2024-2025学年新教材高考数学第三章导数及其应用2第2课时考点2函数极值和最值的综合练习含解析选修2_第1页
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PAGE6PAGE5高考真题（2024•江苏卷）设函数，为f（x）的导函数．（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和的零点均在集合中，求f（x）的微小值；（3）若，且f（x）的极大值为M，求证:M≤．【解析】（1）因为，所以．因为，所以，解得．（2）因为，所以，从而．令，得或．因为，都在集合中，且，所以．此时，．令，得或．列表如下：1+0–0+极大值微小值所以的微小值为．（3）因为，所以，．因为，所以，则有2个不同的零点，设为．由，得．列表如下：+0–0+极大值微小值所以的极大值．解法一：．因此．解法二：因为，所以．当时，．令，则．令，得．列表如下：+0–极大值所以当时，取得极大值，且是最大值，故．所以当时，，因此．【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析.（2024•全国I卷（理））已知函数，为的导数．证明：（1）在区间存在唯一极大值点；（2）有且仅有2个零点．【解析】（1）由题意知：定义域为：且令，，在上单调递减，在上单调递减在上单调递减又，，使得当时，；时，即在上单调递增；在上单调递减则为唯一的极大值点即：在区间上存在唯一的极大值点.（2）由（1）知：，①当时，由（1）可知在上单调递增在上单调递减又为在上的唯一零点②当时，在上单调递增，在上单调递减又在上单调递增，此时，不存在零点又，使得在上单调递增，在上单调递减又，在上恒成立，此时不存在零点③当时，单调递减，单调递减在上单调递减又，即，又在上单调递减在上存在唯一零点④当时，，即在上不存在零点综上所述：有且仅有个零点【答案】（1）见解析；（2）见解析（2024•北京卷（理））已知函数.（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当时，求证：；（Ⅲ）设，记在区间上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值．【解析】（Ⅰ），令得或者.当时，，此时切线方程为，即；当时，，此时切线方程为，即；综上可得所求切线方程为和.（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；而，所以，即；同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所以是中的

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