第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法（十大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）含解析

第05讲一元二次不等式与其他常见不等式解法（十大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第05讲一元二次不等式与其他常见不等式解法目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：一元二次不等式 4知识点2：分式不等式 4知识点3：绝对值不等式 5解题方法总结 5题型一：不含参数一元二次不等式的解法 6题型二：含参数一元二次不等式的解法 7题型三：三个二次之间的关系 8题型四：分式不等式以及高次不等式的解法 9题型五：绝对值不等式的解法 10题型六：二次函数根的分布问题 10题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题 11题型八：解含参型绝对值不等式 12题型九：解不等式组型求参数问题 13题型十：不等式组整数解求参数问题 1304真题练习·命题洞见 1405课本典例·高考素材 1506易错分析·答题模板 16易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当 16答题模板：一元二次不等式恒成立问题 16

考点要求考题统计考情分析（1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式．（2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．（3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法．2020年I卷第1题，5分从近几年高考命题来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中．复习目标：1、理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的分布问题.3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会求高次方程和绝对值不等式.

知识点1：一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上．（2）=1\*GB3①若，解集为．=2\*GB3②若，解集为．=3\*GB3③若，解集为．（2）当时，二次函数图象开口向下．=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为【诊断自测】不等式的解集是，则的值是（

）A． B． C． D．知识点2：分式不等式（1）（2）（3）（4）【诊断自测】不等式的解集为（

）A． B． C． D．知识点3：绝对值不等式（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解.【诊断自测】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式的解集是．解题方法总结1、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．4、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；8、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．题型一：不含参数一元二次不等式的解法【典例1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式的解集为．【典例1-2】不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示）．【方法技巧】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集.【变式1-1】不等式的解集是．【变式1-2】一元二次不等式的解集为.题型二：含参数一元二次不等式的解法【典例2-1】设函数(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；(2)解关于的不等式：．【典例2-2】已知关于的一元二次不等式的解集为．(1)求和的值；(2)求不等式的解集．【方法技巧】(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数，数形结合处理．(3)有两个根时，还需要根据两根的大小进行讨论，注意分类讨论．【变式2-1】已知函数．(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式．【变式2-2】解关于实数的不等式：．【变式2-3】设函数，其中．解不等式；题型三：三个二次之间的关系【典例3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【典例3-2】已知的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．【方法技巧】1、一定要牢记二次函数的基本性质．2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．【变式3-1】若不等式的解集是，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【变式3-2】（多选题）不等式的解集为，且.以下结论错误的是（

）A． B． C． D．【变式3-3】（多选题）已知关于的不等式的解集是，则（

）A．B．C．D．不等式的解集是或题型四：分式不等式以及高次不等式的解法【典例4-1】（2024·高三·上海杨浦·期中）关于x的不等式的解集是.【典例4-2】已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是．【方法技巧】分式不等式化为二次或高次不等式处理．【变式4-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）不等式的解集是．【变式4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是.【变式4-3】不等式的解集是．题型五：绝对值不等式的解法【典例5-1】（2024·高三·上海长宁·期中）不等式的解集为.【典例5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式的解集为．【方法技巧】（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【变式5-1】（2024·上海虹口·模拟预测）不等式的解集为.【变式5-2】不等式的解集是．题型六：二次函数根的分布问题【典例6-1】已知函数，关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是.【典例6-2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为．【方法技巧】解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．【变式6-1】已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式6-2】已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式6-3】已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题【典例7-1】已知关于的不等式.(1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；(3)若不等式对有解，求的取值范围.【典例7-2】（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【方法技巧】恒成立问题求参数的范围的解题策略（1）弄清楚自变量与参数．（2）一元二次不等式在R上恒（能）成立，可用判别式，一元二次不等式在给定的某个区间上恒（能）成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论处理．【变式7-1】当时，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式7-2】已知函数，，(1)当时，解不等式；(2)若任意，都有成立，求实数的取值范围；(3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围.【变式7-3】若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是.【变式7-4】已知函数，若对任意，则所有满足条件的有序数对是．题型八：解含参型绝对值不等式【典例8-1】已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是.【典例8-2】若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是．【方法技巧】含参型绝对值不等式，可用零点分段法和图象法求解.【变式8-1】若关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是【变式8-2】（2024·上海长宁·二模）若对任意，均有，则实数a的取值范围为．题型九：解不等式组型求参数问题【典例9-1】设集合，集合为关于的不等式组的解集，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【典例9-2】（2024·高三·山东菏泽·期中）已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（

）A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2【方法技巧】求不等式(组)参数的问题，往往要利用不等式的性质、不等式(组)的解集，建立对应关系后求解.【变式9-1】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）若不等式组的解集是空集，则实数的取值范围是.【变式9-2】若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．题型十：不等式组整数解求参数问题【典例10-1】已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为.【典例10-2】关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【方法技巧】不等式组整数解求参数问题通常使用分类讨论与数形结合处理.【变式10-1】已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（

）A．或 B．或C．或 D．或【变式10-2】若关于的不等式组的整数解共有36个，则正数的取值范围是.【变式10-3】设集合，集合若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（

）A． B． C． D．1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为.2．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（北京））已知集合，．若，则实数的取值范围是．3．（2019年天津市高考数学试卷（文科））设，使不等式成立的的取值范围为.1．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立.2．是什么实数时，下列各式有意义？（1）；（2）.3．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？4．一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置最多停留多长时间（精确到）？易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当易错分析：含参数不等式的解法是不等式问题的难点．解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论，讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合．【易错题1】当时，解关于的不等式.【易错题2】解关于实数的不等式：．答题模板：一元二次不等式恒成立问题1、模板解决思路结合对应二次函数的图象，数形结合罗列关于参数的不等式．对于在定区间上恒成立的问题，可以分离参数转化为函数的最值问题，不要漏掉考虑函数图象的对称轴和区间端点的关系．2、模板解决步骤第一步：将不等式恒成立问题转化为对应函数图象的问题．第二步：列出不等式（组），一定要注意二次项系数如果含参数时就需要进行分类讨论．第三步：解不等式求解参数的范围．【典例1】已知函数，.(1)当时，解不等式；(2)若，使得，求实数的取值范围.【典例2】（1）若，，求实数a的取值范围；（2）若，，求实数x的取值范围．第05讲一元二次不等式与其他常见不等式解法目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：一元二次不等式 4知识点2：分式不等式 5知识点3：绝对值不等式 5解题方法总结 6题型一：不含参数一元二次不等式的解法 7题型二：含参数一元二次不等式的解法 8题型三：三个二次之间的关系 11题型四：分式不等式以及高次不等式的解法 13题型五：绝对值不等式的解法 16题型六：二次函数根的分布问题 17题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题 20题型八：解含参型绝对值不等式 25题型九：解不等式组型求参数问题 27题型十：不等式组整数解求参数问题 2904真题练习·命题洞见 3205课本典例·高考素材 3306易错分析·答题模板 35易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当 35答题模板：一元二次不等式恒成立问题 36

考点要求考题统计考情分析（1）会从实际情景中抽象出一元二次不等式．（2）结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式．（3）了解简单的分式、绝对值不等式的解法．2020年I卷第1题，5分从近几年高考命题来看，三个“二次”的关系是必考内容，单独考查的频率很低，偶尔作为已知条件的一部分出现在其他考点的题目中．复习目标：1、理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的分布问题.3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会求高次方程和绝对值不等式.

知识点1：一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且（1）当时，二次函数图象开口向上．（2）=1\*GB3①若，解集为．=2\*GB3②若，解集为．=3\*GB3③若，解集为．（2）当时，二次函数图象开口向下．=1\*GB3①若，解集为=2\*GB3②若，解集为【诊断自测】不等式的解集是，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为不等式的解集是，所以，和是方程的根，所以，即，，则．故选：D．知识点2：分式不等式（1）（2）（3）（4）【诊断自测】不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不等式，等价于或，解得或，即不等式的解集为.故选：A知识点3：绝对值不等式（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解.【诊断自测】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式的解集是．【答案】【解析】原不等式可变形为或，由，解得；由，解得，所以原不等式的解集为.故答案为：.解题方法总结1、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．2、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为，即关于的不等式的解集为．3、已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．4、已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得：的解集为即关于的不等式的解集为．5、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；7、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；8、已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．题型一：不含参数一元二次不等式的解法【典例1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式的解集为．【答案】【解析】由不等式，可得，解得，所以不等式的解集为.故答案为：.【典例1-2】不等式的解集是，则不等式的解集是（用集合表示）．【答案】【解析】不等式的解集为，∴，且1，2是方程的两个实数根，∴，解得，，其中；∴不等式化为，即，解得，因此所求不等式的解集为.故答案为：．【方法技巧】解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在轴上，结合图象，写出其解集.【变式1-1】不等式的解集是．【答案】【解析】由题意，解得或，所以不等式的解集是.故答案为：.【变式1-2】一元二次不等式的解集为.【答案】【解析】由可得，即，解得或，所以不等式的解集为.故答案为：题型二：含参数一元二次不等式的解法【典例2-1】设函数(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；(2)解关于的不等式：．【解析】（1）对一切实数x恒成立，等价于恒成立.当时，不等式可化为，不满足题意.当，有，即，解得所以的取值范围是．（2）依题意，等价于，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为.当时，不等式化为，此时，所以不等式的解集为.当时，不等式化为，①当时，，不等式的解集为；②当时，，不等式的解集为；③当时，，不等式的解集为；综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.【典例2-2】已知关于的一元二次不等式的解集为．(1)求和的值；(2)求不等式的解集．【解析】（1）由题意知和是方程的两个根且，由根与系数的关系得，解得；（2）由、，不等式可化为，即，则该不等式对应方程的实数根为和．当时，，解得，即不等式的解集为，当时，，不等式的解集为空集，当时，，解得，即不等式的解集为，综上：当时，解集为，当时，解集为空集，当时，解集为．【方法技巧】(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数，数形结合处理．(3)有两个根时，还需要根据两根的大小进行讨论，注意分类讨论．【变式2-1】已知函数．(1)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围；(2)解关于x的不等式．【解析】（1）若不等式的解集为R，则，解得，即实数的取值范围,；（2）不等式，①当时，即时，不等式的解集为，②当时，即或时，由，解得或，所以不等式的解集为，综上所述，当时，不等式的解集为；当或时，不等式的解集为．【变式2-2】解关于实数的不等式：．【解析】对方程，当时，即时,不等式的解集为当时，即或时,的根为，不等式的解集为；综上可得，时,不等式的解集为，或时，不等式的解集为.【变式2-3】设函数，其中．解不等式；【解析】因为，不等式等价于，又，所以，即，其中，所以，所以原不等式等价于，即，所以当时，不等式组的解集为；当时，不等式组的解集为.综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；题型三：三个二次之间的关系【典例3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据题意，方程的两根为2和3，则，则为，其解集为.故选：D.【典例3-2】已知的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C．或 D．【答案】C【解析】已知的解集为，则的两根为和2，所以，即，代入不等式，化简整理得，因为，故，不等式的解集为或.故选：C【方法技巧】1、一定要牢记二次函数的基本性质．2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．【变式3-1】若不等式的解集是，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为不等式的解集是：，所以和是方程的两个实数根，由，解得：，故不等式，即为，解不等式，得：，所求不等式的解集是：.故选：C．【变式3-2】（多选题）不等式的解集为，且.以下结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因为不等式的解集为，则是方程的两个实数根，，又,不妨令，，则，，但，故A不成立，符合题意；令，，则，但，故B不成立，符合题意；令，，则，，但，故C不成立，符合题意；，故D成立，不符合题意．故选：ABC.【变式3-3】（多选题）已知关于的不等式的解集是，则（

）A．B．C．D．不等式的解集是或【答案】ABD【解析】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，A：由以上可知，故A正确；B：当时，代入方程可得，故B正确；C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；故选：ABD题型四：分式不等式以及高次不等式的解法【典例4-1】（2024·高三·上海杨浦·期中）关于x的不等式的解集是.【答案】或【解析】因为，所以，解得或，所以的解集为或.故答案为：或.【典例4-2】已知关于x的不等式的解集是，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由，解得或，由条件知与同解，当时，显然不符合条件；所以，或，即，或，解得或，即.所以的取值范围为.故答案为：.【方法技巧】分式不等式化为二次或高次不等式处理．【变式4-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）不等式的解集是．【答案】【解析】，即，即，则，根据穿根法解得，故答案为：.【变式4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函数的图像如图所示，则不等式的解集是.【答案】【解析】根据函数的图像可知：，即，不等式可化为，即，解得或，所以不等式的解集是.故答案为：【变式4-3】不等式的解集是．【答案】【解析】原不等式可以化为，因为，所以.所以不等式的解集为.故答案为：题型五：绝对值不等式的解法【典例5-1】（2024·高三·上海长宁·期中）不等式的解集为.【答案】【解析】当时，，所以.当时，，或.综上：解集为故答案为：【典例5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式的解集为．【答案】；【解析】或，即或，所以不等式的解集为或，故答案为：.【方法技巧】（1）（2）；；（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解【变式5-1】（2024·上海虹口·模拟预测）不等式的解集为.【答案】【解析】，当时，，解得，故解集为，当时，，解集为，当时，，解得，故解集为，综上：不等式的解集为.故答案为：【变式5-2】不等式的解集是．【答案】或【解析】因为，所以或，即或，由解得或，由可得，所以，故不等式的解集为或.故答案为：或.题型六：二次函数根的分布问题【典例6-1】已知函数，关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由题意得，当时，，递增；当时，，递减，且；可知函数的图象如图所示，令，则方程有三个不等的实根，即为有两个不等的实根，令，则有两个不等的实根，则，所以不妨令，则，解得，故答案为：【典例6-2】若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为．【答案】【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足，而函数图象开口向上，因此，则，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：【方法技巧】解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．【变式6-1】已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.【变式6-2】已知函数，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵，当时，（时取等号），，当时，，即在上为增函数，当时，，即在上为减函数，在处取得极大值.当时，，即在上为减函数，作出函数的图象如图所示：设，当时，方程有1个解，当时，方程有2个解，当时，方程有3个解，当时，方程有1个解，当时，方程有0个解，方程等价为，要使关于的方程恰有4个不相等的实数根，等价为方程有两个不同的根，且，，设，则，解得，故选：D．【变式6-3】已知关于的方程在区间内有实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为关于的方程在区间内有实根，所以在区间内有实根，令，，所以在上单调递减，所以，即，依题意与在内有交点，所以.故选：B题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题【典例7-1】已知关于的不等式.(1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由；(2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围；(3)若不等式对有解，求的取值范围.【解析】（1）原不等式等价于，当时，，即，不恒成立；当时，若不等式对于任意实数恒成立，则且，无解；综上，不存在实数，使不等式恒成立.（2）设，当时，恒成立，当且仅当，即，解得即，所以的取值范围是.（3）若不等式对有解，等价于时，有解.令，当时，即，此时显然在有解；当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解；当时，对称轴为，，时，有解，结合一元二次函数图象，易得：或，解得或（无解），又∵，;综上所述，的取值范围为.【典例7-2】（2024·陕西西安·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】.【解析】当时，不等式恒成立，所以当时，恒成立，则，令，则在单调递增，所以，所以.故答案为：.【方法技巧】恒成立问题求参数的范围的解题策略（1）弄清楚自变量与参数．（2）一元二次不等式在R上恒（能）成立，可用判别式，一元二次不等式在给定的某个区间上恒（能）成立，不能用判别式，一般分离参数求最值或分类讨论处理．【变式7-1】当时，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，不等式恒成立，当时，满足不等式恒成立；当时，令，则在上恒成立，函数的图像抛物线对称轴为，时，在上单调递减，在上单调递增，则有，解得；时，在上单调递增，在上单调递减，则有，解得.综上可知，的取值范围是.故选：D.【变式7-2】已知函数，，(1)当时，解不等式；(2)若任意，都有成立，求实数的取值范围；(3)若，，使得不等式成立，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，所以，所以，所以的解集为.（2）若对任意，都有成立，即在恒成立，解法一：设，，对称轴，由题意，只须，①当，即时，在上单调递增，所以，符合题意，所以；②当，即时，在上单调递城，在单调递增，所以，解得且，所以.综上，.解法二：不等式可化为，即，设，，由题意，只须，，当且仅当即时等号成立，则，所以，即.（3）若对任意，存在，使得不等式成立，即只需满足，，，对称轴，在递减，在递增，，，，对称轴，①即时，在递增，恒成立；②即时，在递减，在递增，，，所以，故；③即时，在递减，，，所以，解得，综上：.【变式7-3】若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是.【答案】【解析】如图所示，若存在实数，对任意实数，不等式恒成立，则直线在时位于上方（可重合），且位于下方（可重合），又因为在时为凹函数，所以当直线经过时符合题意，由，得，此时直线为，则，即对恒成立，则，则，即实数m的取值范围是.故答案为：【变式7-4】已知函数，若对任意，则所有满足条件的有序数对是．【答案】【解析】因为对任意，所以必须满足，即，由，得，解得，①，再由，得，解得，②，由①②得，所以，即，解得，经检验，当，时，，则的最大值为，的最小值为，满足任意，所以满足条件的有序数对只有一对，故答案为：.题型八：解含参型绝对值不等式【典例8-1】已知关于的不等式有实数解，则实数的取值范围是.【答案】【解析】因为关于的不等式有实数解，所以，当时，，当时，，当时，，所以，即，解得或，所以实数的取值范围是.故答案为：【典例8-2】若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为，当且仅当时，等号成立，由题意可得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.【方法技巧】含参型绝对值不等式，可用零点分段法和图象法求解.【变式8-1】若关于x的不等式的解集为，则实数m的取值范围是【答案】【解析】不等式的解集为，即不等式的解集为，所以恒成立；而表示数轴上的x对应点到对应点的距离之和，它的最小值为，故有，所以或，即或，故答案为：.【变式8-2】（2024·上海长宁·二模）若对任意，均有，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】因为在绝对值三角不等式中，当同号时有，又因为，所以在恒成立，所以或在恒成立，即有或在恒成立，由，解得，由，解得，综上所述实数a的取值范围为.故答案为：题型九：解不等式组型求参数问题【典例9-1】设集合，集合为关于的不等式组的解集，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为不等式组的解集，，，所以不等式在上恒成立，且不等式的解集包含集合，又不等式可化为，所以不等式的解集为，所以，所以，且，所以.不等式在上恒成立，故，其中，设，，则在上单调递减，在上单调递增，又，，所以当时，函数，取最大值，最大值为，所以，所以当时，取最小值，最小值为.故选：C.【典例9-2】（2024·高三·山东菏泽·期中）已知不等式组的解集是关于的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围为（

）A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2【答案】A【解析】，解得：，因为是不等式的解集的子集，故要满足：，解得：，故选：A【方法技巧】求不等式(组)参数的问题，往往要利用不等式的性质、不等式(组)的解集，建立对应关系后求解.【变式9-1】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）若不等式组的解集是空集，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由得，即不等式的解集为；又不等式组的解集是空集，所以不等式的解集为集合或的子集，当，即时，不等式的解集为，符合题意；当，即时，不等式的解集为，也符合题意；当，即，设函数，则该函数的图象开口向上，且对称轴方程为，且，为使不等式的解集为集合或的子集，所以必有，即；综上实数的取值范围是.故答案为：.【变式9-2】若不等式组的解集不是空集，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，不等式，解得，所以不等式的解集为，假设不等式组的解集为空集，则不等式的解集为集合或的子集，因为函数的图象的对称轴方程为，则必有，解得，所以使得不等式组的解集不为空集时，则满足，即实数的取值范围是.故选：B.题型十：不等式组整数解求参数问题【典例10-1】已知关于的不等式组的解集中存在整数解且只有一个整数解，则的取值范围为.【答案】【解析】由，得或，所以的解集与或的交集中存在整数解，且只有一个整数解.当时，的解集为，此时，即，满足要求；当时，的解集为，此时不满足题设；当时，的解集为，此时，即，满足要求.综上，的取值范围为.故答案为：【典例10-2】关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解，所以，解得或，①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2，则，即，解得；②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，，则，即，解得，综上所述，实数的取值范围为或.故选：B.【方法技巧】不等式组整数解求参数问题通常使用分类讨论与数形结合处理.【变式10-1】已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】，解得或，变形为，当，即时，不等式解集为空集，不合要求，舍去，当，即时，解集为，要想不等式组仅有一个整数解，则，解得，与求交集得；当，即时，解决为，要想不等式组仅有一个整数解，则，解得，与求交集得，综上，的取值范围是或.故选：B【变式10-2】若关于的不等式组的整数解共有36个，则正数的取值范围是.【答案】【解析】由，得，因为为正数，所或.当时，，，此时不等式组的整数解的个数为32；当时，，，此时不等式组的整数解的个数为36；当时，，，此时不等式组的整数解的个数为40.越大，则越小，越大，从而不等式组的整数解的个数不会增加；越小，则越大，越小，从而不等式组的整数解的个数不会减少.要使得不等式组的整数解的个数为36，则需满足，解得.故答案为：．【变式10-3】设集合，集合若中恰有一个整数，则实数a的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由已知可得集合或,由解得，，所以，因为，所以，则，且小于0，由中恰有一个整数，所以，即，也即，解得，故选：B．1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为函数的图象开口向上的抛物线，所以要使对于任意的都有成立，，