第03讲 等式与不等式的性质（五大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）含解析

第03讲等式与不等式的性质（五大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第03讲等式与不等式的性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：比较大小基本方法 4知识点2：不等式的性质 4解题方法总结 5题型一：不等式性质的应用 6题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 7题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 7题型四：不等式的综合问题 8题型五：糖水不等式 904真题练习·命题洞见 1005课本典例·高考素材 1106易错分析·答题模板 12易错点：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围 12答题模板：利用不等式的性质求代数式的范围 12

考点要求考题统计考情分析（1）掌握等式性质．（2）会比较两个数的大小．（3）理解不等式的性质，并能简单应用．2022年II卷第12题，5分高考对不等式的性质的考查相对较少，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容．复习目标：1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小.2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.

知识点1：比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较或或【诊断自测】（2024·北京丰台·二模）若，且，则（

）A． B．C． D．知识点2：不等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【诊断自测】（2024·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（

）A． B．C． D．解题方法总结1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．题型一：不等式性质的应用【典例1-1】（2024·北京海淀·二模）设，且，则（

）A． B．C． D．【典例1-2】（多选题）（2024·高三·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【方法技巧】1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2、充分利用基本初等函数单调性进行判断．3、小题可以利用特殊值排除法．【变式1-1】（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【变式1-2】（2024·北京西城·一模）设，其中，则（

）A． B．C． D．题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式【典例2-1】已知且，，，则与的大小关系为．【典例2-2】（2024·高三·河南·开学考试）已知：，则大小关系是．【方法技巧】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．【变式2-1】已知为正实数．求证：.【变式2-2】（1）比较与的大小；（2）已知，比较与大小【变式2-3】希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为.（用“≤”连接）题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围【典例3-1】已知，，则ab的最大值为（

）A． B． C．3 D．4【典例3-2】已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【方法技巧】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能离开变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围变大，而只可以建立已知与未知的关系．【变式3-1】（多选题）已知，，则（

）A． B．C． D．【变式3-2】（多选题）已知实数x，y满足则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【变式3-3】已知实数a，b满足，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型四：不等式的综合问题【典例4-1】记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2024·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【方法技巧】综合利用等式与不等式的性质【变式4-1】（多选题）若实数x，y满足，则（

）A． B．C． D．【变式4-2】（多选题）已知，，且满足，．则的取值可以为（

）A．10 B．11 C．12 D．20题型五：糖水不等式【典例5-1】（多选题）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”判断下列命题一定正确的是（

）A．若，，则B．C．若，，为三条边长，则D．若，，为三条边长，则【典例5-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式.【方法技巧】糖水不等式：若，，则，或者．【变式5-1】（1）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则.（填“>，<，=，≥，≤”之一）.（2），，则MN（填“>，<，=，≥，≤”之一）.【变式5-2】（2024·高三·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；(2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：.1．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若a>b，则（）A．ln(a−b)>0 B．3a<3bC．a3−b3>0 D．│a│>│b│3．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知为等比数列，下面结论中正确的是A． B．C．若，则 D．若，则1．下列命题为真命题的是（

）A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a>b，则a2>b2C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a<b<0，则2．比较下列各组中两个代数式的大小：（1）与；（2）与；（3）当时，与；（4）与.3．火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物，现计划用A，B两种型号的货厢共50节运送这批货物，已知35t甲种货物和15乙种货物可装满一节A型货厢，25t甲种货物和35乙种货物可装满一节B型货厢，据此安排A，B两种货厢的节数，共有几种方案？若每节A型货厢的运费是0.5万元，每节B型货用的运费是0.8万元，哪种方案的运费较少？4．一个大于50小于60的两位数，其个位数字比十位数字大2，试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数（用a和b分别表示这个两位数的十位数字和个位数字）.5．已知，，求的取值范围.易错点：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围易错分析：在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式．答题模板：利用不等式的性质求代数式的范围1、模板解决思路解决本模板问题一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得.2、模板解决步骤第一步：把所求代数式用条件的代数式，表示出来，即．第二步：列方程组，求出m，n的值.第三步：分别求出和的取值范围．第四步：求出的取值范围．【易错题1】已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【易错题2】已知，，求的取值范围为.第03讲等式与不等式的性质目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：比较大小基本方法 4知识点2：不等式的性质 5解题方法总结 6题型一：不等式性质的应用 6题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式 8题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围 11题型四：不等式的综合问题 13题型五：糖水不等式 1504真题练习·命题洞见 1805课本典例·高考素材 1906易错分析·答题模板 21易错点：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围 21答题模板：利用不等式的性质求代数式的范围 21

考点要求考题统计考情分析（1）掌握等式性质．（2）会比较两个数的大小．（3）理解不等式的性质，并能简单应用．2022年II卷第12题，5分高考对不等式的性质的考查相对较少，考查内容、频率、题型难度均变化不大，单独考查的题目虽然不多，但不等式的性质几乎可以渗透到高考的每一个考点，是进行不等式变形、证明以及解不等式的依据，所以它不仅是数学中的不可或缺的工具，也是高考考查的一个重点内容．复习目标：1、理解用作差法、作商法比较两个实数的大小.2、理解等式与不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.

知识点1：比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较或或【诊断自测】（2024·北京丰台·二模）若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由于，取，，，无法得到，，故AB错误，取,则，无法得到，C错误，由于，则，所以，故选：D知识点2：不等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性传递性可加性可乘性同向可加性同向同正可乘性可乘方性【诊断自测】（2024·陕西·模拟预测）已知，则以下错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，对于A，，,,综上可得，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，当时，，故D错误；故选：D.解题方法总结1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．题型一：不等式性质的应用【典例1-1】（2024·北京海淀·二模）设，且，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，取，则，故A错误，对于B，，则，故B错误，对于C，由于，故在单调递减，故，因此，由于，所以，故，C正确，对于D,,则，故D错误，故选：C【典例1-2】（多选题）（2024·高三·湖南常德·期末）已知，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【解析】∵，∴即，∴，A正确；由基本不等式知：，当且仅当时等号成立又，∴∴即,当且仅当时等号成立；已知,故，B正确;令，，C错误；令，，分母为零无意义，D错误．故选：AB．【方法技巧】1、判断不等式是否恒成立，需要给出推理或者反例说明．2、充分利用基本初等函数单调性进行判断．3、小题可以利用特殊值排除法．【变式1-1】（2024·北京房山·一模）已知，则下列命题为假命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【解析】对于A，因为，所以，故A结论正确；对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确；对于C，因为，所以，而函数为减函数，所以，故C结论正确；对于D，，因为，所以，所以，所以，故D结论错误.故选：D.【变式1-2】（2024·北京西城·一模）设，其中，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，故，故，由对勾函数性质可得，，且，综上所述，有.故选：C.题型二：比较数（式）的大小与比较法证明不等式【典例2-1】已知且，，，则与的大小关系为．【答案】【解析】．当时，，所以，则；当时，，所以，则．综上可知，当且时，，即．【典例2-2】（2024·高三·河南·开学考试）已知：，则大小关系是．【答案】【解析】由，得，因此，显然，则，所以大小关系是.故答案为：【方法技巧】比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．【变式2-1】已知为正实数．求证：.【解析】证明：因为，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以.【变式2-2】（1）比较与的大小；（2）已知，比较与大小【解析】（1）因为，所以，所以①当时，，所以，②当时，，即，所以，③当时，，即，所以，综上所述：当，.（2），因为，所以，所以，由，所以，所以，即，故.【变式2-3】希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为.（用“≤”连接）【答案】【解析】由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立；因为，当且仅当，即时等号成立，所以；因为，当且仅当，即时等号成立，所以；综上所述，，当且仅当时等号成立.故答案为：题型三：已知不等式的关系，求目标式的取值范围【典例3-1】已知，，则ab的最大值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【解析】，由不等式的性质，，所以所以，所以，当且仅当时，且已知，解得，即的最大值为.故选：A.【典例3-2】已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知及三角形三边关系得，所以，则，两式相加得，所以.故选：C【方法技巧】在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能离开变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围变大，而只可以建立已知与未知的关系．【变式3-1】（多选题）已知，，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】依题意，，所以，所以，所以A选项错误，B选项正确.所以，所以，所以C选项正确，D选项错误.故选：BC【变式3-2】（多选题）已知实数x，y满足则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【答案】ABD【解析】利用不等式的性质直接求解.因为，所以.因为，所以，则，故A正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；因为，所以，则，故D正确.故选：ABD.【变式3-3】已知实数a，b满足，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得：，记，，则．又，∴，∴，∴．故选：A题型四：不等式的综合问题【典例4-1】记表示这3个数中最大的数．已知，，都是正实数，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，，所以，所以，即，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故选：A【典例4-2】（2024·江苏南通·模拟预测）设实数，，满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由可得：，当时取等号，所以的最小值为.故选：B【方法技巧】综合利用等式与不等式的性质【变式4-1】（多选题）若实数x，y满足，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于AB，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以A正确，B错误，对于C，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以C错误，对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以D正确，故选：AD【变式4-2】（多选题）已知，，且满足，．则的取值可以为（

）A．10 B．11 C．12 D．20【答案】CD【解析】因为，，所以，，故，当，且，而时，即等号不能同时成立，所以，故AB错误，CD正确.故选：CD.题型五：糖水不等式【典例5-1】（多选题）生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“榶水不等式”判断下列命题一定正确的是（

）A．若，，则B．C．若，，为三条边长，则D．若，，为三条边长，则【答案】BCD【解析】A.由糖水不等式得：，时，，故A错误.B.，故B正确.C.，故C正确.D.，，故D正确.故选：BCD【典例5-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式.【答案】【解析】空1：因为，所以可得：；空2：由空1可得：，即.故答案为：；【方法技巧】糖水不等式：若，，则，或者．【变式5-1】（1）已知糖水中含有糖（），若再添加糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了（即糖水中含糖浓度变大）.根据这个事实，则.（填“>，<，=，≥，≤”之一）.（2），，则MN（填“>，<，=，≥，≤”之一）.【答案】【解析】（1）∵，又∵，，∴，即；（2）因为，，故.故答案为：；.【变式5-2】（2024·高三·安徽亳州·期中）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.(1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；(2)在锐角中，根据（1）中的结论，证明：.【解析】（1）若，则.证明：.因为，所以，又，故，因此.（2）在锐角三角形中，由（1）得，同理，.以上式子相加得.

1．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC．2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若a>b，则（）A．ln(a−b)>0 B．3a<3bC．a3−b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．3．（2012年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷））已知为等比数列，下面结论中正确的是A． B．C．若，则 D．若，则【答案】B【解析】设{an}的首项为a1，公比为q，当a1<0，q<0时，可知a1<0，a3<0，a2>0，所以A不正确；当q＝－1时，C选项错误；当q<0时，a3>a1⇒a3q<a1q⇒a4<a2，与D选项矛盾．因此根据基本不等式可知B选项正确．1．下列命题为真命题的是（

）A．若a>b>0，则ac2>bc2 B．若a>b，则a2>b2C．若a<b<0，则a2<ab<b2 D．若a<b<0，则【答案】D【解析】对于A，当c=0时，ac2=bc2，所以A不是真命题；对于B，当a=0，b=-2时，a>b，但a2<b2，所以B不是真命题；对于C，当a=-4，b=-1时