第07讲 空间向量的应用（七大题型）-2023年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）（解析版）

第07讲空间向量的应用

【题型归纳目录】

题型一：求平面的法向量

题型二：利用向量研究平行问题

题型三：利用向量研究垂直问题

题型四：异面直线所成的角

题型五：线面角

题型六：二面角

题型七：距离问题

【知识点梳理】

知识点一：直线的方向向量和平面的法向量

1、直线的方向向量：

点A是直线/上的一个点，。是直线/的方向向量，在直线/上取=取定空间中的任意一点。,

则点P在直线/上的充要条件是存在实数t,使OP=OA+ta^OP=OA+tAB,这就是空间直线的向量表达

式.

知识点诠释：

(1)在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方

向向量.

(2)在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的

坐标运算.

2、平面的法向量定义：

直线La,取直线/的方向向量a,我们称向量“为平面a的法向量.给定一个点A和一个向量“，那

么过点A,且以向量。为法向量的平面完全确定，可以表示为集合

知识点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两

条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量.

3、平面的法向量确定通常有两种方法：

(1)几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量；

(2)几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：

(/')设出平面的法向量为〃=(x,y,z)；

(n)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(4,4，c1),b=(a2,b2,c2)；

n-a=Q

(应)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程；

nb=O

(/v)解方程组，取其中的一个解，即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个，故可在代入方程组

的解中取一个最简单的作为平面的法向量.

知识点二：用向量方法判定空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指：线线平行、线面平行、面面平行.

(1)线线平行

设直线4,4的方向向量分别是",6,则要证明4〃4，只需证明即a=如(&eR).

(2)线面平行

线面平行的判定方法一般有三种：

①设直线/的方向向量是a,平面a的向量是“，则要证明〃/a,只需证明a_L”,即"•"=()*

②根据线面平行的判定定理：要证明一条直线和一个平面平行，可以在平面内找一个向量与己知直线的

方向向量是共线向量.

③根据共面向量定理可知，要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面

内两个不共线向量线性表示即可.

(3)面面平行

①由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可.

②若能求出平面a,尸的法向量则要证明々//耳，只需证明〃//v.

知识点三、用向量方法判定空间的垂直关系

空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直.

(1)线线垂直

设直线4,4的方向向量分别为，则要证明4,4，只需证明。，匕，即。m=o.

(2)线面垂直

①设直线/的方向向量是“，平面a的向量是则要证明/，£，只需证明a//”.

②根据线面垂直的判定定理转化为直线与平面内的两条相交直线垂直.

(3)面面垂直

①根据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直.

②证明两个平面的法向量互相垂直.

知识点四、用向量方法求空间角

(1)求异面直线所成的角

已知。，人为两异面直线，A,C与B,Z)分别是a,b上的任意两点，m人所成的角为

则…器周

知识点诠释：两异面直线所成的角的范围为(0°,90°].两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向

量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的

角.

(2)求直线和平面所成的角

设直线/的方向向量为a,平面a的法向量为“，直线与平面所成的角为。，n与〃的角为0，

则有sin。=|cos(p|="".

I&H”I

(3)求二面角

如图，若PALa于于3,平面交/于E,则Z4E3为二面角a夕的平面角,

ZAEB+ZAPS=180\

若%,“分别为面a,4的法向量，cos(〃1,"J凡・由

则二面角的平面角%)或乃-(%,丐)，

即二面角。等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角.

①当法向量％与丐的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角，的大小等于勺,％的夹角(仆,％)

的大小.

②当法向量马,％的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角e的大小等于4,%的夹角的补角

乃-(4,%)的大小.

知识点五、用向量方法求空间距离

1、求点面距的一般步骤：

①求出该平面的一个法向量；

②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；

③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离.

\AB-n\

即：点A到平面a的距离d=J----------L其中Bea,〃是平面a的法向量.

\n\

2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解.

\AB-n\

直线a与平面a之间的距离：1=^----------L其中Awa,Bea,“是平面a的法向量.

1«1

\AB-n\

两平行平面a,"之间的距离：1=^---------L其中”是平面a的法向量.

1«1

3、点线距

设直线/的单位方向向量为"，Ae/-P史I，设AP=a，则点P到直线/的距离d=-•

【典例例题】

题型一：求平面的法向量

例1.(2023.广东广州.高二广州市培正中学校考期中)如图，在棱长为3的正方体A8CO-A8CA中，点

M在棱GC上，且CM=2MG.以。为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴、V轴、z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系.求平面MR8的一个法向量.

【解析】因为正方体ABCD-AMGR的棱长为3,CM=2MG，

所以M（0,3,2）,8（3,3,0）,£）,（0,0,3）,则M3=（3,0,-2）,MD,=（0,-3,1）,

设"=(x,y,z)是平面MRB的法向量，则”_LMB，nVMD},

n-MB=3x-2z=0

所以，

n-MD】=-3y+z=0

取z=3,则x=2,y=l,故”=(2,1,3),

于是“=(2,1,3)是平面的一个法向量(答案不唯一).

例2.(2023・高二课时练习)在棱长为2的正方体A8CC-A4CQ|中，E,F分别为棱AR，AA的中点,

在如图所示的空间直角坐标系中，求：

(1)平面BDD画的一个法向量;

(2)平面BDEF的一个法向量.

【解析】⑴

由题意，可得。(0,0,0),8(2,2,0),4(2,0,0),C(0,2,0),£(1,0,2).

连接AC,因为底面为正方形，所以AC1BD.

又因为。。_L平面ABC。，ACU平面ABC£>,所以ORAC,

且8。DDt=D,则AC,平面B£>£>4，

AC=(-2,2,0)为平面BDRBI的一个法向量.(答案不唯一).

(2)£>B=(2,2,0),DE=(1,0,2).

设平面BDEF的一个法向量为〃=(x,y,z),

nDB=0[2x+2y=0,，=一匕

则，二/n•-1

n-DE^O[x+2z=0,z=--x

、/

令x=2,得y=_2,z=-l.

n=(2,-2,-1)即为平面BDEF的一个法向量.(答案不唯一).

例3.(2023•高二课时练习)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA,平面ABCD,E为

PD的中点，AB=AP=1,AD=6，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量.

【解析】如图所示，建立空间直角坐标系A—xyz,则P(0,0,I),C(1,垂),0),

所以PC=(1，百，一1)即为直线尸C的个方向向量.

设平面PCO的一个法向量为〃=(x,y,z).

因为。(0,x/3,0),所以p£)=(o,旧,—I).

n-PC=0fx+^y-z=0

则<，叫/-令y=L贝x=0,则〃=（0』,6）

n-PD=0[yl3y-z=0

所以平面PCD的一个法向量为n=(0,1,6).

题型二：利用向量研究平行问题

例4.(2023・全国•高二专题练习)如图，在长方体ABCD-AiBCDi中，AD=AAi=2,AB=6,E、F分

别为AQi、DiG的中点.分别以DA、DC、DDi所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz.

(1)求点E、F的坐标；

(2)求证：EF〃平面ACDi.

【解析】(1)由题意，AD=AA/^2,AB=6,E、E分别为A/。、DC/的中点,

...£(1,0,2),F(0,3,2),

(2),A(2,0,0),C(0,6,0),.../=(_2,6,0)，

E(l,0,2),F(0,3,2)，.♦.d=(-1,3,0)，

AAC=2EF>：.AC//EF,

•；£因平面ACDt,4Cu平面ACDi,

.♦.EF〃平面AC。/.

例5.(2023•全国•高二专题练习)如图，在四棱锥P-45CD中，底面ABCO为直角梯形，其中4)〃5c.

A方，AB,Ar>=3,A8=8C=2,尸4_L平面ABC。，且以=3,点M在棱PO上，点N为8c中点若

DM=2MP,证明：直线MN〃平面/%从

P

【解析】如图所示，以点A为坐标原点，以A8为x轴，AQ为V轴，AP为z轴建立空间直角坐标系,

则尸(0,0,3),3(2,0,0),0(0,3,0),C(2,2,0),N(2,1,0),

若则M(04,2),MN=(2,0,-2),

因为%_L平面ABC。，ADu平面A8CD,所以AO1,R4,

又因为AD1AB,PAAB=A,PAABu平面

所以ADJ_平面P4B

平面的其中一个法向量为AO=(0,3,0),

所以MN・AD=0，即A£)_LMN,

又因为MVU平面

所以MN〃平面尸A8.

例6.(2023・高二课时练习)如图，在直四棱柱ABCO-44GP中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,

AB=4,BC=CD=2,AA,=2,尸是棱A8的中点.求证：平面A4QQ〃平面FCC；.

【解析】因为AB=4,BC=CZ)=2,F是棱AB的中点,

所以BF=BC=CF,所以△3CF为正三角形.

因为AfiCO为等腰梯形，AB=4,BC=CD=2,

所以ZBAO=ZA8C=60.

取"的中点M,连接DM,

则所以3MLCD.

以。为原点，。加,。仁。A所在宜线分别为工轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),D,(0,0,2),A(6-1,0),F(x/3,l,0),C(0,2,0),C,(0,2,2),

所以叩=(002),DA=(V3,-l,0),CF=(V3,-l,0),CC,=(0,0,2),

所以DDJ/CG，DA//CF-

又。R,CC1不重合，D4,C尸不重合，

所以。2〃CG，DA//CF,

因为CG，CFU平面尸CG，。口,。4Z平面尸(:(；，

所以〃平面FCG,DA//平面“G,

又DD［DA—D,。。］，。人=平面小。］。，

所以平面A41A。〃平面尸CG

例7.（2023・高二课时练习）已知棱长为1的正方体OA8C--0A4G在空间直角坐标系中的位置如图所

示，D,E,F,G分别为棱O1A，AB|,BC,OC的中点，求证：DE//GF.

1

1

"一其一一上

J/U，

ZB

【解析】因为正方体的棱长为1,£>,E,F,G分别为棱QA，AB1,BC,OC的中点,

所以有七,0,1）,4，1），呜，1，0），（

所以OE=（；,；,0）,G尸则有由

GF，所以DE//GF.

题型三：利用向量研究垂直问题

例8.（2023•江苏宿迁•高二校考阶段练习）如图,已知正方形A8CZ）和矩形ACEF所在的平面互相垂直,

AB=6，AF=i,M是线段EF的中点.

上

D幺-------

（1）求证：AMYBD.

⑵求证：AM工平面8DF.

【解析】（1）因为四边形ACEF为矩形，则CELAC,

因为平面ABCD1平面ACEF,平面A3a>C平面ACEF=A（C,CEu平面ACEF,

所以CEJ•平面ABC。，又四边形48CD为正方形，

以点C为坐标原点，CD、CB、CE所在直线分别为x、丫、z轴,

建立空间直角坐标系c-型，

由AB=后，AF=\,得C（0,0,0）,A（友,啦,0）,8（0,血,0）,。（四,0,0）,

£（0,0,1）,网正,⑸），M与冬]

所以AM=（-坐，-坐BD=（42-42,0）,

[22,

/y历

所以AM-BQ=忘x（-J）+（-应）x（-J）+0xl=0，所以AM_L80，

22

所以4W_LB£）

（2）由（1）知，AM=1\DF=（0,\/2,1）,BD=（6,-6,,0）.

设〃=（x,y,z）是平面尸的法向量，则〃，80，n_LDF，

所以…n-BD=SV2'x—+vz2=y。=0叫x=y

z=一应y

取y=i,得x=i,z=-&，则”=（i,L-夜）.

因为-坐，-孝,1）,所以〃=_&4加，即■与AM共线.

所以AM_Z平面8£）尸.

例9.（2023・高二课时练习）在三棱柱ABC—AIBIG中，AAi,平面ABC,AB±BC,=BC=2,AAi

=1,E为BBi的中点，求证：平面人£0_1_平面AACiC.

【解析】由题意知直线A3,BC,@8两两垂直，以点8为坐标原点，

分别以BA,BC,88/所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

z,

A\C,

AC

xy

则A(2,0,0),A/(2,0,1),C(0,2,0),C/(0,2,1),£(0,0,g),

uuu-2,0,；｝

故的=(0,0,1),AC=(—2,2,0),AC]=(-2,2,1)fAE

设平面AA/CiC的法向量为勺=(x,)'，z),

n.•AA.=0z=0

则，即

〃]♦AC=0-2x+2y=0

令x=l,得y=L故/=(1,1,0).

设平面AEG的法向量为〃2=m，b,c),

—2a+2b+c=0

n•AC1=0

则,2即＜

々・4E=0-la+—c=0

2

令c=4,得a=L。=-1.故〃2=(1，—1，4).

uuu

因为•%=lxl+lx(—I)+0x4=0,

所以4_L々.所以平面AEC/L平面AA/CiC.

例10.(2023・高二课时练习)如图所示，AABC是一个正三角形，EC_L平面ABC,BD〃CE,且CE=

CA=2BD,M是EA的中点.求证：平面DEA,平面ECA.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz,不妨设CA=2,则CE=2,HD=\,

则C（0,0,0）,A（石,1,0）,8（020）,E（0,0,2）,£＞（0,2,1）,

ULI\UU114tliI

所以E4=（tG/,-2）,CE=（0,0,2）,EO=（0,2,-l）,

设平面ECA的■个法向量是4=（X],y[,Z1）,

则，〃「E4=&|+y_2Z|=0

%-CE=2Z[=0

取芭=1,则y=—^,4=0,即〃[=（1,一百,0）,

设平面DEA的一个法向量是%=（X2，y2,z2）,

小•EA=Gx,+%-2z）=0

则厂.',

n2-DE=2y2-z2=0

取9=G，则必=1心=2,即％=（百,1,2）,

因为勺・%=lxQ+（-6）xl+0x2=。，所以“_1_"，

所以平面OEA_L平面ECA.

例11.（2023•高二课时练习）如图，在三棱锥P—ABC中，AB=AC,D为BC的中点，POJ_平面ABC,

垂足O落在线段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.

P

(1)证明：AP1BC；

(2)若点M是线段AP上一点，且AM=3,试证明AM,平面BMC.

【解析】(1)由题意知AO_LBC,如图，以O为坐标原点，

以过O点且平行于BC的直线为x轴，OD,OP所在直线分别为y轴,z轴建立空间直角坐标系O—xyz.

Z八

则4(0,—3,0),5(4,2,0),C(T,2,0),P(0,0,4),

milmiumu

可得AB=(4,5,0),AQ=(0,3,4),8C=(—8,0,0),

LUUuuu

■:APBC=0x(-8)+3x0+4x0=0

，APJ.BC，即APJ_BC.

(2)由(1)PJW|AP|=V024-32+42=5,

・.,M是AP上一点，且AM=3,

uuirquiu(qi八

・・・AM=^AP=U-,—\1

uuuruuurum(]612、uuu*uuiruun(]612、

可得8〃===3A/_3C=14,_《,《J,

[A19

n-BM=-4ab+—c=0

55

设平面BMC的法向量为〃=（〃,"c）,则＜

/16,12八

nCM=4。---b+——c=0

55

令0=1,则〃=0,c=g,即〃=（0,1,g）,

uuur9r

显然故AM〃”，

平面BMC.

例12.（2023・高二课时练习）如图所示，正三棱柱ABC—AIBIG的所有棱长都为2,D为CG的中点.求

证：AB」平面AiBD.

【解析】如图所示，取8c的中点0,连接A0,因为△A8C为正三角形,

因为在正三棱柱ABC—A/8/G中，C&_L平面ABC,

AOu平面ABC,则AOLCq,

BCcCC、=C,BC,CC,c平面BCCiB,,

所以AO_L平面BCCIBI,

取&。的中点O,以O为坐标原点，

以分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则3(1,0,0),£)(-1,1,0),A(0,2,6),A(0,0,6"(1,2,0),

UUU/.ULIU1/.uuu

所以%=(-1,2,6),8。=(一2,1,0),

=1X(-1)+2X2+1⑹xg=0

AB,BD=1X(-2)+2X1+(-73)X0=0'

UUUUUU1uuuuuu

可得A4_L8A，AB|J.8O,即A8/_L84/,ABiVBD,

BAQBD=B,84,8。＜=平面48。，

所以A8/_L平面48D

例13.(2023.高二课时练习)如图，在棱长为1的正方体ABCD-ASGA中，E,F分别是。，、8。的中

点，建立适当的空间直角坐标系，证明：EFlBtC.

【解析】证明：以。为坐标原点，“IDCDA分别为x，％z轴建立空间直角坐标系，如图所示:

因为正方体棱长为1，民产分别是加入8。的中点，

所以片（1,1,1）,C（0,1,0）,E（0,0,£|,8（1,1,0）,0（0,0,0）,

所以呜，别,

所以所=（,；,—38c=（T°，T），

山EA8C=gx（T）+gx0+（_£|x（_l）=0,

所以EF_LMC,

即EF±BtC,

题型四：异面直线所成的角

例14.（2023•贵州铜仁•高二统考期末）己知正四棱柱ABCO-A4Gp中，AB=2,叫=4,点E,F分

别是AC,和8瓦的中点，M是线段。F的中点，则直线A"和CE所成角的余弦值为（）

617617

【答案】D

【解析】如图

建立空间直角坐标系,则4（2,0,0）,。（0,0,4）,C（0,2,0）,£（1,2,4）,F（2,2,2）,

则AM=(-1,1,3),C£=(l,0,4),

-1+12廊

则cosAM,CE=

|AM||C£|y/T\Xy/]l~17

所以异面直线AM和CE所成角的余弦值为叵.

17

故选：D.

例15.（2023•湖北武汉•高二校联考期中）如图，在四棱锥P-ABC。中，以_L底面ABC。，底面ABC。为

正方形，PA^BC,E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线5尸与PE所成角的余弦值为（）

AKR>/3「56n5>/3

9999

【答案】B

【解析】

如图，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AB=2,

则4（0,0,0）,8（2,0,0）,P（0,0,2）,C（2,2,0）,0（0,2,0）,

则E（l,2,0）,F（l,l,l）,

所以8尸=(-1,1,1),PE=(l,2,—2),

UIWUUIL

/洪发\BFPE-1+2-2V3

所以cos(BF,PE)=|UE||Uur|=—T=--=—―,

力以、/网网73x39，

所以，异面直线防与PE所成角的余弦值为也.

9

故选：B.

例16.(2023•上海宝山•高二上海市吴淞中学校考阶段练习)如图所示，已知正方体A8CZ)-AgGA，

E,F分别是正方形A5GA和的中心，则EF和CO所成的角是()

C.30°D.135°

【答案】B

【解析】如图建立空间直角坐标系,令正方体的棱长为2,则用1,1,2),F(l,0,l),0(0,0,0),

C（0,2,0）,

所以砂=（0,-1,一1）,DC=（0,2,0）,

\EF-DC\2_V2

设E"和C£)所成的角为a,则cosa=

|EF|.|DC|2V22'

故选：B

例17.（2023•广东深圳•高二统考期末）在三棱锥S-A6C中，S4_L平面ABC,ZABC=90°,

SA=AB=BC,则直线AB与SC夹角的余弦值是（）

L1B.也

33

,@D.如

33

【答案】C

【解析】过8作比〃4S.以8c,8z,8A分别为大、户z轴正方向建立空间直角坐标系

不妨设1s4=AB=BC=1,则8（设0,0）,C（l,0,0）,A（0,l,0）,S（0,1,1）.

所以AB=（O,T,O）,SC=（l,-l,-l）.

,.\AB-SC\0+1+0y/3

设直线.与sc夹角为O'肝®鬲网=而+（_g。2向+㈠y+（切可

故选：C.

例18.（2023•北京顺义・高二牛栏山一中校考期中）如图，在三棱柱ABC-A|B1G中，AACC是边长为4

的正方形，平面ABC上平面AAiGC,AB=3,BC=5.

（1）求证：AB±AiC；

(2)在棱AAi上是否存在一点F,使得异面直线AG与BF所成角为60。，若存在，求出AF长；若不存

在，请说明理由.

【解析】(1)证明：因为AA/C/C是边长为4的正方形，所以AC=4,又A8=3,BC=5,

所以所以ABL4C,

因为平面ABC_L平面AAICIC,平面ABCC平面AAICIC=AC,A8u平面ABC,

所以AB_L平面A4/C/C,因为A/Cu面AA/C/C,

所以A8_LA/C.

(2)如图，以A为坐标原点，AC,AB,A4分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0),Ci(4,0,4),B(0,3,0),设厂(0,0,a),

则AG=(4,0,4),BF=(0,-3,a),0<a<4,

因为异面直线AG与BF所成角为60°,

AC.BF14H1

所以|cos<AC,BF>1=---ri---=—尸I---------7=-，

XAC^BF4夜xj9+〃2

解得a=3,所以F(0,0,3),

则A尸=3,

所以在棱A4上存在一点尸，使得异面直线AG与8厂所成角为60。，此时A尸=3.

例19.(2023•河南安阳•高二校考阶段练习)如图：在三棱锥中，底面ABC,ABAC=90°,

点、D,E,N分别为棱巴4,PC,BC的中点，M是线段AO的中点，PA=AC=4,AB=2.

（I）求证：MN"平面BDE；

（2）已知点”在棱E4上，且直线N"与直线BE所成角的余弦值为立，求线段A”的长.

21

【解析】（1）证明：取A3中点尸，连接MF,Nb,

TM为AD中点，MF//BD,

"：80u平面BDE，MFO平面BDE，

：.MF〃平面BDE.

TN为3c中点，

二NF//AC,

又£>、E分别为"、PC的中点，

DE//AC,则NF//DE.

,：PEu平面BDE,NFa平面BDE,

NF〃平面BDE.

又MFNF=F,例/二凡/^^平面“尸'.

，平面MfW〃平面BDE,

；MNu平面MFN

：.MN〃平面BDE；

(3)因为出，底面ABC,ABu平面ABC,ACu平面ABC,

所以P4_LAB,PA_L4C,

因为4AC=90°,

所以以A为原点，分别以A8,AC,AP所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则

A(0,0,0),8(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),D(0,0,2),

E(0,2,2),N(l,2,0),F(l,0,0),

依题意,^AH=h(O<h<4),则"(0,0㈤,

进而可得NH=(-1,-2,/z),BE=(-2,2,2).

由己知‘制呜二端群3^2r冬

Q1

整理得10层—2M+8=0，解得人=]或人=],

例20.(2023・广东深圳.高二深圳中学校考期中)如图，在四棱锥P-A3C。中，底面ABC。，

CDA.PD,底面438为直角梯形，AD//BC,AB1BC,钻=">=P8=1,点E在棱幺上，且

(2)求直线尸〃与平面硝。所成角的正弦值.

【解析】(1)因为P8J•底面438，8u底面A8CO,所以PBLCD,

因为C£)_LP£),PB,PDu面PBD,所以CDJ•面P8£),

因为8£>u面P8D,所以C£>_L8£>,

因为底面ABCD为直角梯形，AD//BC,ABJ.BC,AB=AD=\,

j兀

所以在Rt/SABo中，8力=〃夕+，。2=0,ZABD=-,

兀BC=_2

在RtZ\CBO中，NCBD=—,兀，

4cos—

4

连接AC,EG,设4CcBO=G,则△CBGsAAPG,

wAGAD1AE

所以h=正=丁丽’

所以PC“EG,

又因为EGu平面EBO,「(？二平面£：3。，

所以PC〃平面E8D

(2)因为/>3_1_底面45。，8C,BAu底面A8C。，

所以PBJ.BC,PBJ.BA,

因为底面ABC。为直角梯形，所以8C_LBA,

所以以｛BC,BA,8P｝为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,

则尸(0,0,1),A(0,1,0),0(1,1,0),

所以3P=(0,0,1),尸4=(0,1,-1),30=(1,1,0),

所以BE=2P+PE=BP+gpA=(0,：,g),

设平面EBD的一个法向量〃=（x,y,z）,

21

〃•BE=—y+—z=0

所以33,取z=2,则〃=（1,一1,2）,

〃•BD=x+y=0

设直线PD与平面£B£）所成角大小为

因为PO=(1/,T),

所以如。=辰＜皿“卜鼎=舄=*

所以直线PO与平面所。所成角的正弦值为也.

3

例21.(2023・四川成都•高二四川省成都市新都一中校联考期中)如图，在长方体ABC。-AgG。中，

AB=2,AD=4,M=3,B©交BQ于点E.

(1)证明：直线〃平面48。；

(2)求AD与平面所成角的正弦值.

【解析】(1)证明：如图，连接MR,D,C,

长方体中，BC//AR且BC=AR,四边形BCD,4为平行四边形，

则有地〃CA，又BAu平面A/。，。。《平面力出。，

，。。〃平面48。，

同理可证BDHBQ、,与卬/平面AtBD,

又CD、BR=R,8「与。匚平面。。内，.\平面。。4//平面48£>,

又REu平面。。内，.•.直线RE〃平面ABO；

(2)以A为原点，AB,AD,9分别为x轴，y轴，z轴,建系如图:

得40,0,0),0(0,4,0),A(0,0,3),8(2,0,0)

加=(2,-4,0),图=(0,工3),A0=(0,4,0),

设平面ABD的一个法向量为＞=(x,y,z),

"-OB=2x-4y=0

11J'令x=6,得y=3,z=4,

n-DA{=-4y+3z=0

可得平面A8O的一个法向量为“=(6,3,4),

设AD与平面所成角大小为。，

„I/.„\|ADn123yjbi

则sin，=cos(AD,n]\=-------=---7==----,

I\/I|AD||»|4x76161

AD与平面\BD所成角的|E弦值为警.

例22.(2023•河南平顶山•高二统考期末)如图所示，在四棱锥P-43CD中，P4_L平面ABCD,

AD//BC,AB1BC,S.AB=AP=BC=1,AD=2.

⑴求证：CD,平面PAC；

(2)若E为PC的中点，求尸。与平面AEO所成角的正弦值.

【解析】(1)作b，A£>，垂足为F，易证，四边形A8CF为正方形.

所以CF=AF=OF=1,CD=VCF2+DF2=JL又AC=^AB2+BC2=近，

因为AC2+CL>2,所以月C_LCD

因为PAL平面ABC。，CDu平面ABC。，所以R4_LCO.

又ACcPA=A,ACu平面PAC,PAu平面PAC,所以C3J■平面PAC.

p

(2)以点A为坐标原点，以AB,ARAP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标

系，

则A(0,0,0),尸(0,0,1),C(l,l,0),0(0,2,0),叫，器

则AO=(0,2,0),PD=(0,2-1),A£=(1,p1).

设平面AED的法向量为"=(x,y,z),

111c

n-AE=0—y+—z=0

山，,得22'2

几AD=0y=0

令z=I,可得平面AED的一个法向量为“=(-1,0,1).

设PQ与平面所成角为6»，

I/n-PD\|-1|710

则sin9=cos(”,P。)=-n~L।=—.

।'A72x7510

例23.(2023•广西柳州•高二柳州地区高中校考期中)如图，在四棱锥P-A8CZ)中，底面ABCD为矩形,

BC

⑴求证：以〃平面MBD；

⑵若AB=AD=R4=2,求直线BM与平面AMD所成角的正弦值.

【解析】(1)连接AC交8。于点0,连接0M,

由四边形ABCD为矩形，

可知。为AC中点，M为PC中点，

所以0M〃PA,

又OMu平面MM,H4a平面M3。，

所以24〃平面MBD.

(2)以A为原点，4BMO.AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),5(2,0,0),A/(l,l,l),D(0,2,0),

所以5M=(T』,1),AM=(1,1,1),4)=(0,2,0),

设平面的法向量为"=(x,y,z),

n-AM=x+y+z=O

则

n•AD=y=0

令x=l,贝I」〃,

设直线BM与平面40。所成角为。，则

sin。=卜。刖琲华

所以直线BM与平面4如所成角的正弦值为逅.

3

例24.(2023•重庆沙坪坝•高二重庆南开中学校考期中)四棱锥P-ABC。中，B4_L底面45CZ),四边形

ABC。是正方形，PA=AB=2.

M

-一-_

：D'■C

A

B

(1)求证：平面PACJ_平面尸B£>；

(2)设点M为棱PC的中点，求直线BM与平面PBD所成角的正弦值.

【解析】(1〉如图建立空间直角坐标系,则4(0,0,0)、。(2,2,0)、P(0,0,2)、8(2,0,0)、£>(0,2,0),

则AC=(2,2,0)、AP=(O,O,2)、BP=(-2,0,2)、DP=(0,-2,2),

m-AC=2x+2y=0

设平面APC的法向量为加=(x,y,z),则,，所以机=(1,一1,0),

m-AP=2z=0

nBP=-2a+2c=0

设平面尸8。的法向量为"=(a,"c),贝卜,所以〃=1),

m-DP=-2b+2c=0

所以加•"=(),所以平面PAC_L平面P8D

所以所以&W=(—1,1,1),

nBM

设直线BM与平面户处所成角为0,所以sin6=%一■L

3

所以直线与平面的所成角的正弦值为最

例25.(2023•福建莆田•高二莆田华侨中学校考期中)在三棱柱ABC-中，平面4片区4,平面

7T

ABC,侧面为菱形，ZABBt=-,A,B1AC,AB=AC=2,E是AC的中点.

4

(1)求证：48，平面期(7；

itEP

(2)点P在线段AE上(异于点A，E),心与平面48E所成角为5，求7r的值.

43

【解析】(1)因为四边形AB/A为菱形，所以ABJ.AA，

又因为ABLAC,AB|,ACU平面44c,ABtAC=A,

所以48，平面4?。.

7T

(2)取A3的中点。，连接用0,四边形为菱形，且

所以BQ,AB.

因为平面AB18A_L平面A8C,平面AB|3Ac平面A3C=A8,

用。(=平面48a4,

所以用O1.平面A8C,所以80J.AC,又因为AB_L4C,BQ与4产相交,

所以ACL平面A片BA.取BC中点D,连结。。，

以。为原点，OB,0D.。片为空间基底建立直角坐标系.

则8(1,0,0),A(-l,0,0),A(-2,0,73),E(-l,l,0),

所以以=(-3,0,6)，BE=(-2,1,0).

设平面ABE的一个法向量为"=(x,y,z),

.n-BA.=-3x+\/3z=0-

所以｛，令x=i,则z=JJ,y

n-BE=-2x+y=0

所以〃=(1,2,6).

设EP=23，可得点AP=(-A,\-^A\

由题意sin2=k°s(AP,〃)卜吗=尸+2-22+34

「41'八|叫”商+(1_肛+3外)

7EP2

解得a=］或2=0(舍)，BP—=".

题型六：二面角

例26.(2023•江西萍乡•高二统考期末)如图，在直三棱柱ABC-44G中，ABC是等边三角形,

B

(1)证明：平面4。，平面4880；

(2)求锐二面角D-A.C-A的余弦值.

【解析】(1)因为直三棱柱ABC-AB©,

所以A4.1平面43C,

因为COu平面A8C,

所以A4,_LC。；

因为ABC是等边三角形,。是棱的中点,

所以COJ_A5；

因为AB,A4,u平面,且ABc441=A,

所以CDJ_平面AB4A.

因为COu平面Aco,

所以平面平面A84A

(2)分别取AC,AC的中点为。,E,连接O8,OE,

因为一ABC是等边三角形，。是AC中点，

所以OB_LOC,

因为直三棱柱ABC-AfG，

所以AAL平面ABC,

因为O8,OCu平面A5C,

所以A4」08,A4,OC,

因为0,E为AC,AG的中点，

所以OE/MA，

所以OE_LO3,OEYOC

即O8,OC,OE两两垂直，

以｛oAoUo4为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,T,2),C(0,l,0),。4，一；,0

\,

所以AC=(O,2,-2),C£>=乎，一|，0

\,

设平面\CD的法向量为〃=(x,y,z),

n•A{C=2y-2z=0

所以V33,

n-CD=—x——y=0

I