第01讲 菱形的性质（原卷版）-初中数学暑假自学课讲义（9年级北师大版）

第01讲菱形的性质1.理解菱形的概念.2.掌握菱形的性质定理一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.考点一：菱形的性质例1．关于菱形，下列说法错误的是（）A．对角线垂直 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相平分例2．关于菱形一定具有的性质，下列说法错误的是（

）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．邻边相等 D．对角线相等例3．下列性质中，菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）对边平行且相等 B．对角线互相平分 C．每条对角线平分一组对角 D．对角互补考点二：利用菱形的性质求角度例4．如图，菱形中，若，则的度数是（

）A． B． C． D．例5．如图，在菱形中，对角线、相交于点O，，则的度数是（

）A． B． C． D．例6．如图所示，在菱形中，对角线与交于点，于点．若，则(

)A． B． C． D．例7．如图，在菱形中，，点E在上，若，则（

）A． B． C． D．例8．如图，菱形，,点是对角线上一点，点是边上一点，且，则的度数为（

）

A． B． C． D．考点三：利用菱形的性质求长度例9．如图，在菱形中，，，则菱形的周长是（

）A．10 B．15 C．20 D．30例10．如图，在菱形中，周长为16，，则的长等于（

）A． B．4 C． D．2例11．如图，在菱形中，，，，垂足为点H，则的长为（

）A．3 B．4 C． D．5例12．如图，菱形的边长为10，，则点到的距离等于（）A．5 B．6 C．8 D．1例13．在菱形中，若，周长为16，则这个菱形的两条对角线长分别为（

）A．2， B．4， C．4，4 D．，考点四：利用菱形的性质求面积例14．若菱形形的一条对角线长，另一条对角线，则它的面积是_____________．例15．菱形的周长是，一个内角为，则菱形的面积为________．例16．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，过作的平行线交的延长线于点，则的面积为_____________．例17．如图，四边形是菱形，是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为5和12时，则阴影部分的面积为_____．考点五：利用菱形的性质求坐标例18．如图，在平面直角坐标系中，菱形的四个顶点都在坐标轴上，且菱形边长为2，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．例19．如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点，则，两点的坐标为（

）A．点），点 B．点，点C．点，点 D．点，点）考点六：利用菱形的性质证明例20．如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：．例21．如图所示，在菱形中，对角线相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点，求证：四边形是平行四边形例22．如图，菱形中，E是对角线上的一点，连接、，求证：．例23．如图，已知菱形的对角线、相交于点，延长至点，使，连接．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，求菱形的面积．一、单选题1．（2022·广西河池·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中错误的是(

)A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠DAC＝∠BAC2．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿着线段剪成两个全等的图形，则的度数是（

）A．40° B．60° C．80° D．100°3．（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16 B．6 C．12 D．304．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）如图，四边形是菱形，，点是中点，是对角线上一点，且，则的值是（

）A．3 B． C． D．5．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．二、填空题6．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）菱形中，对角线，，则菱形的边长为____________．7．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，菱形的边长为2，，对角线与交于点，为中点，为中点，连接，则的长为_________．8．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=80°，延长BC到E，在∠DCE内作射钱CM，使得∠ECM=30°，过点D作DF⊥CM，垂足为F．若DF=，则BD的长为______（结果保留很号）．一、单选题1．菱形不具备的性质是（

）A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．对角线平分对角 D．是中心对称图形2．如图，已知菱形的两条对角线与长分别是和，则这个菱形的面积是（

）A． B． C． D．3．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，则菱形ABCD的面积是（）A．18 B．18 C．36 D．364．如图，菱形的边长为2，，则点A的坐标为（

）A． B． C． D．5．如图，在菱形中，E、F分别是、的中点，若，则菱形的周长为（

）A．4 B．8 C．16 D．206．如图，菱形中，，点E、F分别在边、上，，则的度数为（

）

A． B． C． D．7．如图，菱形的对角线相交于点O．E，F分别是的中点，若，则菱形的周长为（）A．8 B．16 C．8 D．168．如图，菱形的对角线交于点O，交的延长线于E，，则的面积为（

）A．11 B．12 C．14 D．159．如图，菱形的两条对角线交于点O，于点E，若，则的长是（

）A． B． C． D．410．如图，在菱形中，，，点P是菱形内部一点，且满足，则的最小值是（

）A． B． C．6 D．二、填空题11．如果一个菱形的一条边长为，那么这个菱形的周长为_________．12．如图，在菱形中，过点A作于点E，交对角线于点F，点G为的中点．若，则_______°．13．菱形的对角线，则菱形的高为_______．14．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为______．15．如图，在菱形中，，．点P为边上一点，且不与点C，D重合，连接，过点A作，且，连接，则四边形的面积为______．16．如图，菱形的对角线相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为16，则的长为____．17．如图1，菱形纸片的边长为，，将菱形沿，GH折叠，使得点B，D两点重合于对角线上的点P（如图2）．若，则六边形的面积为______．

18．如图，在菱形中，°，在对角线上任取一点Р（端点除外），连接、．在BA的延长线上取一点Q，使．当点Р在线段上移动时：①；②当点P沿CA方向运动时，的度数先变小，后变大；③；④．其中，说法正确的序号是___________．三、解答题19．如图，菱形的对角线、相交于点，，垂足为点，，，求、的长．20．如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，且．(1)求菱形周长；(2)，求的长．21．如图，在菱形中，对角线交于点O，过点C作交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，求四边形的周长．22．图1，图2都是由小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形．

(1)在图1中画出以为对角线的菱形，C，D均在格点上．(2)在图2中画出以为边的平行四边形，E，F均在格点上，并使其面积最大．23．如图，在菱形中，E为对角线上一点，连接．(1)求证：；(2)若，求的度数．24．如图，在菱形中，，是对角线上任意一点，是线段延长线上一点，且，连接．．(1)如图1，当是线段的中点，且时，求的面积；(2)如