高中数学《复数》练习题（含答案解析）

高中数学《复数》练习题（含答案解析）

一、单选题

1.己知(l-i)2z=3+2i,则z=()

333

A.-l--iB.-l+-iC.——+iD.——i

2222

2.已知。口&若a-l+（a-2）阻为虚数单位）是实数，则。=（)

A.1B.-1C.2D.-2

3.1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为

40”的问题，即“求方程x（l（）-x）=40的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为5+Q?和5-Q?,数系扩充

后这两个根分别记为5+JiG和若Z（5+后）=5-J百，则复数Z=（）

1-炳D1+后

A.1-Vr5iB.1+V15ic

44

4.已知z=2-i,则z(5+i)=()

A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i

5.己知i为虚数单位，复数z=9,

则Z=()

1

A.-2-iB.-2+iC.2+iD.2-i

6.复数丁工的虚部是（）

_3_D.A

A.B.--C.—

~io101010

7.设(l+i)%=l+yi,其中i为虚数单位，是实数，则|x+y，=()

A.1B.y/2c.石D.2

8.若（i-D（i-z）=i+i,则5的虚部为（)

A.-1B.1C.-iD.i

9.已知i是虚数单位，复数z的共辗复数为），下列说法正确的是（）

A.如果Z|+Z26R,则Z1,Z?互为共枕复数

B.如果复数Z1,Z2满足忆+引=|4-22|,则Z「Z2=。

C.如果z?=z,则回=1

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D.Ivzkl^lN

10.己知匕为实数，且2幺=a+i(i为虚数单位)，则a+Ai=()

1+1

A.3+4iB.l+2i

C.-3-2iD.3+2i

二、填空题

2

11.若zwC,且--=/,则Re(z)=_______.

z-5

12.i的周期性：当〃是整数时，j4〃+l=

14.设复数Z],z?满足|zj=l,U=2,Z[—芍=1+,Jjj!||Zj+z21=

三、解答题

15.已知复数z=L1+二4mi(%eR,i是虚数单位).

1-1

(1)若z是纯虚数，求实数〃?的值；

(2)设2是z的共枕复数，复数Z在复平面上对应的点在第四象限，求，”的取值范围.

16.在复数范围内分解因式:

(1)x4+6x2+9;

(2)X4-2X2-8.

17.设虚数z满足|2z+15卜

(1)求|z|：

(2)若三+4是实数，求实数〃的值.

az

18.(1)已知复数z在复平面内对应的点在第二象限，|z|=2,且z+Z=_2,求z；

(2)已知复数++为纯虚数，求实数m的值.

1—1

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参考答案与解析:

1.B

【分析】由已知得2=型,根据复数除法运算法则,即可求解.

【详解】(1—i『z=—2iz=3+2i,

_3+2i_(3+2i)-i_-2+3i

z-=—=-l+-i.

-2i-2ii22

故选：B.

2.C

【分析】根据复数为实数列式求解即可.

【详解】因为（a-D+（"2）i为实数,所以4-2=0,.•.a=2,

故选：C

【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.C

【分析】利用复数除法运算求得z.

【详解】由z（5+Ai）=5-Ji£,

/,_5-洞_（5-炳）_25-15-10炳=1-炳

仔〜5+^15i（5+V15i）（5-Vi5i）25-15/4,

故选：C.

4.C

【分析】利用复数的乘法和共加复数的定义可求得结果.

【详解】因为z=2-i,故"2+i，故z1+i)=(2-i)(2+2i)=4+4i-2i-2/=6+2i

故选：C.

5.D

【分析】由复数的除法法则求解即可

l^Jl2i)(-i)

【详解】+

iixH'

故选：D

6.D

【分析】利用复数的除法运算求出z即可.

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【详解】因为z=---=---1+3’----=—+—z,

口所」l-3z(l-3z)(l+3z)1010

所以复数z=r1的虚部为3白.

1-3/10

故选：D.

【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.

7.B

【分析】先利用复数相等求得x,乃再利用复数的模公式求解.

【详解】因为(l+i)x=l+M,

x=l\x=l

所以解得।

y=x[y=l

所以k+yi\=y/x2+y2=y/2.

故选：B.

8.B

【分析】根据复数除法的运算法则，结合共视复数的定义、复数虚部的定义进行求解即可.

【详解】因为(1—i)(l—Z)=l+i,所以l-z=7；■。教.、-=里Li，

(1T)(1+1)2

所以z=l-i,所以5=l+i,

所以2的虚部为1.

故选：B

9.D

【分析】对于A,举反例Z1=l+i,4=2-i可判断；对于B,设4=4-伉i,Z2=%+3代入验证可判断;

对于C,举反例z=0可判断；对于D,设Z1=a+〃i,z2=c+di,代入可验证.

【详解】对于A,设Z=l+i,z2=2-i,Z1+Z2=3eR,但z-z?不互为共舸复数，故A错误;

对于B,设4=4-垢(q,b]WR),z2=a2+b2i(a2,瓦wR).

222

由忆+Z2I=[Z]-z2\,得％+Z2|=(%+4『+伯+的『=L—z2|=(a1-a2)+(4-&)?,

则01a2+她=°，而4v=(4+3)3+3)=(4%一处2)+(磔2+&4)i=2o1a2+(侬2+3i)i不一定等于。，

故B错误；

对于C,当z=0时，有z2=3故C错误；

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对于D,设Z|=o+Ai,z2=c+di,则

222

|Z|Z2|=yl(ac-hd)+(ad+hc)={(ac)2+(bd?+(adf+Qc)=J(/+〃)(/+/)=㈤㈤，D正确

故选：D

10.A

【分析】利用复数的乘除运算化简，再利用复数相等求得进而得解.

【详解】2+齿(2+加)(1)2-2i+为+8b+2b-2.

---------+----------1

1+i2-222

b+2

----------二a

a=3

由题意知，所以a+0i=3+4i

二，解得b=4'

l2

故选：A

11.5

2

【分析】推导出(z-5)i=2,从而z==+5=5-2"由此能求出&(z).

i

2

【详解】解：口2£(：,且一-=/*,

z-5

□(z-5)/=2,

口z=：+5=5+§=5-2i,

□Re(z)=5.

故答案为：5.

【点睛】本题考查复数的实部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.关

键是利用复数的运算求出z的标准形式，并注意准确掌握实部的概念.

12.i-]-i1

【分析】由，=-1及指数幕的运算性质依次对产”，产2,i4"+3,j4.变形即可得到答案.

【详解】由尸=-1及指数幕的运算性质得：初=7,「=1

.严+1=i(i4y)=i,14“+2=j2,j4«+3=i364)"=_j,j",=(/)“=j

故答案为：i;-1;—i;1.

13.2+i##i+2

【分析】依据复数除法规则进行计算即可解决.

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3+4i（3+4i）（2-i）6+5i-4i210+5i.

【详解】2+i（2+i）（2-i）~4-i2-5"+，

故答案为：2+i

14."

【分析】由已知可得％—2|=6,进而由％-zj=（ZI-Z2）Z|-Z2可得Z.Z2+ZzZ]=2,从而有

222

匕+Z2|=[Z1|+|z2|+ztz2+Z2zt,故而可得答案.

【详解】解：因为Z「Z2=l+0i,所以区一Z2|=JF+（&）2=瓜

又|zj=l，㈤=2,

222

所以匕-Z2|=（Z]-z2）z,-z2=Z[Z]+z2z2一乎2-z2Z}=|Zj|+|z2|-Z1z2-Z2z1=3,

所以Z/2+z2z,=2,

222

所以B+Z2|=（Z]+z2）z,+z2=|zj+|z2|z2+z2zt=7,

所以h4-Z2|=V7,

故答案为：币.

15.⑴1

4

（2）;

44

【分析】(1)化简复数z,根据纯虚数的概念可求出〃?；

(2)求出2,根据复数的几何意义可求出结果.

r*豺、八、中%1+4”"（l+4/??i）（1+1）l-4m+（l+4m）i

【详解】（1）因为z=-----=八.、1.、=-------------是纯虚数,

1-1（l-i）（l+i）2

1-4/H=01

所以得机=

1+4mw04

1-4//11+4〃?._1-4/??1+4加

(2)由(1)矢口,Z=------------1------------1z=-------------

222

所以5在复平面内对应的点为1(\-—^4一机,一—1+—4/H

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2>0

2]1

依题意可得〔I，解得-:〈加

1+4加八44

------<0

2

16.⑴(X_/)2(X+/)2

(2)(x+&i)(x-&i)(x+2)(x—2)

【分析】(1)(2)结合复数运算求得正确答案.

(1)

由于1+6。[一5/^)=N2+3,

所以/+6/+9=卜2+3)2=&-病：:&+后)2.

(2)

由于(x+6)(x—6)=*2+2,

所以x4-2x2-8=(x2+2._4)=(x+©)(》_扃(彳+2)(x-2).

17.(1)5石；(2)±5石.

【分析】（1）设2=》+»«,丫仁凡》*0）利用复数的模相等即得；（2）先化简三+@又因为是实数，故虚部为

az

零，即得结果.

【详解】设2=彳+地彳,丫w/?,y=0）,则5=x-yiz+10=x+l（）-yz

则2z+15=2(x+yi)+15=(2x+l5)+2yi

|2z+15|=7(2X+15)2+4/=j4f+4y2+60x+225

|z+10|=|x+10-yz|=7(x+10)2+y2=7x2+y2+20x+100

|2z+15|=^|z+10|

即：X2+/=75

即|z|=yjx2+y2=5币);

a_a{x-yi)ax-ayi_axay

x+yi(x+yi)-(x-yi)x2+y2x2+y2x2+y2

za_x+yia_xy.axay_xm\(^

(