统计归类2022-2023学年高一数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019必修第二册）（解析版）

专题12统计归类

目录

【题型一】总体百分位...........................................................................1

【题型二】分层抽样.............................................................................3

【题型三】直方图的平均数.......................................................................5

【题型四】中位数...............................................................................8

【题型五】增加新数据求平均数..................................................................10

【题型六】方差直接算..........................................................................11

【题型七】数据加减后新方差....................................................................13

【题型八】调整数据求方差.......................................................................14

【题型九】方差与标准差求参数...................................................................16

【题型十】方差中的最值........................................................................18

培优第一阶一一基础过关练.......................................................................20

培优第二阶一一能力提升练.......................................................................23

培优第三阶一一培优拔尖练.......................................................................28

热点题型归纳

【题型一】总体百分位

【典例分析】

气象意义上从春季进入夏季的标志为“连续5天，每天的日均气温都不低于22℃”.已知甲，乙，丙，丁四

个地区某连续5天日均气温的数据特征如下:_________________

甲地中位数为27℃,平均数为26℃.

乙地第60百分位数为24℃,众数为22℃.

丙地最高气温为31℃,平均数为25℃,标准差为3℃.

丁地下四分位数为23℃,上四分位数为28℃,极差为7℃.

则可以肯定进入夏季的地区是（）

A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地

［答案］C

析】根据中位数，平均数，百分位数及极差的定义举出反例即可判断甲乙丁三地，根据标准差利用反

证法即可判断丙地.

【详解】对于甲地，中位数为27℃,平均数为26℃,

若5天气温的数据为21,26,27,28,28，则甲地没有进入夏季；

对于乙地，第60百分位数为24℃,众数为22℃,

5x60%=3,则第60百分位数为第三个数与第四个数的平均数，

若5天气温的数据为21,22,22,26,27，则乙地没有进入夏季；

对于丙地，最高气温为3VC,平均数为25℃,标准差为3℃,

设审州四个数据为与哮，七（与《当〈总4%）,,

则?（&_25）-+（%-25）-+伍_25）-+（玉-25）-+（31_25）卜32,

故答—251+（超-25）一+（x,-25）-+（Z—25）-=9,」

所以（西-25）249,

若王<22,则（%-25）2>9,这与（3-25）249矛盾，

所以224为4々Ax,4匕，所以丙地肯定进入夏季；

对于不地5下叱分总数为23℃，上四分位数为28℃,极差为71,

由5*1=1,5*彳=:，

得下四分色数为按次小到大排列得第2个数据，上四分位数为按从小到大排列得第4个数据,

若5天气温的数据为21,23,22,28,28,则丁地没有进入夏季.

故选：C.

【提分秘籍】

基本规律

总体百分位数

①第。百分位数的定义：一般地，一组数据的第P百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有

p0/o的数据小于或等于这个值，且至少有（100-p）%的数据大于或等于这个值.

②计算一组〃个数据的第。百分位数的步骤：第1步，按从小到大排列原始数据；第2步，计算

i=第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为则第P百分位数为第，项数据；若i是

整数，则第。百分位数为第i项与第《+1）项数据的平均数.

③四分位数：常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组

由小到大排列后的数据分成四等分，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或

下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.

【变式训练】

1.已知按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：27,30,37,^,40,50；乙组：24,〃,33,44,48,52,若这两组数

据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则%等于（）

n

【答案】A

【3言】根据百分位数的定义，求出根，〃的值即可得答案.

【详解】因为30%X6=1.8,50%X6=3,

甲组：第30百分位数为30,第50百分位数为号‘，

乙组：第30百分位数为〃，第50白.分位数为黄空=

由已知得：〃=30,当37+m77解得切=40,所以m生=4券0=4?故选：A

22〃303

2.某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天PM2.5的浓度（单位：Hg/m5）,数据

依次为53,56,69,70,72,79,65,80,45,41,加（加＞50）.已知这组数据的极差为40,则这组数据

的第加百分位数为（）

A.71B.75.5C.79D.72

［答案］C

【3•析】根据极差求得小的值，计算81%xll=8.91,根据百分位数的含义即可确定答案.

【详解】由题意得，数据的极差为40,因为数据中最小值为41,

故m应为最大值，为81,

则81%xll=8.91,

将数据53,56,69,70,72,79,65,80,45,41,81,

从小大大排列为：41,45,53,56,65,69,70,72,79,80,81,故这组数据的第m百分位数为79,

故选：C

3.日前，十九大代表、奥运冠军——魏秋月老师在升旗仪式上为耀华师生上了一堂生动的体育思政课，并为

耀华排球社的同学们带来了魏秋月名师工作室团队的专业技术指导.其间对同学们垫排球的手势技术动作进

行了特别指导.之后排球社的同学为训练动作组织了垫排球比赛，以下为排球社50位同学的垫球个数所做的

频率分布直方图，所有同学垫球数都在5-40之间.估计垫球数的样本数据的75%分位数是（）

频率

27D.28

【答案】D

【分析】根据频率分布直方图，结合分位数计算公式即可求解

【详解】垫球数在［5,10)的人数为0.01x5x50=2.5,占总数的5%；

垫球数在［10,15)的人数为O.()lx5x5()=2.5，占总数的5%；

垫球数在［15,20)的人数为0.04x5x50=10,占总数的20%：

垫球数在［20,25)的人数为().06x5x50=15,占总数的30%；

垫球数在［25,30)的人数为0.05x5x50=12.5,占总数的25%；

垫球数在［30,35)的人数为0.02x5x50=5,占总数的10%；

垫球数在［35,40］的人数为0.01x5x5()=2.5,占总数的5%,

因为75%分位数位于［25,30)内，由25+5x溶笑=28,

所以估计垫球数的样本数据的75%分位数是28.故选：D

【题型二】分层抽样

【典例分析】

为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中。型血、

A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2,现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为〃的样

本，已知样本中。型血的人数比AB型血的人数多20,则”=()

A.100B.120C.200D.240

【答案】B

42

【分析】由题知4+3+3+2n~4+3+3+2〃=20,再解方程即可得答案.

【详解】解：因为感染人群中0型血、A型血.、B型血、型血的人数比为4:3:3:2,

42

所以，抽取样本量为”的样本中，。型血的人数为-------------n,A8型血的人数为——7~~——n，

4+3+3+24+3+3+2

42

所以,-------------n〃=20,解得〃=120故选：B

4+3+3+2---4+3+3+2

【提分秘籍】

基本规律

分层随机抽样

（1）定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子

总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样

本，这样的抽样方法称为分层随机抽样一，每一个子总体称为层.在分层随机抽样中，如果每层样本

量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.

（2）适用范围：总体可以分层，且层与层之间有明显区别，而层内个体差异较小.

（3）平均数的计算：各层抽样比乘以各层平均数的和.

【变式训练】

1.某学校在校学生有2000人，为了增强学生的体质，学校举行了跑步和登山比赛，每人都参加且只参加其

中一项比赛，高一、高二、高三年级参加跑步的人数分别为a,b,c,且a:6:c=2:5:3,全校参加登山的

人数占总人数的!.为了了解学生对本次比赛的满意程度，按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的

样本进行调查，则应从高三年级参加跑步的学生中抽取（）

A.15人B.30人C.40人D.45人

【答案】D

3

【分析】由题知全校参加跑步的人数为2000X；=1500,再根据分层抽样的方法求解即可得答案.

4

【详解】解：由题意，可知全校参加跑步的人数为2000x；3=1500,

4

3

所以a+〃+c=15OO.因为a:c=2:5:3,所以1=1500><=”.=450.

2+5+3

因为按分层抽样的方法从中抽取一个容量为200的样本，

所以应从高三年级参加跑步的学生中抽取的人数为450x我=45.

故选：D

2.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因，用

分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为

图2

A.400,40B.200,10C.400,80D.200,20

［答案］A

•析】由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生

近视人数.

【详解】用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，

样本容量为：（3500+4500+2000）x4%=400,

抽取的高中生近视人数为：2000*4%x50%=40,

故选A.

3.从编号为01,02,L,49,50的50个个体中利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1

【分析】根据随机数表的取法，从第1行第5列的数开始两个两个的读数，不大于5()的保留，大于50的

去掉，重复的不选取，保留到第5个即得

【详解】解：由题意知选定的第一个数为65(第1行的第5列和第6列)，按由左到右选取两位数(大于

50的跳过，重复的不选取)，

前5个个体编号为08,12,14,07,43,故选出来的第5个个体的编号为43,

故选：D.

【题型三】直方图的平均数

【典例分析】

少年强则国强，少年智则国智.党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提

高学生身体素质.为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据

情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是()

C.样本的平均值为67.5D.该校学生中低于65kg的学生大约为1000人

【答案】B

【分析】根据众数，百分位数，平均数的定义判断A,B,C,再求低于65kg的学生的频率，由此估计总体

中体重低于65kg的学生的人数，判断D.

【详解】由频率分布直方图可得众数为67.5,A错误；

平均数为57.5x0.15+62.5x0.25+67.5x0.3+72.5x0.2+77.5x0.1=66.75,C错误；

因为体重位于[55,60),[60,65),[65,70),[70,75)的频率分别为0.15,0.25,0.3,0.2,

因为0.15+0.25+0.3+0.2>0,8,

所以第80百分位数位于区间[70,75)内，设第80百分位数为x,

贝IJ0.15+0.25+0.3+(x-70)x0.04=0.8,

所以x=72.5,即样本的第80百分位数为72.5,B正确；

样本中低于65kg的学生的频率为0.15+0.25=0.4,

所以该校学生中低于65kg的学生大约为3()0()x().4=12(X),D错误；

故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

总体取值规律的估计

①画频率分布直方图的五个步骤：求极差一、决定组距与组数、将数据分组、列频率分布表、画频率

分布直方图.

②频率分布直方图的特点：各个小长方形的面积表示相应各组的频率；各小长方形的面积的总和等于

1.

③频率分布直方中，最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数：中位数左边和右边的小长方形的面

积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以

小长方形底边中点的横坐标之和.

【变式训练】

1.某市为了解全市12000名高一学生的的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体

能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中

正确的是（）

B.同一组中的数据用该组区间的中点值做代表，则这1000名学生的平均成绩约为80.5；

C.估计样本数据的75%分位数为88；

D.由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为5（X）0人.

【答案】B

【分析】A.根据频率和为1,计算。的值；B.根据平均数公式，判断B；C.根据百分位数公式，判断C；计

算体测成绩在［80,100］内的频率，再结合总人数，即可判断D.

【详解】A.由频率分布直方图可知，10x（0.005+4+0.02+0.04+0.02）=1,

得：a=0.015,故A错误；

8.（55x0.005+65x0.015+75x0.02+85x0.04+95x0.02）x10=805,故B正确：

C.设75%百分位数x,易得xe［80,90）,

贝lJ10x0.005+10x0.015+10x0.02+（x-80）x0.04=0.75,

解得:x=88.75,故C错误；

D.则体测成绩在［80,100］的频率为10x0.04+10x0.02=0.6,

估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为12000x0.6=7200人，故D错误.

故选：B.

2.某中学全体学生参加了数学竞赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50

分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正

确的是（）

频率

A.直方图中x的值为0.035

B.在被抽取的学生中，成绩在区间［70,80）的学生数为30人

C.估计全校学生的平均成绩为83分

D.估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为95分

［答案］D

析】利用频率分布直方图的性质求解.

【详解】对于A：根据学生的成绩都在50分到100分之间的频率和为1,可得

10x（0.005+0.01+0.015+X+0.040）-1,解得户0.03,故A错误；

对于B：在被抽取的学生中，成绩在区间［70,80）的学生数为10x0.015x400=60人，

故B错误；

对于C：估计全校学生的平均成绩为55x0.05+65x0.1+75x0.15+85x0.3+95x0.4=84分；

故C错误.

对于D：全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为90+=02xl0=95分.

0.4

故D正确.

故选：D.

3.某次考试后，甲、乙两班的数学老师分别统计了各自班级的数学成绩（百分制，均位于［40,100］内），并将

所得数据分为6组：［40,50）,［50,60）,,［90,100］,整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列说法正

确的是（）

A.乙班数学成绩的平均分的估计值高于甲班数学成绩的平均分的估计值（同一组中的数据用该组区间的中

点值代替）

B.乙班数学成绩的最高分高于甲班数学成绩的最高分

C.甲班数学成绩的及格率低于乙班数学成绩的及格率（成绩不低于60分为及格）

D.甲班数学成绩不低于80分的人数多于乙班数学成绩不低于80分的人数

【答案】C

【分析】由频率分布直方图的平均数公式以及频率求法对各个选项进行分析即可得到答案.

【详解】A.甲班数学成绩的平均分为45x0.02+55x0.16+65x0.22+75x0.3+85x0.2+95x0.1=73,

乙班数学成绩的平均分为

45x0.06+55x0.1+65x0.3+75x0.22+85x0.16+95x0.16=73,错误；

B.由频率分布直方图无法得到哪个班的最高分高，错误；

C.甲班数学成绩的及格率1-0.02-0.16=0.82,乙班数学成绩的及格率1-0.06-0.1=0.84,故甲班的低，正

确；

D.甲乙两个班各班的总人数不知，故不能确定，错误；

故选：C

【题型四】中位数

【典例分析】

某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意

度评分，得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.若用户满意度评分的中位数、众数、平均数分别

O405060708090100满意度评分

A.a<h<cB.h<a<cC.a<c<bD.b<c<a

［答案］B

【5•析】根据众数，平均数,中位数的概念和公式，带入数字，求出后比较大小即可.

【详解】解:由频率分布直方图可知众数为65,即6=65.

由表可知,组距为10,

所以平均数为：45XO.15+55XO.2+65XO.25+75XO.2+85XO.1+95XO.1=67,

故c=67,记中位数为x,

ROW：10x0.015+10x0.02+(x-60)x0.025=0.5,

解得:x=66,即a=66,所以心<a<c.故选：B.

【提分秘籍】

基本规律

中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等

中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平

均数

【变式训练】

1.某市居民月均用水量的频率分布直方图如图所示:

T频率/组距

)

A.X>X>XB.X>X>X,D.X>X>X

2]2c.x>x]>x22}

【答案】A

【分析】根据频率直方图计算众数X-中位数X2,平均数天的估计值，再比较它们的大小即可.

【详解】由直方图知，众数X="广=7.2,

中位数X2在(5.2,92)上，则0.05X4+0.1X(X2-5.2)=0.5,解得汽=8.2,

平均数5=0.2x3.2+0.4x7.2+0.12x11.2+0.08x(15.2+23.2)+0.06x(19.2+27.2)=10.72.

二天>X?>X].故选：A.

2.平均数而中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.如图所示的统计图,

平均数为P，则()

B.M<N<P

C.M<P<ND.P<N<M

【答案】B

【分析】根据众数、中位数、平均数的概念，由统计图，可直接得出结果.

【详解】由统计图可得，众数为M=5；

共有2+3+10+6+3+2+2+2=30个数据，处在中间位置的两个数据为5,6,所以中位数为N=^=5.5；

2x3+3x4+10x5+6x6+3x7+2x8+2x9+2x10

平均数P二

30

所以M<N<P.故选：B.

3.2017年3月2日至16月二全国两会在北京召开，甲、乙两市近5年与会代表名额数统计如图所示，设甲、

乙的数据平均数分别为京石，中位数分别为"，"，则()

A.x,>x2,yi>y2B.x,>,yi=y2

C.玉<w，yi=yiD.x,<Xj,yi<yi

【答案】B

【分析】个别计算甲、乙咤平均数和中位数，由此得出选项.

【详解】X=17.8,y=14,1=15.4,%=14,故选B.

【点睛】本小题主要考查茎叶图的识别，考查平均数和中位数的计算，属于基础题，宜接计算求得相应的

结果，再进行比较即可.

【题型五】增加新数据求平均数

【典例分析】

一个样本的数据在60左右波动，各个数据都减去60后得到一组新数据，算得其平均数是6,则这个样本的

平均数是()

A.6.6B.6C.66D.60

［答案］C

【彳析】利用新老数据平均数的关系可求原来数据的平均数.

【详解】设原来的一组数据是当,X2，、X.，

则每一个数据都减去60得到新数据且求得新数据的平均数是6,

所以色■----—(*------------------=6,H［J―'—~~++^-60=6,

nn

所以+'”=66,故样本的平均数是66.

n

故选：C

【提分秘籍】

基本规律

(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为K，L，Mv，总体的平均数为「，则

称s?AM_为总体方差，s="一为总体标准差.

N/=|'

(2)总体方差的加权形式:如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k<N)个，不妨记为，匕,

其中工出现的频数为加=1,2,闺，则总体方差为化-弓二

【变式训练】

1.若一组数据不和工,…,x”的平均数为3,则2%,2々,2%…,2%的平均数为()

A.3B.6C.5D.2

［答案］B

【彳加】根据平均数的和差倍分性质计算即可.

【详解】根据题意可知：(为+/+电+…+4)=3.

对卜2X［,2%2,213,••，

其平均数为，（2%+2々+2工3+…+）=2X+工2+X3+…+）=6.

nn

故选B.

2.已知一组数据2%一3,2々-3,2工3-3,2匕一3,2毛—3的平均数是1,那么另一组数据不々，刍，々，天的平均数为

（）

A.4B.3C.2D.1

［答案］c

【彳而根据平均数公式计算可得；

【详解】解：因为一组数据2%-3,2%-3,2忍一3,2匕-3,2毛一3的平均数是1,所以

—（2%一3+2x、—3+2与一3+2x4—3+2毛-3）=1

2］

即W（X|+工2+X3+X4+X5）-3=1，所以w（X1+X2+X3+X4+X5）=2,即一组数据和％2，/3，44，%5的平均数为2；

故选：C

3.设一组样本数据不马，Z的平均值为2,则数据2%+9,2&+9--,2乙+9的平均值为（）

A.11B.12C.13D.14

【答案】c

【行析】利用平均数公式求解即可.

【详解】因为文史―之4=2,

n

rr..2x+94-2x?+9+4-2x+9

n

=2（占+%++x,,）+9=］3,故选：C.

n

【题型六】方差直接算

【典例分析】

样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1,则样本的标准差为（）

A.延B.-C.2D.72

55

［答案］D

【骞析】根据平均数、方差的运算公式求解.

【详解】因为样本。,0,1,2,3的平均数为1,贝1（。+0+1+2+3）=1,解得。=一1,

则样本的方差相=：［（一1一1）2+（0-1）2+（1-1）2+（2-1）2+（3-1）2］=2,

故标准差为五.

故选：D.

【提分秘籍】

基本规律

数据的方差为,对再-勾_=这%2

标准差为

几i=l'〃f=l

【变式训练】

1.中央电视台的国学知识竞赛节目《中国诗词大会》火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的

A.甲的平均分大于乙的平均分B.甲的平均分等于乙的中位数

C.甲的方差大于乙的方差D.甲的中位数大于乙的中位数

【答案】C

【分析】根据茎叶图得到甲和乙的得分,再根据平均数、中位数和方差公式计算后，比较可得答案.

【详解】由茎叶图可知，甲选手的得分为：11,12,14,24,26,32,38,45,59,

乙选手的得分为：12,20,25,27,28,30,34,43,51,

11+12+14+24+26+32+38+45+59”

所以甲的平均分为:---------------------------------=29,

9

12+20+25+27+28+30+34+43+51

乙的平均得分为:=30,

9

甲的中位数为：26,

乙的中位数为：28,

22

甲的方差为：^[(11-29)2+(12-29)2+。4_29)2+(24_29)+(26-29)+

(32-29)2+(38-29>+(45-29>+(59-29)2]=竽,

乙得方差为：,[(12—30)2+(20—30)2+(25-30)2+(27-30)2+

9

72221088

(28-30)2+(3()_30)2+(34-30)+(43-30)+(51-30)-]=,

所以甲的平均分小于乙的平均分，故A不正确：

甲的平均分大于乙的中位数，故B不正确；

中的方差大于乙的方差，故C正确；

甲的中位数小于乙的中位数，故D不正确.

故选：C

2.为了解某班学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样的方法抽取了15人进行调查，调查结果如

【分析】根据平均数和方差公式，直接计算求值.

【详解】估算全班学生每周购买零食的支出的平均数工=七*（9*40+6、35）=38,

方差S2=方［6+（40-38）［+*［4+（35-38）1=11.2.

故选：B.

3.某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据（单位：cm）如下面的茎叶图所示，则下列结

论不正确的是（）

男生女生

7816134557

35679171123

2318

219

A.女生身高的极差为12B.男生身高的均值较大

C.女生身高的中位数为166D.男生身高的方差较小

【答案】D

【分析】对选项A,极差就是样本中的最大值减去最小值；对选项B,可直接计算出均值；对选项C,中位

数就是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数；方差用来计算每一个变量（观察值）与总体均数之间

的差异，根据茎叶图可以明显看出男生身高的方差较大.

【详解】对选项A,女生身高的极差为173-161=12,故选项A正确；

对选项B,男生身高的均值为：

167+168+173+175+176+177+179+182+183+192

10

161+163+164+165+165+167+171+171+172+173

女生身高的均值为:=167.2,故选项B正确;

10

对选项C,女生身高的中位数为一--=166,故选项C正确；

对选项D,根据茎叶图可以明显看出男生的身高更离散，而女生的身高更加集中，故男生身高的方差较大,

故选项D错误；

故选：D

【题型七】数据加减后新方差

【典例分析】

已知一组数据巧，巧，…，X,,C是非零常数，则对于数据x2-c,x“-c,以下说法中正确的

是（）

A.平均数与方差都不变B.平均数变了，方差不变

C.平均数不变，方差变了D.平均数与方差都变了

【答案】B

【分析】根据平均数与方差的定义直接计算，逐项检验即可得到答案.

【详解】设玉,％,•，匕的平均数为"即+X”，

n

则其方差为：S?=：［伍7）一+127）-+

所以±-c,X2-c,，居-c的平均数为：（亡）+（亡.）++（七二）=二c,

n

玉-c，w-c,的方差为：

所以平均数变了，方差不变.

故选：B.

【变式训练】

1.若公，巧，…，再。的方差为2,则3%+1,3X2+1,3%+1的方差是（）

A.18B.7C.6D.2

【答案】A

【分析】设当，々，…，再。的平均数为元，写出方差的表示式，同样地表示出所求的方差，利用两式的整

体关系求解.

【详解】解：设々，々，…，布的平均数为"方差5；=扣占-君2+（工「君2+.+（/_君2]=2

又易知3%+1,3电+1,…，3/+1的平均数为3M+1.

且（3%+1）_（35+1）=3（々一亍），

2222

所以其方差用=\[9（%,-x）+9（x2-%）+...+9（xl0-x）]=9S,=18.

故选：A.

2.设数据X],巧，工3，……,x”的平均数为加，方差为5,数据2百+4,2%,+4,2x3+4,……,2x“+4的

平均数为8,方差为〃，则加、〃的值分别是（）

A.4,14B.4,20C.2,36D.2,20

【答案】D

【分析】根据平均数和方差的性质直接求解即可.

【详解】因为数据为，々，%......乙的平均数为加，数据2%+4,2X2+4,2与+4...............24+4的

平均数为8,

2/77+4=8,解得加=2,

数据X],々，*3............X,的方差为5,数据2占+4,2X2+4,2X3+4................2x“+4的方差为〃，

/.rt=22x5=20

故选：D

3.若数据，/的平均数为2,方差为3,则下列说法不正确的是（）

1（）

A.数据3X1+2,3X2+2,...,3%0+2的平均数为20B.，.=20

i=\

10

C.数据3%,3X2,3%的标准差为mD.Z¥=70

；=I

【答案】A

【3析】根据题意，根据数据的平均数和方差的性质依次分析各选项，即得答案.

【详解】对于A,若数据%,*2，,%的平均数为2,则数据网+2,3々+2,L,3%+2的平均数为3x2+2=8,

A错误；

10

对于B,数据看,与,的平均数为2,则ZX，=1°X2=20,B正确：

对于C,数据33，3々，L,3占。的方差为3?x3=27,故标准差为a=36，C正确；

对于D,由于S~=一[（七—工）2+（尤2—x）2++（%—x）~]=—（X；+X；++）—X,

nn

数据冷多,的平均数为2,方差为3,则有看（x；+x：++4）-7=3,

10

变形可得»：=70,D正确.故选：A

1=1

【题型八】调整数据求方差

【典例分析】

对全班45名同学的数学成绩进行统计，得到平均数为80,方差为25,现发现数据收集时有两个步误，其

中一个95分记录成了75分，另一个60分记录成了80分.纠正数据后重新计算，得到平均数为嚏，方差为

则()

A.工=80,?<25B.工=80,？=25

C.工=80,S2>25D.》<80,S2>25

［答案］c

【2■析】根据数据纠正前后的数据总和不变，波动性变大，结合平均数、方差的意义分析，可得结果.

【详解】因为95+60=75+80,所以纠正数据前后的数据总和不变，故平均数不变；

但是，在对错误的数据进行纠正后，显然数据的波动性变大，故方差变大.

故选：C.

【变式训练】

1.为庆祝中国共产党成立100周年，深入推进党史学习教育，某中学党支部组织学校初、高中两个学部的党

员参加了全省教育系统的党史知识竞赛活动，其中初中部20名党员竞赛成绩的平均分为“，方差为2；高

14

中部50名党员竞赛成绩的平均分为b,方差为父.若a=b,则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为()

336r21-12-18

A.---B.—C.—D.—

351057

【答案】D

【分析】设初中部20名党员、高中部50名党员竞赛成绩分别为小孙，巳，*%，••，%()，得

22

-++(4-4)2=40,(^-&)+(y2-/?)+二140,然后利用方差的计算公式

可得答案.

【详解】设初中部20名党员竞赛成绩分别为％,%，r/o，

高中部50名党员竞赛成绩的平均分x,必，，为)，根据题意得

贝Ij(X］-+(/-a)2++(%)-4)_2,

(K一4+(3叫2++(必0-_14

50—二，

所以++(赴0—。)~=40,

(为一人了J++()~一〃J=140,由于〃=〃，

所以该学校全体参赛党员竞赛成绩的平均分为。，

则该学校全体参赛党员竞赛成绩的方差为

(%-〃)+仇-〃)++(&)-a)+(x社+(必一〃)2++(Ko-a)

70

18018

--70-T'

故选：D.

2.已知某7个数的平均数为4,方差为2,现加入一个新数据4,此时这8个数的平均数为最，方差为S2,

则()

A.x>4»s2=2B.%=4，s2=2

C.x>4，s2<2D.%=4»s2<2

【答案】D

【分析】利用平均数和方差公式计算即得解.

【详解】解：设7个数为王,工2，工3，工4，工5，工6，工7,

(%-4J+(工2_4)~++(入5_4)2+(/_4)2+(工7_4)2

一乙、

7

所以％/+入3+/+工5+4+七=28,

?222

所以(石-4)+(々-4)'++(X5-4)+(X6-4)4-(x7-4)=14,

-11

则这8个数的平均数为x=+X!+A3+X4+X5+X6+X7+4)=-X(28+4)=4,

oo

222222

方差为$2=1X^(X1-4)+(X2-4)+(X3-4)+-.-+(X6-4)+(X7-4)+(4-4)J=1x(14+0)=(<2.

故选：D.

3.已知一个容量为"(〃N10)的样本数据的平均值为90,方差为10,若去掉其中5个为90的样本数据，剩余

样本数据的平均值为嚏，方差为$2,则下列结论正确的是()

A.1=9()，52>10B.1=9()，?=10

C.x>901.V2=10D.x=901.v2<10

【答案】A

【分析】根据题意，其平均值不变，X(X,.-90)2=X(-V,-90)2,再根据方差公式即可得答案.

»=11=1

【详解】由题意可知，〃(“N10)个样本数据之和为9()〃，

去掉5个相同的样本数据90后，(〃-5)个样本数据之和为90(〃-5),

所以口90("-5)=90,排除选项c；

n-5

因为样本数据中有5个相同的数据90,且5(90-90『=0,

不妨设去掉的5个相同的样本数据90都排在最后，

则£(占「90)2=-90)-,

r=l1=]

1_1n_0

所以一Z(七-90)2<_Z&-90)2,即$2>]0故选:A

〃i=\〃-3/=i

【题型九】方差与标准差求参数

【典例分析】

某校举行校园歌手大赛，5名参赛选手的得分分别是9,8.7,9.3,x,y.已知这5名参赛选手的得分的平均

数为9,方差为0.1,则B-乂=()

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

【答案】D

【分析】先由平均数和方差分别得到x+y和/+产的值，再整体代入计算|x-乂的值即可.

【详解】因为平均数为9+8.7+：3+X+)，=9,

所以x+y=18.

因为方差为(9一9)2+(8・7-9)2+(9.3-9)2+(>9)2+—9)2=0J

5

所以(工一9)2+(丁一9)2=工2+y一18X一18)，+162=0.32,

所以V+y2=162.32,

又因为(x+y)2=x2+y2+2xy=324,

所以2孙=161.68,

所以(x-y)2=炉+,2-