2021-2022学年高中人教版数学4学案：1.3 三角函数的诱导公式

1.3三角困数的诱导公式

第1课时公式二、公式三和公式四

学习目标核心素养

1.能借助单核圆的对称性，利用定义推导1.通过对诱导公式的

出诱导公式二、三、四推导，提升学生的教

2.能够准确记忆公式二、公式三和公式学抽象和直观想象素

四、（重点、易混点）养.

3o掌握公式二、公式三和公式卬，并能2.过诱导公^式的反

运用诱导公式解决一些三角函数的化简、用，培养学生的教学

求值、证明问题、（难点）运算素养.

迷董向生里习自主预习。探新知一里男素於感如

匚M新知初摇石］

1.诱导公式二

终边关系图示

y

角兀+。与角。的终边关于原点对称

0J

sin(兀+a)=一sina,

cos(it+a)=-cosa,

tan＜兀+a)=tana

2o诱导公式三

终边关系图示

角一。与角。的终边关于X轴对称

sin(-a)--sina,

公式cos(-a)-cosa,

tan(-a)=一tana

3.诱导公式8

终边关系图示

角兀一。与角a的终边关于y轴对称1I

sin(7i-a)-sinaf

公式cos(Ti-a)=-cosaf

tan(兀一a)=一tana

思考：(1)诱导公式中角。只能是锐角吗？

(2J诱导公式----8改变函数的名称吗？

£提示］(D诱导公式中角。可以是任意角，要注意正切函教

中要求QRE+错误!，％£Z。

(2)诱导公式----8都不改变函数名称、

r~iM试身康m

L下列说法中正确的是(

A、公式二〜四对任意角a都成立

B、由公式三知cos[-(。一刃】=-cos(a-/3)

C、在△A8C中,sin(A+B)=sinC

D、以上说法均错误

C£A错误，关于正切的三个公式中。#E+错误!，

B错误由公式三知cos[-(a-p)]-cos((z-夕),

故cos[-(a-/3)]=-cos(a-/3)是不正确的、

C正确因为A+3+C=7i,所以A+3=TI-C,

所以sin(A+B)=sin(兀一C)=sinC.

故选CJ

2、tan(-2025°J的值为()

A,0B,1C.-1Do

C[tan(-2025°J=-tan2025°=-tan(5x360°+225°J

=-tan225°=-tanC180°+45°)=-tan45°=-loj

3、己次口tana=3,贝qtan＜兀+a)=.

3ftan(7i+a)=tan«=3oJ

4、若sin＜兀+a)=一错误!，则sin(An-a)的值是、

-错误！Z"由sin＜兀+=-错误!得一sin。=-错误！即sina=错误!,

所以sin=sin(-a)--sinex=-错误!。|

疑难问题解惑合作探究®释疑难学科素养形成

给角求值问

"型_________________________________

题

【例1】求下列各三角函教值：

Cl)sin1320°；(2)cos错误！；(3)tan(-945。，

［解J(1)法rsin1320。=sin(3x360。+240。)=sin240°

=sin(l80°+60°)=-sin60°=一错误！。

法二:sin1320°=sin(4x360°-120°J=sin(-120°J

=-sinfl80°-60°J=-sin60°=一错误!.

(2)法一：COS错误！=COS错误！

=COS错误！=COS错误！=-COS错误！=-错误!.

法二：COS错误！=COS错误！

=COS错误！=—COS错误！=—错误!.

(3)tanC-945°J=-tan945°=-tan(225°+2x360°)

=-tan225°=-tan(180。+45。)=-tan45°=-1.

’.....规律c方法....................

利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

1“负化正”——用公式一或三来转化；

2“大化小”——用公式一将角化为0。到360。间的角；

3“小化锐”―用公式二或8将大于90。的角转化为锐角;

4"锐求值’’——得利锐角的三角函数后求值.

［J

错误！

L求下列各三角函数值：

(1)COS错误!；

C2)tan(-765°)；

(3Jsin错误！・cos错误！・tan错误！。

I解］(1)COS错误！=COS错误！=COS错误！

=COS错误！=COS错误！=错误！O

(2)tan(-765°)=tan(-720°-45°；=tan(-45°)=

-tan45°=-1o

(3Jsin错误!・cos错误!・tan错误！

=sin错误!cos错误!tan错误！

=一sin错误!xcos错误!xtan错误！

=一错误!x错误!xl=一错误!.

区类型2化简求值

【例2】(1)化简：错误！二；

(2J化简：错误!.

(1J1［错误！=错误！=错误！=错误！=1。_7

-cosa-sina

(2)［斛］原式=f-sin«+180°］-cosl80°+cc

_____sinacosa_____

一sina+180ocosl80°+a

=错误！=1.

r........规律方法..............................A

三角函教式化简的常用方法

1利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角三角函数.

2切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦的数。

兀

3注意“1"的应用：1=sida+cos?1=tan4.

______I____________

［跟进训练7

2、化简：

(1)错误!；

(2)化简：错误!O

Z■解］(1)原式4=错误！

=错误！=-1.

(2)原式=错误!

=错误！=错误！

=错误！=—1.

给值（式）求值问

H型3

题

［例3］(1J已次口sin(a-360°)-cos(180°-a)=m,则

sin(180。+。)-cos(180°-a)等于()

A.错误！Bo错误！

C.错误！D'一错误！

(2)已知cos(ot-75°J=一错误!，且。为第四象限角，求sin(105°

+«；的值,

思路•点,才发：(1)错误!~»

错误！

(2)错误!一•错误！

一错误！

(1)A［sin(a-360°)-cosC180°-«J

=sina+cosa-m,

sin(180°+tz)cos(180°-a)=sinacosa

=错误！=错误！。］

(2)［解］Vcos(a-75°J=一错误!vO,且。为第四象限角，

sin(a-15°)---cos2«-75°

=-错误！=-错误！,

.•.sin(105°+aJ=sinfl80°+(a-75°)］

=-sin(a-75°)=错误！.

［母题探究］

L例3(2)条件不变，求COS(255°-Q)的值、

「解］cos(255°-a)=cosfl80°-(«-75°J］

=-cos(a—75°)=错误！。

2、将例3(2)的条件“cos(a-75。)二一错误「改为"tan(a-

75。)=-5",其他条件不变，结果又如何？

［解］因为tan(a-75°)=-5<0,且。为第四象限角，

所以a-75°是第四象限角.

由错误！

解得错误!或

错误！(舍)

所以sin门05。+。)=sinfl80°+(«-75°)］

=-sin(a-15°)=错误!.

厂.....规律G方法...............

解决条件求值问题的两个技巧

1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求

式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系。

2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进

行变形向已知式转化.

提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题

的关键.

利用诱导公式化简或

、夫型4/

证明问题

［探究问题］

L利用诱导公式化简sin2兀+。）（其中左£Z）时，化简结果

与左是否有关？

提示:有关,因为人是奇教还是偶教不确定、

当上是奇数时，即左=2〃+1（〃£Z）,sin（E+a）=sin（兀+Q）

=一sina；

当人是偶教时，k=2n（nGZ）,sin（Z：7i+a）=sina.

2、利用诱导公式化简tan（E+Q）（其中女金Z）时，化简结

果与人是否有关？

提示:无关,根据公式tan（兀+a）=tan。可知tan（E+«）=tan

。（其中kO、

【例4】设％为整数，化简：

错误！。

思路点拨：本题常用的解决方法有两种：①为了便于运用诱

导公式，必须杷k分成偶数和奇教两种情况讨论；②观察式子

结构，E—a+E+a=2%兀，（左+1）兀+a+（左一1）兀-a=2kn,

可使用配角法.

/斛］法一：（分类讨於）当女为偶教时，设左二2根（根£Z）,

则原式=错误！

=错误！=错误！=-1；

当上为奇数时，谀k=2m+T(meZ),同理可得原式二-1.

法二：(配角法)由于E—a+攵兀+a=2E,(Z+l)7i+a+(Z

-1J兀一。=2%兀，故cos[(k-1)Ti-a]=cos[(k+\)兀+a[

=-cos(左兀+a),sin/"(%+1)兀+a_7=-sin(E+a),

sin(E-a)=-sin(kji+a).

-sinE+a[-cosE+a]

所以原式二=—1o

-sinE+acosE+a

1.....••规律c方法

明确三角函数式化简的原则和方向

1切化弦，绕一名.

2用诱导公式，绕〜角。

3用因式分斛将式子变形，化为最简.

提醒：注意分类讨论思想的应用.

错误!

tan2兀-otsin-2兀一acos6兀-a

3、11正：•K-—-tanexo

cosot-兀sin5兀一a

['证明J左边—错误!

=错误！=—tana=右边,

.二错误！=—tanao

课堂知识夯实课堂小结。提素养双基盲点扫除

匚备素养口

1、各诱导公式的作用

诱导公式作用

公式一将角转化为0〜2兀之间的角求值

式1二将。〜2兀内的角转化为0〜兀之间的角求值

公式三将负角转化为正角求值

公将角转化为。〜错误!之间的角求值

2.诱导公式的记忆

这8组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限其

含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将。看成锐角

时原角所在象