高中数学竞赛（强基计划）历年真题练习 13 数学归纳法 （学生版+解析版）

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题13数学归纳法真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、填空题

1.（2019•全国•高三竞赛）在数列｛%｝中，4=g,an+i=2a,-［a,］,其中，［x］表示不超

过实数X的最大整数.则々009+“2010=-

2.（2019•全国•高三竞赛）已知实数列｛%｝定义为《＞=：,4,5（〃eN）.设

，ZIDCtn）

4=■1•则｛A｝中有个完全平方数.

二、解答题

3.（2021•全国•高三竞赛）数列｛4｝满足：q=0,4=1，4=।骋缶｛4+%+i｝,求｛4｝的

通项公式.

4.（2021•全国•高三竞赛）求所有的函数/：ZfR,满足/（1）=|,且对于所有整数万、¥,

有/（x）/（y）=/（x+y）+/（x-y）.

5.（2021•全国•高三竞赛）已知=1+1+：++'（"eN,）.证明：当”22时，

23n

［；＞2得+争"+

I23nJn

6.（2018•全国•高三竞赛）设ao=l,a“M=式'（〃=。，1，）,求证：

（1）凡=）；

7.(2018•全国•高三竞赛)设2〃个实数4，/，…，4；4也，…也(〃N3)满足条件

(1)at+a2+-+an=b}+b2+...+bn；

(2)0<at=a2,af+aM=ai+2(z=1,2,M-2)；

(3)0<bt<b2,bt+bM<bi+2(i=l,2,...,n-2).

求证：4i+a“46“-i+2.

8.（2019•全国•高三竞赛）设数列｛a“｝、｛。｝满足/=%=1,。“+|=5%+7%,

%=7。“+1。么.证明:对任意的如neN,am+n+bm+n=ama„+bmbn.

9.（2018•全国•高三竞赛）若百位数字为9的〃位自然数N的各位数字之和为M,其中

N

n＞3,当一的值最小时，N是多少?

M

10.（2019•全国•高三竞赛）求证：数歹Ua“=3"cos（〃arccos；）〃=l,2）的每一项都是

整数，但都不是3的倍数.

11.（2019•全国•高三竞赛）设数列｛4｝满足％=1,〃向="+2（〃€•），试求［WoJ.

12.（2018•全国•高三竞赛）已知数列｛玉｝满足办="。＞0）,且对所有正整数〃有

1

x,,+T（〃+2）X"-X”•求证：存在正整数〃，使得4＞2010!.

/=1

13.（2021•全国•高三竞赛）给定正整数〃?、k,有"个选手A，4，，4参加一次测试，

该测试由，"个项目构成，每个项目完成后都会取得一个评分，没有两个人在一个项目取

得相同的评分.求〃的最小值，使得总存在左个选手

A，4,，&/斗气＜，4,在第，个项目中的上个得分要么单调递

增，要么单调递减，j=12,m.

14.（2018•全国•高三竞赛）正整数数列｛4｝满足：4=1，4”=［："［：'：：：

（1）求生008；

（2）求最小的正整数〃,使得q=2008.

2/

15.（2018•全国•高三竞赛）给定两个数列，满足｛q｝：%=1吗=13,。向~（/?eAT+）；

an-\

也｝:%=1,:M：-64（neN），证明：对任意的“wN,%+2可表为两个正

整数的平方和.

16.（2021•全国•高三竞赛）设Z1,zz,"MO和吗，叼，，叼网为两组复数，满足:

2CP0）020

£|Z『＞5＞了.求证：存在数组（今后，，笈。）（其中弓5fl｝），使得

»=|1=1

20202020

Z钻>Z。"，

/=!Z=1

yxf>2n-l

17.(2021•全国•高三竞赛)己知〃个非负实数4%，，Z和为1.求证：合弋丫"〃2.

六1

18.(2021•全国•高三竞赛)设数列｛。,,｝满足册+“+%_”=^a2m+a2nym>n>O),al=\.

6、正学,1«4039

求证：%或(痢・

19.(2018•全国•高三竞赛)/(")定义在正整数集上，且满足/(1)=2,

/(n+l)=(/(n))2-/(n)+l,n=l,2,.求证：对所有整数〃>1,有

1,--1--->己---1-<1,----1

2》自/⑴22"'

20.(2021•全国•高三竞赛)给定正整数鹿23.求最大的实数M.使得>M

对任意正实数4，。2,M”恒成立，其中4+1=4.

------XH0

21.(2018•全国•高三竞赛)数列｛4｝满足：e(O,l),x„+l="x„［尤」"\neN+).

0,

求证：对一切“eN*,均有占+迎++%„<4+4++；淇中［同表示不大于实数工

J273Jn+\

的最大整数，｛/,｝是斐波那契数列：/=力=1，兀2=£川+力，〃£2.

1

22.(2018•全国•高三竞赛)已知数列，.求

+a„_a+a„_a)

3〃一122t}

证：a〃+i<%•

23.(2018•全国•高三竞赛)给定正整数〃对于正整数机，集合S,“=｛1,2,,mn｝.

集族尸满足如下条件：

(1)F的每个集合都是S,„的加元子集；

(2)产中的任意两个集合至多有一个公共元素：

(3)晨的任意一个元素恰出现在F中的两个集合中.

试求“，的最大值.

24.(2018•全国•高三竞赛)奥运会排球预选赛有"支球队参加，其中每两队比赛一场，

每场比赛必决出胜负.如果其中有2(34心〃)支球队A，4，，4满足：A胜4,4胜4,

AT胜4，4胜A”则称这左支球队组成一个“k阶连环套”.证明：若全部”支球

队组成一个”阶连环套，则对于每个4及每支球队4（14区〃），4必与另外某些球队

组成一个左阶连环套.

25.（2019•全国•高三竞赛）求满足下列条件的最小正整数t,对于任何凸n边形AaLA„,

只要“Nf,就一定存在三点4、可、Ak（\<i<j<k<n）,使AAA/*的面积不大于凸n

边形A&LA,面积的

n

26.（2019•全国•高三竞赛）正整数数列｛4｝满足：出=16,

11121

—7丁；八,<京.试求通项公式明•

27.（2019•全国•高三竞赛）设/（力是定义在自然数集合N上并在N上取值的函数，满足：

对任何两个不相等的自然数以有〃。+6）=2009.

⑴求/⑼；

⑵假设4，生，，“3是100个两两不相等的自然数，求

/（«））+/（«2）++/（4«0）一/（4+生++«100）；

（3）是否存在符合题设条件的函数/（x）,使/（2009）=20092，证明你的结论.

28.（2018•全国•高三竞赛）设p（x）f+8-4）:1-6-4）,其中，b为正奇数.

定义数列｛S｝满足E=P（S"J,S°=P（6）.若正整数〃22,使得加=《产为素数.证

明:”|（%「6）.

29.（2019•全国•高三竞赛）求证:存在唯一的正整数数列4，%，，使得4=1吗>1，

勺+1（%T）=3/“汹"2-15=1,2,）.

米/“+2-1+1

30.（2022•浙江杭州•高三学军中学校考竞赛）我们称X为“花式集合”，如果它满足如下

三个条件：

（a）|X|=2022；

（b）X的每个元素都是包含于[0,1]中的闭区间（元素可重复）；

（c）对于任意实数re[0,1],X中包含r的元素个数不超过1011.

对于“花式集合”48和区间/eAJWB,用〃(A,B)表示使得/cJ*0的对(/，)的数量.

求〃(A3)的最大值.

【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】

专题13数学归纳法真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）

一、填空题

1-（2019•全国•高三竞赛）在数列｛《,｝中，an+l=2a„-［a„］,其中，［x］表示不超

过实数X的最大整数.则%）09+“2010=.

【答案】2009

【详解】由已知得4=呆2=1，,=；

下面用数学归纳法证明：

凡+2-。”=1，凡+。,川=〃•

显然，当n=l时，结论成立.

假设当n=k时，结论成立，即

ak+2~ak=L4+4+i=k.

则当n=k+l时，

4+3—ak+\

=24+2-&+2卜（2%-&］）

=2（%2一见）-（&+2］-&］）=1，

4+1+4+2=%+i+（4+1）=%+1•

故当n=k+l时，结论也成立.

综上，an+2-a„=l,4,+4“i=〃总成立.

因此,出009+“2010=2009.

故答案为2009

2.（2019•全国•高三竞赛）已知实数列｛/｝定义为4=：,4,田eN）.设

2215an）

4,=豆匚y.则｛4｝中有个完全平方数.

【答案】无限.

【详解】设凡=9（凡、％€7+，（%，%）=1）.则

-2M5p,J10PM

1/口9

由旬=2f得q=三.

2

n~+^U-_

若51%,则由P“,iJ"5，知5|功…

%+i2p“q“

故当”21时，5|%.

又由式①知当〃21时，P“为奇数，%为偶数.于是,

^,+i=P>y'qe=2p,q..

A_5_5」_q：

则4-54-广50；-夕厂2

凡一不

2

由归纳法知含=1.

所以，4=屋（〃21）为完全平方数.

故答案为无限

二、解答题

3.（2021•全国•高三竞赛）数列｛可｝满足：q=0,4=1，«„=豁｛4+4"+，｝,求｛/｝的

通项公式.

【答案】4=空也

【详解】用数学归纳法，当〃=1,4=0,符合;

假设"4幺4=若1,

当〃=%+1时，则％।=max｛4+4+1+i｝

=max[0+（A+-）（J）+i]

—I22J

=等+^?｛94）｝=9，

故〃=4+1时，命题成立,

n（n-l）

所以为=-4

4.（2021•全国•高三竞赛）求所有的函数f:Z-R,满足/⑴=|,且对于所有整数x、y,

有/(x)./■(y)=/(x+y)+/(x-y).

【答案】函数只有一个：/(x)=2'+21

【详解】令y=i,得|f(x)=f(x+i)+f(x-i),即

令x=y=O,得尸(o)=2/(o),所以"0)=0或2.

若"0)=0,由①，八2)=々,〃3)=萼J(4)=等.

4816

令x=y=2,得产⑵=/(4)+/(o).但(弓)2=黑+0不成立，矛盾.

若"0)=2,由条件,对任意的整数x、y,有f(x)/(-y)=〃x—y)+/(x+y).

令X=O,得2/(一力=/(一y)+f(y),即/㈠)=/(」).

所以，“X)为偶函数.

根据①由数学归纳法可证明，对任意正整数》,有/(x)=2*+2：

再由〃x)为偶函数知对于任意的整数x,有f(x)=2、+2f.

经验证，/(x)=2'+2T满足条件.

综上，满足条件的函数只有一个：/(x)=2t+2-\

5.(2021•全国•高三竞赛)已知%=1+:+!++!(〃eN*).证明：当〃22时，

23n

d>2件+令+

[23n)n

【答案】证明见解析

【详解】(1)当〃=2时，左边=蜷=-；右边=2冬+1==+[=2；

V2；42222

9

因为:>2,所以，所证不等式成立.

4

(2)假设"二灯八2)时不等式成立，即d>2倍+g++牛]+?成立.

I23kJk

当〃=左+1时，

+-++(%+1)2

++1

=2++TI7T)4

TT(女+1)2

/+A+1

k(k+\)2

>2但+2+

I23+牛+缶卜舟

=2(”+幺+

I23

所以，当“=左+1时，不等式也成立.

由（1）、（2）可知，当“eN+，〃22时，所证不等式成立.

6.（2018•全国•高三竞赛）设a。=1,a“+i=[+>（〃=°',），求证：

（1）%彳*（"=12）;

⑵an<^£可（〃=1,2,）.

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【详解】（1）令b“=L,则d=l,%|=d+?.

%b.

41—

只须证明2>-Vn（«>l）

下面用数学归纳法证明.

当〃=1时，命题显然成立.

假设有22g五.

因为函数y=x+：,xe（l,*o）上是严格递增的，

所以，

b}=b+—>—4n+——=—s[n+--y=>-y[n+--\=>—4n+——j=^—尸=&J〃+1

234r34册336337^71+63

3

因此，对每一个〃之1.都有〃丝«.即可螳。伍=1,2,).

33y/n

(2)因为一匚='+。〃，所以，

%%

^-^=^-^-+(n+\]an=—+—4-(n+l)6?n>—+2l—(n+l)a^=—+2\/n+l.

%4444V44

即上^-△N2〃+1(k=01,),

%4

于是，之户-42sg，即四22题.

/=0\4+1%)/=0i=0

则=)

故/建住"(〃=1,2,).

7.(2018•全国•高三竞赛)设2n个实数4,4，…吗；自也，…也(“23)满足条件

(1)at+a2+...+an=bl+b2+...+bn；

(2)0<at=a2,4+%]=4+2(i=l,2,...,"-2)；

(3)0</?,<Z?2,bt+bM<bi+2(i=l,2,...,n-2).

求证：a,i+a“4be+b..

【答案】见解析

【详解】如果《4仇，山递推关系即知：对一切的1,均有4.结论显然成立(事实

上此时山条件(1)可知，必有q=e).

设6>々，当〃=3时，结论显然成立.

假设〃=%时，结论成立，只要证〃=%+1时结论成立.

令1=1,玛=2,1+%=%2，-

设a；=q+%,a'2=a},

a\-aM+Fi-ia\>i=3,4，…,k-

b、=b、+b],4=63,

b'=bM+4一2“i，i=3,4,.

kk

易验证且

1=11=1

o<4=4,a；+a；+i=4+2，i=i,2,...,z-2；

0<b[<b'2,〃+%K〃+2，i=l,2,…,k-2.

由归纳假设有4T+4«4T+4,

即®+冗)+®+i+4-24)

4（仇+&-.汹）+（仇+i+Ke）.

故4+%|W4+4+一

所以，当"=%+1时结论成立.

8.（2019•全国•高三竞赛）设数列｛4｝、｛"｝满足4>=4=1,%=54+7",

%=7。“+102.证明:对任意的加、“eN,am+n+bm+n=aman+bmbn.

【答案】见解析

【详解】固定加+〃，改证以卜命题：

对任意的％eN（O4&4m+〃），有。，…+*”=品+“一/*+2…4.①

对女用数学归纳法.

当&=0时，结论显然.

aa

设％=r时,式①成立，即《”+“+%“=m+n-rr+也…瓦.

当&=r+1（/<加+〃）时，am+n_rar+bm+n_rbr

=（5q—+7bH）b,+（7%—+1做，+…t）

=a）n+n-r-\（5a,.+7b,）+d»T（7q+l维）

=am+n_r_tar^+bm+n_r_fir+].

于是，式①亦成立.因此，式①得证.

在式①中取％=〃，得+t>m+„=ama„+bmbn.

9.（2018•全国•高三竞赛）若百位数字为9的"位自然数N的各位数字之和为M,其中

N

”>3,当的值最小时，N是多少？

7My

【答案】1999

【详解】（1）当〃=4时，令可=灰.则

N1000a+900+10匕+c,999a+891+96,999^+891+%

=1+>1+（当c=9时等号成立）

a+9+h+c--------a+9+b+c-----------a+9+h+9

,9（。+8+18）+990〃+729，八990a+729,八990a+729

=I+---------------------=10+---------->10+---------（当b=9时等号成立）

a+b+\Sa+b+18tz+9+18

=<0+990（.+27）-26001=I000_2600.£|00（）_26001（当皿时，等号成立）

1999

28

N

故当瓦的值最小值时，N为I瓯

（2）当〃>4时.用数学归纳法证明.IO"-—648〃>0.

1。当”=5时，显然成立.

2。假设当n=%时命题成立.即IO*--648A>0.

那么，当〃=%+1时，有

10（A+，H-648（^+1）=10x10*-'-648^-648=104-'-648A:+9xlO*J-648

>9X10M-648>9X104-648>0.

故当〃=4+1时,命题成立.

因此，当〃>4时，l0i-648〃>0恒成立.

工口N、10"T648〃”1999

于是，一>---->-----=72>-------.

M9〃9n28

故当方N达到最小值詈1999时，N为1999.

10.（2019•全国•高三竞赛）求证：数歹！]a„=3"cos（〃arccos；）（〃=l,2）的每一项都是

整数，但都不是3的倍数.

【答案】见解析

【详解】^e=arcos^-,则cos0=g,且q=3"cos〃。.下面利用数学归纳法证明.

222

①当〃=1,2时，有q=3cos，=l,a2-3cos20-3（2cos0—---7

都是整数，且都不是3的倍数，命题成立.

②假设4+一处都是整数，目都不是3的倍数，由三角公式有

i+l

ak+l=3cos（&+1）8=3*"[2cos0cosk0-cos（么-1）

=2（3'cosA：e）-3?[3'TCOS伏-1）6?]=2ak-9ak_,.

可见，也是整数.下面证明q+i不是3的倍数，若不然％产0（mod3）,则

%=4+i+9a"0（mod3）.

但（2,3）=1,故4三0（mod3）.

与应不是3的倍数矛盾.所以，不是3的倍数，这表明，命题对〃=化+1时成立.

由数学归纳法知，命题对一切正整数成立.

11.（2019•全国•高三竞赛）设数列｛4｝满足％=1,〃向=£+、（〃€—）,试求口短』.

【答案】2009

22

【详解】由八号+2得。3喙+$+2.

25

又q=1，有星=4,。；=4,=4+—.

36

下面用数学归纳法证明:

2

当〃之4时,〃+—vq；<〃+l.①

n

事实上，当〃=4时,式①结论显然成立.

假设当“24时，结论成立.

又由于函数£,"）=宗+［在（0,〃2）上单调递减，结合式①得

2

2-〃+1n公

3d—彳+2>z—I--------F2

n~禽”n+\

71+11/八-

—+-----+-1)+2

27

n鹿+1'

>〃+1+3.

72+1

另一方面,

2

22n+—2

“2_组+工+2<___n_

an+\~2十2十N<+-2

2

〃%n

〃+一

n

n2+22n

+〃+2・②

/n2+2

而宁-悬（』〃，润+2）2

<=>n4>4«2+4.

当〃24时，n4>4+4w2>4n2+4»式③成立.

由式②窈％"<〃+2.

2

综上,〃+1H-------<a"<n+2.

H+1

由归纳原理知，当〃24时，总有式（1）成立.

故所求国oj=2009.

12.（2018•全国•高三竞赛）已知数列｛七｝满足与=。（。>0）,且对所有正整数〃有

ZJ-I

>（n+2）X„-.求证：存在正整数〃，使得x.>2010!.

i=l

【答案】见解析

【详解】先用数学归纳法证明：对一切正整数"有七+|>£反,>〃•〃!.

i=l

当〃=1时，显然，x2>3xt>xt=a.

假设当寸，结论成立.

kk

则%2>(^+3)xw-»,=(A+1)%+2xi+l-£氏

/=11=1

kk%+1

>化+1)%+251-Ejx：=Z比.

*=11=1»=1

由占>。和归纳假设知工2，七，，々都是正数.

从而，xk+2>(Z+l)x«+|>伏+1乂4・％!)=4-(％+1)!.

这就完成了归纳证明.

因此，存在足够大的正整数”，使得/”>分〃!>2010!.

13.(2021•全国•高三竞赛)给定正整数〃hk,有〃个选手4,4，,4参加一次测试，

该测试由，"个项目构成，每个项目完成后都会取得一个评分，没有两个人在一个项目取

得相同的评分.求"的最小值，使得总存在左个选手

A，%，4，1斗气<气4%4,%，4,在第，个项目中的左个得分要么单调递

增，要么单调递减，7=1,2,,m.

【答案】〃的最小值为伏一1产+1.

【分析】结合引理：一个，M+1项且每两项不同的实数数列｛&｝存在旭+1项的递增子列

或”+1项的递减子列.利用数学归纳法可求得〃的最小值

【详解】为方便，用力,—来表示由A，&，，4的m个得分构成的n个m维向量.先

来构造〃=(&-If时不满足条件的例子.用。4，，%表示分量均为±1的所有m维向

量,并设心=炉箱=1,2,,2m.取q,知…，可为

S2-+£2--\++£2+4,

%,+々M-I+,+J+2勺，

£2-+%--1+-+邑+("%,

%+%-i+•+2£?+弓，

J++■+2%+(k-1%,

(%-1)£■尹+(k-++(&-Dj+(%一1%,

任取设%-4,按上述表示合并同类项后为+/百，。为下

标最小的非零系数，则4#—2,〃=1,2,,d.由定义易知/”＞().

下面证明为-4,的诸分量的正负性与与的相同.

由于-1)&,力+(&-1)l2++("1火2限/"1+限2/2卜+岫,故在

%-4的d项中，每个分量绝对值比其他项和的对应分量绝对值都大.

若存在满足条件的k个选手，设%一%的各个分量的正负性与气，的一样.则％,%，%

的气系数严格递增，这是不可能的.

再来证明〃=(%-1)2*+1时结论成立.

先证明一个引理.

引理：-个，加+1项且每两项不同的实数数列｛《｝存在,”+1项的递增子列或〃+1项的递

减子列.

证明：若否，考虑以每一项开始的最长递增子列的长度，则这些数都在｛L2,，而｝中.山

抽屉原理，必存在"+1个数相同.而若，＜),且《、%,开始的最长递增子列的长度一

样，则“；＞为,否则可将《并入勺，开始的最长递增子列，得到比为开始的最长递增子

列更长的递增子列，矛盾.如此便找到了一个"+1项的递减子列，矛盾.

回到原题.对抗归纳.〃?=1时直接使用引理即可.

假设结论在相-1时成立，接下来考虑布时的情况.

由于依一1尸"+1=伏一1).‘6一1广,+1,结合引理知存在*一1)2"'+1个选手第一个项目

得分单调递增或递减.

而由归纳假设知这些选手中存在k个选手第2,3，…,〃，个项目的得分单调递增或递减.

故这上个选手满足条件.结论成立.

综上所述，n的最小值为(A-If+1.

a„-n,a>n-,

14.(2018•全国•高三竞赛)正整数数列｛%｝满足：4=1,。向

a„+n,an<n.

(1)求“2008；

(2)求最小的正整数〃，使得q=2008.

【答案】(1)637；(2)5827

【详解】(1)易得数列的初值(见表1).

表1

1234567891011121314

1241510411312213114

接下来关注使4=1的下标％：勺=1,%=4,%=13,……它们满足如下递推关系;

nk+i=3nk+1(A=1,2,…).①

卜面对女进行归纳.

当％=1,2时，式①成立.

设己有4=1,则由条件4+i=%+1，4+2=24+2,1

%+3=4，%4=2%+3,

UI纳易得旬+2,i=〃«+2-加(m=1,2,…,〃火+1),

%+2,“=2"*+1+加(加=1,2,…,4).②

于是，当机=%+1时，%+|=%+2-(4+1)=1.

因此,〃印=34+1伏=1,2,),即式①成立.

山式国2、+1=3(2〃1+1).

记2%+1=4，则xk+l=3xk,xl=3.

k

所以，xk=3.

3A-1

因此，nk=---{^k=1,2,).

_37-138-1

而为二一--=1093,4=一--=3280,

则均〈2008〈4.

又2008=%+2x458-1,故由式②得

“2008=%+2—458=637.

(2)由式②知,当〃43%=%-1时，

a„<3nk+l=nk+i.

因此，当”<%时，/4%=1093.

而当?时,要么可41094,要么a“N2xlO94,即4的值取不到2008.

进而，考虑〃8的情况.

由q+2—帆=2008,得加=1274.

由式②^«5827=册+2,,1=%+2-m=2008.

故满足«„=2008的最小的n为5827.

15.(2018•全国•高三竞赛)给定两个数列，满足｛%｝：4=1,0=13,《用=(1"+64(”€乂)；

an-\

也｝:瓦=1,b向=9b”+牺b；-64("eN),证明：对任意的〃eN,a“+d可表为两个正

整数的平方和.

【答案】见解析

【详解】对于数列｛4｝有/=1，4=13,々=233.

由」+*=%+%=1+233

1o=18'

q田at13

于是,对任意的"eN,4+2=184+1-4.

所以，bll+l-9b.=J8O〃；_64.①

对于数列｛2｝,由条件知数列严格递增.

将%-18bhz+〃+64=0两边平方得-18黑也.2+%+64=0.②

在式②中用〃+1代替n得却以2.③

山式②、③知，“18%/+%+64=0是关于t的方程勿+%=18加

的两个相异根，于是，由根与系数关系得4+2=18%-"也=14=13,

即4+包=2a”(〃eN).④

22

由式①、④知，｛%｝、也｝为同一个数列，因此，ao=l=O+l.

又据式①知，数列｛《,｝的各项为正整数，且q=13=22+32,

2222

a2=233=8+13，^=4181=34+55,｛怎卜｛%｝

构作辅助数列$=0，与=2,%=4%+x„_2(n>2),其中,

%=1，*=3,券=4yl+y„,2(n>2)；⑤

X”、y„.⑥

显然，当“21时，/(〃)=为-解+%)=0皆为正整数，且%>%.

下面证明：对任意的〃eN,

n<k.⑦

对n用数学归纳法.

当〃工3时己验证.

设当/(9+/(%-2)=以一(片+义)+%2-(e+我)时，式⑦成立.

当"=%时，由于=18见_|-(片+W)-(&+优2)

=18(<,+a)一(4+4)一(々一4xj丫一(%-4yly

=2(尤।+4%％_|-x；+yti+4弘”_|-£)

=-片+yk+]yk.,-yl)

F(%T)+f("3)=2(%x*_2-片_1+%%_2-丁3)，

则=2(X：-4x“j-咄+才一4%"_|一％)=-/⑹--2)

=3)=0

而据归纳假设有/伙)=0

因此，。“+〃=24=2(片+婿=(%-%『+(y„+x.y

故由归纳法，对一切“wN,式⑦成立.

由式⑦得”-%、”+%，其中，R、2、2为正整数.

16.（2021•全国•高三竞赛）设马金，，Z2O2O和“，卬2，，吗020为两组复数，满足:

20202020

£甯＞£|*求证:存在数组（与电，…，脸）（其中与€{-1」}）,使得

/=|;=|

20202020

工叼

>Z弓叱

1=\1=1

【答案】证明见解析

【详解】用，Z仆笃，居）表示对所有数组（小心，，冬）的求和，下面用数学归

（£）,C2,,£„）

纳证明如下的等式:

Z归4+3Z2++=2%Z『①

即S'，7)I

（1）当〃=1时，①式显然成立;

当”=2时，

2222

|zl+z2|+|zl-z2|=(zl+z2)(z1+z2)+(z1-z2)(zl-z2)=2(z1z1+z2z2)=2(|zl|+|z2|j,即

①式成立.

（2）假设〃=4时，①式成立，贝lj〃=k+1时，我们有

Ekizi+^z2++4+/*+1「

=E阿+好2Z+Z+£ZZ++£ZZ

++^kkM[\\\+^22kk~k+\[]

（与向.…与）

=2EQ|£,Z,+^2Z2++/Z/+|ZA『)

’可如『+*昨2嚏忸

=22k

I\/=1))1=1

即〃=Z+1时①式成立.

由(1)(2)可得:Xkzi+ff2z2++£"Z"『=2"tjzj,〃€N+.

2020.2020-2020-2020.

回到原题，山z同>2网，可得22Mz㈤上^^时,

+£，Z

即Z\£\z\+£，2z2+2O2O2O2O|>X归必+/卬2++*2020吗2°0|,

(狗向•…N2020)

2020220202

所以存在数组（与,心，£2020）（其中£”{-1，1},使得W>R>，即

20202020

/=1

yxf^2n-l

17.（2021•全国•高三竞赛）已知〃个非负实数X，Z，，Z和为1.求证：白《丁一/

乙Xj

>1

【答案】证明见解析

【详解】作如下换元：设&=1>3=1,2,…,〃，则

>1

\222

———=q+%+,+a“—2Q°_•,—2Q“_]H——+-H—况-

aE'7aia\an

J=l

=—+—++—-ax-a2--an_x+1(。〃=1,且这里特别定义/=0).

%%4

定义数列｛4.｝如下：4=3也=呈卢，则

之色匚生堂+0-%)=t9+£(陶一2珈—2刎+1—%+%

i=2aii=2aii=2

〃zj2皿

=2.一I>，+1=原式•

*=2aiz=l

只需l-4_g"，即只需"一瓶心，即〃4」.

nnn+\

采用归纳法，对〃=1成立.

假设〃二%成立，考虑〃=攵+1,

,〃++，2k2+2k+\,2k+\-1

“十一2一二2(一1产->2无2+4八2”一百

归纳成立.

I22«-1

所以力％一%",y+(1-%”1-%21-(1)।==

1=2ai\nJ

18.(2021•全国•高三竞赛)设数列｛/｝满足%+“+《“_”=+a2n)(/n>n>0),a,=I.

等14039

求证：2工<丽.

【答案】证明见解析

【详解】令机="，得%,”+%=]%”+%”)，则%=0・

令”=0,得am+am=1(%“+/),则a2m=4《“.①

令帆=〃+2,得a2n+2+%=J(出用+%,)•②

根据①得：%-2=%“+1)=4氏+|,%=44=4,于是，a2n+2+a2=4(a„+1+1).(3)

另一方面，由②、①得

a

2n+2+的=；(%"+4+%,)=|(也+2+也)=2%+2+2ali.④

由③、④得递推关系式

““+2=2%-%+2,%=0,4=1.

由此可得%=4,%=9,4=16,一，猜测=〃2(〃WN).

下面用数学归纳法证明这个猜想:

对于〃=o,〃=l,结论显然成立；

假定g=H,*=(k+1)2,则有4+2=2伏+1)2-公+2=伙+2)2,

2

所以当〃=%+1时等式成立.因此，atl=n(/ieN)成立.

对于火22,有染(江尢11

T^\~~k

4039

2020'

19.(2018•全国•高三竞赛)/(〃)定义在正整数集上，且满足"1)=2,

/(〃+1)=("〃))2-〃〃)+1,〃=1,2,.求证：对所有整数”>1,有

1—Ly_L<i__L

2/(，•)22",

【答案】见解析

【详解】由题设显然有/(〃)22.

将/(〃+1)=(""))2-”“)+1变形为=/(〃)[/(")—1],

111_

0|J/(«+i)-i=/(«)-1-700'①

y11__________1____111

马⑴_]_"-1)_1厂/(1)_]_/(〃+1)_]_+

/(2)=/(1)[/(1)-1]+1=3,43)=/⑵[〃2)-1]+1=7.

由此猜想2*+③

用数学归纳法证明式③对“N2的整数成立.

当”=2时，4</(3)-1<16,式③成立.

假设〃=机时，式③成立.

当”=加+]时，有/(机+2)=/(机+1)[/(m+1)_1]+1.(4)

由归纳假设有22""</(W+1)-1<22\

因为/(加+1)是正整数，由上式有22*'+14/、G”+l)_1422”—L⑤

由式④、式⑤有〃m+2以22""+2)(22""+1)+1

=2r+3x22™"+3>2r+l.⑥

又〃机+2)422122.-1)+1=22'""-22”+1<22*+1.⑦

由式⑥、式⑦知式③对〃="2+1成立.

所以，式③对任意正整数〃之2成立.

因此，所证不等式成立.

2

20.（2021•全国福三竞赛）给定正整数”23.求最大的实数M.使得t4

>M

*=16+%"

对任意正实数4，。2,M,恒成立，其中4+1=4.

3〃=3

【答案】加=4,一‘

1,n>4.

【详解】当〃24时，令4=x.*（k=l,2,，〃一1）,则

、22

二『+1

k=\X+11+x"-1

2

1

11x—>0H'j,(〃—1)1-1.

x+1\+x"-'

2

令X"=4

，则问题化为：为工2工〃=1，证明：Z>1.

k=\1+xJ

当”=4时，首先证明:

2

①

1+xi+y11+孙

®+xyy+l>x2y2+2xy,由均值不等式知成立.

由①式知

4

12+XyX+XX_]

E