2025年高考数学一轮复习-4.4.1-利用导数研究恒成立问题【课件】

第四节导数的综合应用第1课时利用导数研究恒(能)成立问题核心考点·分类突破第四章一元函数的导数及其应用【命题分析】恒(能)成立问题与有解问题是高考数学的重要知识,其中不等式恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇,综合考查学生分析问题、解决问题的能力,一般作为压轴题出现.核心考点·分类突破

解题技法分离参数法解决不等式恒成立问题的策略(1)观察:已知含参数λ的不等式f(λ,x)≥0恒成立.(2)转化:将不等式转化为g(λ)≥h(x),即将参数λ与变量x分离,可以将λ单独分离到不等式一边,也可以将只含有λ的一个代数式分离到不等式的一边.(3)求最值:求函数h(x)的最值或值域.求h(x)最大值或值域的方法要依据函数h(x)的形式确定,可以用导数法、均值不等式法、换元法、单调性法等.(4)得结论:若h(x)的最大值为M,则g(λ)≥M恒成立;若h(x)不存在最大值,其值域为(m,M)时,g(λ)≥M恒成立.

【解析】f(x)≤x-1恒成立,即a≥x2-(x-1)ex在[1,+∞)上恒成立,设g(x)=x2-(x-1)ex,g'(x)=x(2-ex),x∈[1,+∞)时,x>0,2-ex<0,所以在[1,+∞)上,g'(x)<0,所以函数g(x)=x2-(x-1)ex在[1,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(1)=1,所以a≥1,故a的取值范围为[1,+∞).角度2

分类讨论法求参数范围[例2](2023·烟台模拟)已知函数f(x)=x2+alnx.(1)讨论f(x)的单调性;

[例2](2023·烟台模拟)已知函数f(x)=x2+alnx.(2)若f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.

解题技法根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题,此类问题关键是对参数分类讨论,在参数的每一段上求函数的最值,并判断是否满足题意,若不满足题意,只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可.

解题技法在不等式恒成立问题中,如果不能分离参数或分离参数后的函数的最值比较难求,可以把含参不等式整理成f(x,a)>0或f(x,a)≥0的形式,然后从研究函数的性质入手,通过讨论函数的单调性和极值,直接用参数表达函数的最值,然后根据题意,建立关于参数的不等式,解不等式即得参数的取值范围.(1)如果f(x,a)有最小值g(a),则f(x,a)>0恒成立⇔g(a)>0,f(x,a)≥0恒成立⇔g(a)≥0;(2)如果f(x,a)有最大值g(a),则f(x,a)<0恒成立⇔g(a)<0,f(x,a)≤0恒成立⇔g(a)≤0.

考点二不等式能成立问题[例4]已知函数f(x)=x2-4ln(x+1).(1)求函数f(x)的极值;

x(-1,1)1(1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘1-4ln2↗故当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=1-4ln2,无极大值.[例4]已知函数f(x)=x2-4ln(x+1).(2)存在x∈(-1,+∞),使不等式f(x)-a≤0成立,求实数a的取值范围.【解析】(2)存在x∈(-1,+∞),使不等式f(x)-a≤0成立,等价于f(x)min≤a,由(1)知f(x)min=f(1)=1-4ln2,所以a≥1-4ln2,即实数a的取值范围为[1-4ln2,+∞).解题技法已知不等式能成立求参数值(取值范围)问题常用的方法(1)函数法:讨论参数范围,借助函数单调性求解.(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域或最值问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,进而构造两个函数,然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,利用数形结合的方法求解.一般地,①∃x∈