八年级数学尺规作图及应用重点突破训练

第12章：尺规作图及应用重点突破训练

典例体系

考点1：基本尺规作图

典例：（2020•北京初三二模）下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线"的尺规作图过程.

已知：如图，直线/和直线/外一点P.

求作：直线PQ,使直线P。//直线/.

作法：如图，

①在直线I上任取一点A,作射线AP;

②以P为圆心，24为半径作弧，交直线/于点3,连接

③以尸为圆心，长为半径作弧，交射线AP于点。；分别以反。为圆心，大于长为半径作弧,

2

在AC的右侧两弧交于点Q;

④作直线PQ;

所以直线PQ就是所求作的直线.

根据上述作图过程，回答问题：

(1)用直尺和圆规，补全图中的图形；

(2)完成下面的证明：

证明：由作图可知PQ平分NCP8,

ZCPQ=ZBPQ=；ZCPB.

又TPAMPB,

ZPAB=ZPBA.()(填依据1).

ZCPB=ZPAB+ZPBA,

ZPAB=NPBA=-/CPB.

2

NCPQ=NPAB，二直线尸0//直线/.()(填依据2).

方法或规律点拨

本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是根据题意作图，然后再进行推理

论证.

巩固练习

1.已知点C在/AOB的0B边上，用尺规过点C作CN〃OA,作图痕迹如图所示.下列对弧FG的描述,

正确的是()

A.以点C为圆心，0D的长为半径的弧

B.以点C为圆心，0M的长为半径的弧

C.以点E为圆心，DM的长为半径的弧

D.以点E为圆心，CE的长为半径的弧

2.如图，点C在NAOB的边。8上，用直尺和圆规作/BCN=/AOC,这个尺规作图的依据是（）

A.SASB.SSSC.AASD.ASA

3.下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③过直线外一点作已

知直线的垂线；④作一条线段的垂直平分线，则对应作法错误的是（）

①②③④

A.①B.②C.（3）D.④）

4.下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（）

A.作一个角等于已知角

B.作一个角的平分线

C.\作一条线段的垂直平分线

D.|过直线外一点P作已知直线的垂线

7

5.下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角;③作一条线段的垂直平分线.其

中作法正确的是（）

可用直尺成功地找到三角形角平分线交点的是()

D.

(1)弧①是以。为圆心，任意长为半径所画的弧；

(2)弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；

(3)弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；

(4)弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；

其中正确说法的个数为()

A.4B.3C.2D.1

8.如图是作AABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是()

A.已知两边及夹角B,已知三边C.已知两角及夹边D.已知两边及一边对角

9.下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角''的尺规作图过程.

已知：ZO,

求作：一个角，使它等于NO.

作法：如图：

①在NO的两边上分别任取一点A,B;

②以点A为圆心，0A为半径画弧；以点B为

圆心，0B为半径画弧；两弧交于点C;

③连结AC,BC,所以/C即为所求作的角.

请根据小明设计的尺规作图过程，

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下列证明.

证明：连结AB,

：OA=AC,OB=,,

/.^OAB^ACAB()(填推理依据).

zc=zo.

典例：)如图，已知锐角AABC,AB>BC.

(1)尺规作图：求作AABC的角平分线BD；(保留作图痕迹，不写作法)

(2)点£在A3边上且3c=3£,请连接DE,求证：ZBED=NC.

方法或规律点拨

此题考查了基本作图-角平分线的画法，以及三角形全等的判定及性质.解题关键是掌握基本作图.

巩固练习

1.如图，在zsABC中，BA=BC,ZB=SO°,观察图中尺规作图的痕迹，则乙DCE的度数为（）

A.60B.65C.70°D.75°

2.如图，已知AB=AC,BC=6,尺规作图痕迹可求出B£>=()

A

A.2B.3C.4D.5

3.如图，中，NABC=90°,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（）

A.DB=DEB.AB=AEC.ZEDC=ABACD.NDAC=NC

4.如图，在ZkABC中,/C=90。,以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M、N分别以点M、N

为圆心，以大于|MN的长度为半径画弧两弧相交于点P过点P作线段BD,交AC于点D,过点D作DEAB

于点E,则下列结论①CD=ED;②NABD=；/ABC；③BC=BE;④AE=BE中，一定正确的是（）

A

A.①②③B.①②④C.①③©D.②③④

5.如图，在RSABC中，ZB=90°,以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,BC于点E,F,

再分别以点E,F为圆心，大于《EF的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线CP交AB于点D.若BD=3,

AC=10,则AACD的面积是.

6.如图，AB//CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交A3,AC于点E、F,再分别

以E、尸为圆心，大于的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P,作射线AP,交CD于点M,则射

线AP为_____________;若NA8=110°,则的度数为.

7.如图，以点3为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交A8,BC两边于点。,E.分别以点RE为圆心，

以大于1DE的长度为半径画弧，两弧交于点F.已知点F到边AB的距离为3,则点F到边BC的距离

2

为.

考点3：利用尺规作图作三角形

典例：数学课上，老师提出问题，任意画两条长度不等的线段a、b,利用尺规作图作Rt/iABC,使线段a、

b分别为三角形的一条直角边和斜边，小勇所作之图如下：

请你回答下列问题：

(1)在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是；(只填序号)

①以B为圆心，BA的长为半径画弧，交射线AG于点D.

②画直线BF.

③分别以点A,D为圆心，大于线段AB的长为半径画弧，交于点F.

④以点A为圆心，线段b的长为半径画弧，交直线BF于点C,联结AC.

⑤画射线AG,并在AG上截取线段AB=a

(2)/ABC=90。的理由是.

方法或规律点拨

本题考查了尺规作图——复杂作图、线段垂直平分线的性质等，掌握基本作图的方法是解题的关键.

巩固练习

1.尺规作图：如图，作一个直角三角形ABC,使其两条直角边分别等于已知线段m,n.(保留作图痕迹,

不写作法)

2.如图，已知：点P和直线BC.

求作：等腰直角三角形MPQ,是ZPMQ=45。，点M落在BC上.

P

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3.用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

已知：线段c,求作RSABC,使NC=90。，BC=c,AB=2c.

4.已知/a,线段a,b,求作：4ABC,使NB=/a,AB=2a,BC=b.（要求：用直尺和圆规作图，保留作

图痕迹，不写作法及证明）

5.（用直尺和圆规作图）

已知：线段a,c,Na,求作：AABC,使=AB=c,ZABC=a.

.a

6.如图，已知"ABC,用直尺与圆规作△OER使得多ZVIBC.（不要写作法，保留作图痕迹.）

7.已知：线段a,Ne,求作：A4BC,使AB=AC=a,N5=Na.

8.已知：线段a,c（a<c）,求作，RtAABC,使NC=90°,AB^c,BC=a.

一ac-

考点4：利用尺规作图作其它图形

典例：如图，已知点D为AABC的边AB上一点

(1)请在边AC上确定一点E,使得SABCD=SABCE(要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法);

(2)根据你的作图证明SABCD=SABCE.

方法或规律点拨

本题考查了尺规作图一作平行线、三角形的面积等知识，掌握平行线间的距离相等是解答本题的关键.

巩固练习

1.如图，一块大的三角板ABC,D是AB上一点，现要求过点D割出一块小的三角板ADE,使DE

〃BC,请用尺规作出DE和/A的平分线.(不写作法，留下作图痕迹，要有结论)

2.在数学课上，老师提出如下问题：

已知：Za,直线/和/上两点4,B.

求作：R2ABC,使点C在直线/的上方，且NABC=90。，ZBAC^Za.

小刚的做法如下：

①以Na的顶点。为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M,N;以A为圆心，同样长为半径作弧，交直线

I于点P；

②以P为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点。，作射线AQ；

③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线/于E,F；

④分别以E,尸为圆心，大于」EF长为半径作弧，两弧在直线/上方交于点G,作射线BG;

2

⑤射线AQ与射线BG交于点C.RMABC即为所求.

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明：

连接PQ

在AOMN和"QP中，

•：ON=AP,PQ=NM,OM=AQ

:AOMN^/^AQP（）（填写推理依据）

：.ZRAQ=ZO=a

VCE=CF,BE=BF

：.CB±EF（）（填写推理依据）

3.如图，利用尺规在AABC的边AC上方作NC4Z）=NACB,并说明：AO〃CB.（尺规作图要求保留

作图痕迹，不写作法）

A