x)，因此函数f(x)是偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x是增函数，此时f(x)＝ex＋x≥f(0)＝1，因此要使方程f(x)＝k有两个不同的实根，即函数y＝f(x)的图像与直线y＝k有两个不同的交点，结合图形可知，实数k的取值范围是(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)16．设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________(写出所有正确结论的序号)．①任意x∈(－∞，1)，f(x)>0；②存在x0∈R，使ax0，bx0，cx0不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则存在x0∈(1,2)，使f(x0)＝0.解析：(1)由题设f(x)＝0，a＝b⇒2ax＝cx⇒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))x＝eq\f(1,2)，又a＋b≤c，a＝b⇒eq\f(a,c)≤eq\f(1,2)⇒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))x≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，x>0，所以eq\f(1,2)≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x⇒0<x≤1.(2)由题设a＋b>c⇒eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)>1，又0<eq\f(a,c)<1,0<eq\f(b,c)<1，∀x∈(－∞，1)⇒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\