第02讲 常用逻辑用语（五大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）含解析

第02讲常用逻辑用语（五大题型）（讲义）-2025年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）第02讲常用逻辑用语目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：充分条件、必要条件、充要条件 4知识点2：全称量词与存在量词 4知识点3：含有一个量词的命题的否定 5解题方法总结 5题型一：充分条件与必要条件的判断 6题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 6题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 7题型四：根据命题的真假求参数的取值范围 8题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定 804真题练习·命题洞见 905课本典例·高考素材 1006易错分析·答题模板 11易错点：混淆充分条件与必要条件 11答题模板：充分条件与必要条件的判断 11

考点要求考题统计考情分析（1）必要条件、充分条件、充要条件；（2）全称量词与存在量词；（3）全称量词命题与存在量词命题的否定．2024年新高考II卷第2题，5分2023年新高考I卷第7题，5分2023年天津卷第2题，5分2023年全国甲卷第7题，5分2022年天津卷第2题，5分2021年全国甲卷第7题，5分从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中．重点关注如下两点：（1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法；（2）全称命题与存在命题的否定和以全称命题与存在命题为条件，求参数的范围问题．复习目标：1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系；3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．

知识点1：充分条件、必要条件、充要条件1、定义如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．2、从逻辑推理关系上看（1）若且，则是的充分不必要条件；（2）若且，则是的必要不充分条件；（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）．【诊断自测】（2024·北京西城·二模）已知．则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件知识点2：全称量词与存在量词（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．【诊断自测】下列命题中的假命题是(

)A．R B．RC．R D．R知识点3：含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题的否定为，．（2）存在量词命题的否定为．【诊断自测】（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（

）A． B．C． D．解题方法总结1、从集合与集合之间的关系上看设．（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；简记：“小大”．（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；（3）若，则与互为充要条件．2、常见的一些词语和它的否定词如下表原词语等于大于小于是都是任意（所有）至多有一个至多有一个否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有两个一个都没有（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可．（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题．题型一：充分条件与必要条件的判断【典例1-1】（2024·浙江宁波·二模）已知平面，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【典例1-2】（2024·湖南·二模）已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（

）A． B．C． D．【方法技巧】1、要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．【变式1-1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-3】（多选题）已知p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（

）A．r是q的充分条件 B．p是q的充分条件C．r是q的必要而不充分条件 D．r是s的充分而不必要条件题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围【典例2-1】设，，若“”是“”的充要条件，则的值为（

）A． B． C． D．【典例2-2】给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.已知集合，，存在实数使得“”是“”的条件.【方法技巧】1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含关系．2、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点能否能取到，容易出错．【变式2-1】已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是．【变式2-2】已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是．【变式2-3】已知命题，若是的充要条件，则．题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假【典例3-1】下列正确命题的个数为（

）①，；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【典例3-2】（2024·高三·北京通州·期中）下列命题中的假命题是（

）A．， B．，C．， D．，【方法技巧】1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，又要使用数学结论．2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断相对简单，注重细节即可．【变式3-1】下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．B．每个等腰三角形都有内切圆C．D．存在一个正整数，它既是偶数又是质数【变式3-2】（2024·广东东莞·三模）已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是（

）

A．， B．，C．， D．，【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）已知集合M，N满足，则（

）A．， B．，C．， D．，题型四：根据命题的真假求参数的取值范围【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值：．【典例4-2】（2024·高三·湖北武汉·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是．【方法技巧】1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，若哪个是假命题，去求真命题的补集即可．2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题，要注意端点是否可以取到．【变式4-1】若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为．【变式4-2】（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为.【变式4-3】（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是.题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定【典例5-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“，，”的否定形式是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【典例5-2】（2024·陕西商洛·三模）命题“对任意的”的否定是（

）A．不存在 B．存在C．存在 D．对任意的【方法技巧】含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.【变式5-1】（2024·四川成都·模拟预测）命题的否定是（

）A．B．C．D．【变式5-2】已知命题，则（

）A．，，且是真命题B．，，且是假命题C．，，且是假命题D．，，且是真命题【变式5-3】（2024·贵州遵义·一模）已知命题，，则为（

）A．， B．，C．， D．，1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（

）A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题C．p和都是真命题 D．和都是真命题3．（2022年新高考天津数学高考真题）“为整数”是“为整数”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要4．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件1．设集合满足条件p，满足条件q.（1）如果，那么p是q的什么条件？（2）如果，那么p是q的什么条件？（3）如果，那么p是q的什么条件？试举例说明.2．在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;(2)在一元二次方程中，有实数根，;(3);(4);(5).3．设a,b,c分别是的三条边,且.我们知道,如果为直角三角形,那么(勾股定理).反过来,如果,那么为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知,为直角三角形的充要条件是.请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件,并证明.4．写出下列命题的否定,并判断它们的真假：(1)，一元二次方程有实根；(2)每个正方形都是平行四边形；(3)；(4)存在一个四边形ABCD，其内角和不等于.易错点：混淆充分条件与必要条件易错分析：对于条件p，q，如果，则是的充分条件，是的必要条件，如果，则是的充要条件．解题时最容易出错的就是混淆充分性与必要性，因此在解决这类问题时，一定要分清条件和结论，根据充分必要条件的定义，选择合适的方法作出准确的判断，常借助反例说明．答题模板：充分条件与必要条件的判断1、模板解决思路解决充分与必要条件问题时，首先是确定条件和结论，然后通过条件和结论的互推确定它们之间的关系．2、模板解决步骤第一步：确定题中的条件和结论．第二步：判断“”的真假．第三步：判断“”的真假．第四步：得出结论．【易错题1】（2024·江西·模拟预测）“，”是“方程表示的曲线为椭圆”的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【易错题2】（2024·高三·贵州贵阳·阶段练习）二次函数在区间上单调递增的一个充分不必要条件为（

）A． B． C． D．第02讲常用逻辑用语目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：充分条件、必要条件、充要条件 4知识点2：全称量词与存在量词 4知识点3：含有一个量词的命题的否定 5解题方法总结 5题型一：充分条件与必要条件的判断 6题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围 8题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假 10题型四：根据命题的真假求参数的取值范围 11题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定 1304真题练习·命题洞见 1505课本典例·高考素材 1706易错分析·答题模板 19易错点：混淆充分条件与必要条件 19答题模板：充分条件与必要条件的判断 19

考点要求考题统计考情分析（1）必要条件、充分条件、充要条件；（2）全称量词与存在量词；（3）全称量词命题与存在量词命题的否定．2024年新高考II卷第2题，5分2023年新高考I卷第7题，5分2023年天津卷第2题，5分2023年全国甲卷第7题，5分2022年天津卷第2题，5分2021年全国甲卷第7题，5分从近几年高考命题来看，常用逻辑用语没有单独命题考查，偶尔以已知条件的形式出现在其他考点的题目中．重点关注如下两点：（1）集合与充分必要条件相结合问题的解题方法；（2）全称命题与存在命题的否定和以全称命题与存在命题为条件，求参数的范围问题．复习目标：1、理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；2、理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系；3、理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．

知识点1：充分条件、必要条件、充要条件1、定义如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．2、从逻辑推理关系上看（1）若且，则是的充分不必要条件；（2）若且，则是的必要不充分条件；（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）．【诊断自测】（2024·北京西城·二模）已知．则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，则，当且仅当时取等，所以充分性成立，取，满足，但，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A.知识点2：全称量词与存在量词（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．【诊断自测】下列命题中的假命题是(

)A．R B．RC．R D．R【答案】C【解析】因为，所以选项A、B均为真命题，选项C为假命题；因为在R上的值域可知，所以D为真命题；故选：C知识点3：含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题的否定为，．（2）存在量词命题的否定为．【诊断自测】（2024·全国·模拟预测）已知命题，则为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，全称量词命题的否定是存在量词命题，可得：命题的否定为：为．故选：C．解题方法总结1、从集合与集合之间的关系上看设．（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；简记：“小大”．（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；（3）若，则与互为充要条件．2、常见的一些词语和它的否定词如下表原词语等于大于小于是都是任意（所有）至多有一个至多有一个否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有两个一个都没有（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可．（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题．题型一：充分条件与必要条件的判断【典例1-1】（2024·浙江宁波·二模）已知平面，则“”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由于，所以，若，则，，故充分性成立，若，，设，，则存在直线使得，所以，由于，故，同理存在直线使得，所以，由于，故，由于不平行，所以是平面内两条相交直线，所以，故必要性成立，故选：C【典例1-2】（2024·湖南·二模）已知实数，则下列选项可作为的充分条件的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】取，，满足，但是推不出，故排除A；取，，满足，但是推不出，故排除B；取，，满足，但是推不出，故排除D；由，，可推出，即，即，故充分性成立.故选：C.【方法技巧】1、要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立．2、充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合．【变式1-1】（2024·辽宁沈阳·二模）已知向量，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，即，故，解得.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A【变式1-2】（2024·福建福州·模拟预测）设，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，或，则，即充分性成立；当时，，则，即必要性成立；综上可知，“”是“”的充要条件.故选：C.【变式1-3】（多选题）已知p是r的充分而不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是（

）A．r是q的充分条件 B．p是q的充分条件C．r是q的必要而不充分条件 D．r是s的充分而不必要条件【答案】AB【解析】由已知得，，，，所以且，故A正确，C不正确；，B正确；且，D不正确．故选:AB．题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围【典例2-1】设，，若“”是“”的充要条件，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解不等式可得，由题意可知，，因此，.故选：C.【典例2-2】给出如下三个条件：①充要②充分不必要③必要不充分.请从中选择补充到下面横线上.已知集合，，存在实数使得“”是“”的条件.【答案】②，③【解析】①“”是“”的充要条件，则，，此方程无解，故不存在实数，则不符合题意；②“”是“”的充分不必要条件时，，，；解得，符合题意；③“”是“”的必要不充分条件时，当，，得；当，需满足，，，解集为；综上所述，实数的取值范围.故答案为：②，③.【方法技巧】1、集合中推出一定是小集合推出大集合，注意包含关系．2、把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点能否能取到，容易出错．【变式2-1】已知命题“方程至少有一个负实根”，若为真命题的一个必要不充分条件为，则实数的取值范围是．【答案】【解析】若命题“方程至少有一个负实根”为真命题，时，，符合题意；当时，，且，则此时方程有一个正根和一个负根，符合题意；当时，由，解得，此时方程为符合题意；由解得，此时，则此时方程有两个负根，符合题意.综上所述，为真命题时，的取值范围是.若为真命题的一个必要不充分条件为，则.故答案为：【变式2-2】已知集合，，若“”是“”的必要非充分条件，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】由题意可得，，若“”是“”的必要非充分条件，则集合B是集合A的真子集，则，且等号不能同时成立，解得，所以实数a的取值范围是.故答案为：.【变式2-3】已知命题，若是的充要条件，则．【答案】-1【解析】由题意得，，得，设，，由是的充要条件，得，即，得．故答案为：-1题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假【典例3-1】下列正确命题的个数为（

）①，；②；③；④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】，，①正确；当时，，②错误；当时，，③正确；由于，而都是无理数，④错误，所以正确命题的个数为2.故选：B【典例3-2】（2024·高三·北京通州·期中）下列命题中的假命题是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】对于A，因为指数函数的值域为，所以，，A对；对于B，当时，，B对；对于C，当时，，C错；对于D，当时，，D对.故选：C.【方法技巧】1、全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要理解汉字意思，又要使用数学结论．2、全称量词命题和存在量词命题的真假性判断相对简单，注重细节即可．【变式3-1】下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是（

）A．B．每个等腰三角形都有内切圆C．D．存在一个正整数，它既是偶数又是质数【答案】D【解析】B与C均为全称量词命题，A与D均为存在量词命题，BC错误；因为，则“”是假命题，A错误；正整数2既是偶数又是质数，则“存在一个正整数，它既是偶数又是质数”是真命题，D正确.故选：D【变式3-2】（2024·广东东莞·三模）已知全集和它的两个非空子集，的关系如图所示，则下列命题正确的是（

）

A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】由图可知，且，非空，则根据子集的定义可得：对于，，不正确，对于，，正确，对于，，不正确，对于，，不正确，故选：．【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）已知集合M，N满足，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】对于A，取，满足，而，A错误；对于B，取，满足，而，B错误；对于C，根据集合交集的定义可知，，故C正确，对于D，取，满足，但，不成立，D错误，故选：C题型四：根据命题的真假求参数的取值范围【典例4-1】（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于，”为真命题，写出符合条件的的一个值：．【答案】（答案不唯一）【解析】对于，，当时，对于，，则可取任意负数，如；故答案为：.【典例4-2】（2024·高三·湖北武汉·期末）若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是．【答案】【解析】若命题“，”是真命题，可得即可；易知在上单调递增，所以，可得；又因为该命题是假命题，所以可得，即实数的取值范围是.故答案为：【方法技巧】1、在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，若哪个是假命题，去求真命题的补集即可．2、全称量词命题和存在量词命题的求参数问题，要注意端点是否可以取到．【变式4-1】若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围为．【答案】【解析】因为命题“，”是真命题，当，即时，不等式为，显然不满足题意，；当，即时，所以，解得．故答案为：．【变式4-2】（2024·辽宁·三模）若“，使”是假命题，则实数的取值范围为.【答案】【解析】因为“，使”是假命题，所以“，”为真命题，其等价于在上恒成立，又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为.故答案为：.【变式4-3】（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是.【答案】【解析】命题p的否定为：任意，使得函数在区间内不单调，由函数在上单调递减，在上单调递增，则，而，得，故答案为：题型五：全称量词命题与存在量词命题的否定【典例5-1】（2024·内蒙古赤峰·一模）命题“，，”的否定形式是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】由全称量词命题与存在量词命题的否定可知：命题“，，”的否定形式是“，，”.故选：C【典例5-2】（2024·陕西商洛·三模）命题“对任意的”的否定是（

）A．不存在 B．存在C．存在 D．对任意的【答案】C【解析】“对任意的”的否定是：存在.故选：C．【方法技巧】含量词命题的否定，一是改写量词，二是否定结论.【变式5-1】（2024·四川成都·模拟预测）命题的否定是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为命题，则其否定为.故选:B【变式5-2】已知命题，则（

）A．，，且是真命题B．，，且是假命题C．，，且是假命题D．，，且是真命题【答案】D【解析】由，，则，，由，则有，等价于等价于，令，则，则时，恒成立，故在上单调递增，又，故，即，故原命题错误，则是真命题.故选：D.【变式5-3】（2024·贵州遵义·一模）已知命题，，则为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由命题，可知，为，，故D正确；ABC错误；故选：D1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件【答案】C【解析】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（

）A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题C．p和都是真命题 D．和都是真命题【答案】B【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题.故选：B.3．（2022年新高考天津数学高考真题）“为整数”是“为整数”的（

）条件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【答案】A【解析】由为整数能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的充分条件，由,为整数不能推出为整数，故“为整数”是“为整数”的不必要条件，综上所述，“为整数”是“为整数”的充分不必要条件，故选：A.4．（2022年新高考浙江数学高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.1．设集合满足条件p，满足条件q.（1）如果，那么p是q的什么条件？（2）如果，那么p是q的什么条件？（3）如果，那么p是q的什么条件？试举例说明.【解析】（1）若，则有，即每个使p成立的元素也使q成立，即，所以p是q的充分条件.如，，，是的充分条件.（2）若，则有，即每个使q成立的元素也使p成立，即，所以p是q的必要条件.如，，则，是的必要条件.（3）若，则，，所以p是q的充要条件.如，是的充要条件.2．在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;(2)在一元二次方程中，有实数根，;(3);(4);(5).【解析】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形,故p是q的必要不充分条件.(2)一元二次方程有实数根则判别式.故p是q的充要条件.(3)因为,故且；当时不一定成立.故p是q的充分不必要