高三数学寒假作业五(含答案)

高三数学寒假作业五

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程）

1.已知集合A=<<1>,集合8={x|lgx>0},则AUB=.

2.若复数z满足z（l+2i）=-3+4i（i是虚数单位），则复数z的实部是.

3.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是.

4.现把某类病毒记作X,X,其中正整数〃2,〃（”W6,〃W8）可以任意选取，则加，〃都取到奇数的概率为

2，

5.若双曲线比>0）与直线y=6x无交点，则离心率e的取值范围是

6.等比数列{q}中，4=1,前〃项和为s“，满足泉一3s5+2S4=0,则55=.

7.已知sine+cosa=（,0<a<%,贝!Isii?a+sin2a=.

8.已知aeR,实数x,>满足方程V—21nx+y=0,则（a—x）?+（a—2-封?的最小值为.

9.己知函数y=a“+/3一%x2（a.H0,〃eN*）的图像在％=1处的切线斜率为a“+3,且当〃=1时其图像过

点（2,16）,贝！］a.,=.

22

10.在平面直角坐标系中，点M（后,%）是椭圆C：三+二=1在第一象限上的一点，从原点。向圆

63

M：（X—/）2+（丁一%）2=2作两条切线4，12,若/山2,则圆M的方程是.

11.定义：如果函数y=/（x）在区间以上存在/（a（毛<，），满足y（Xo）=:（"/（"）,则称与是

b-a

函数y="X）在区间［a,0上的一个均值点，已知函数〃x）=4'-2川一m在区间［0,1］上存在均值点，

则实数切的取值范围是.

12

12.已知0<Z?<l,且4勿?一4。一46+3=0,则一+7的最小值是.

ab

13.已知AABC中，AB=3,AC=1,且卜通+3（1-;1）祝|（/1e火）的最小值为孚，若P为边AB上

任意一点，则PB-PC的最小值是.

14.已知函数了（同=一/+加+4x+l在（0,2]上是增函数，函数g（x）=|lnx-〃|-21nx,若

3

Vx,,x2e[e,e]（e为自然对数的底数）时，不等式心（％）-8（/）归5恒成立，则实数0的取值范围是

二、解答题（本大题共6小题，共计90分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

15.已知函数/（x）=1+V3cos2x-sin2（--x）,

4

（1）求f（x）的最小正周期和单调递减区间.

（2）若方程/&）-机=0在区间[色，汨上有两个不同实数解，求实数m的取值范围.

4

16.在公差不为零的等差数列｛风｝中，4=1,«2,%,生成等比数列.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

⑵设6“=%•2%,Sn=bt+b24---也，求S”.

17.某沿海特区为了缓解建设用地不足矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图，两海岸线Q4,0B

所成角为奇，现欲在海岸线04,上分别取点P,。修建海堤，以便围成三角形陆地OPQ,已知海

堤PQ长为6千米.

(1)如何选择P,Q的位置，使得'OPQ的面积最大;

(2)若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤PQ另一侧选取点M，修建海堤MP，围成四边形

陆地.当海堤与MQ的长度之和为10千米时，求四边形MPOQ面积的最大值.

22

18.已知直线/为椭圆土+匕=1的右准线，直线/与x轴的交点记为P,过右焦点厂的直线与椭圆交于A，

43

8两点.

（1）设点M在直线上，且满足若直线OM与线段AB交于点O,求证：点。为线段AB的

中占.

（2）设。点的坐标为直线BQ与直线/交于点E，试问丽.而是否为定值，若是，求出这个定

值，若不是，请说明理由...

19.已知数列｛%｝的前〃项和S,满足2S„=3（«„-l）（neN*）.

（1）求数列｛为｝通项公式；

（2）记2_］）,7；是数列｛%｝的前〃项和’若对任意的"wN*，不等式一亮都

成立，求实数上的取值范围；

（3）记%=一45，是否存在互不相等的正整数m,s,乙使s,f成等差数列，且cs-l,

q-l成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m,s,r；如果不存在，请说明理由.

20.已知函数〃x)=x3+版一3|-2,a>0

(1)当a=2时，求函数y=/(x)的单调递增区间；

(2)若函数y=/(x)只有一个零点，求实数。的取值范围；

(3)当0<a<l时，试问：过点P(2,0)存在几条直线与曲线y=/(x)相切？

高三数学寒假作业五参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.已知集合A=<<1>,集合3={x|lgx>0},则AU8=.

【答案】(0,+8)

【解析】

【分析】

分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B,找出A与B的并集即可.

【详解】由力中的不等式变形得：f->l<(^\,得到Q0，

A/4={A|A>0},

由8中的不等式变形得：lgx>lgL得到%>L即历3%>1}，

_i__1_—L-<1-1-i>

-5-4-2-2-1012245

则AU8=((),+8),

故答案为：((),+a)

【点睛】本题考查了求对数式、指数式不等式的解集和并集的运算，属于基础题。

2.若复数z满足z(l+2i)=-3+4i(i是虚数单位)，则复数z的实部是一.

【答案】I

【解析】

【分析】

通过复数方程，两边同乘1-2/；然后求出复数z即可.

【详解】因为复数z满足Q+2/)介-3+4/；所以(1-2/)(1+2/)=(-3+4/)(1-2/),

即5z=5+10/；

所以51+2/；实部为1.

故答案为：1.

【点睛】本题考查了复数的乘除运算，注意题目求的是复数Z的实部，不能写成复数Z的结果。本题属于基

础题。

3.如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是.

【答案】27

【解析】

【分析】

根据s=0,n=l,s=(O+l)xl=l,n=l+l=2,不满足条件n>3,执行循环体；依止匕类推，当n=4,满足

条件n>3,退出循环体，得到输出结果即可.

【详解】s=0,/7=l,s=(0+l)xl=l，"=1+1=2,不满足条件〃>3,执行循环体；

s=(l+2)x2=6,77=1+2=3,不满足条件〃>3,执行循环体;

s=(6+3)x3=27,/7=1+3=4,满足条件〃>3,退出循环体,

则输出结果为：27

故答案为：27。

【点睛】本题考查了循环结构的应用，循环次数少的时候可以将每一次的赋值情况列出，不容易出错。本

题属于中等题。

4.现把某类病毒记作,其中正整数〃?,〃(wW6,〃W8)可以任意选取，则加，〃都取到奇数的概率为

1

4

【解析】

【分析】

求出m取小于等于6的正整数，〃取小于等于8的正整数，m取到奇数，〃取到奇数的方法种数，直接由

古典概型的概率计算公式求解.

【详解】）取小于等于6的正整数，〃取小于等于8的正整数，共有6x8=48种取法。

m取到奇数的有1,3,5共3种情况；〃取到奇数的有1,3,5,7共4种情况，

则777,〃都取到奇数的方法种数为3x4=12种。

121

所以Z77,"都取到奇数的概率为一=—.

484

故答案为：一.

4

人何含的基本事件的个数〃7

【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式尸（A）=二::七工，属于基础题。

'"基本事件的总数〃

2)

5.若双曲线三=l(a>0,。>0）与直线尸百X无交点，则离心率e的取值范围是.

/b2

【答案】（1,2]

【解析】

因为双曲线的渐近线为〉=±2为要使直线〉与双曲线无交点，则直线应在两渐近线之间,

a

22222

所以有一二G,即云百所以代3/，c—a<3a,即c*/,e<4,所以I<”2.

a

6.等比数列｛a“｝中，q=l,前〃项和为S“，满足$6-355+2S4=0,则$5=.

【答案】31

【解析】

【分析】

将56-355+254=0化成（56-1）一2（&-54）=4-应=0,解得4=2,再根据等比数列前“项

和公式，即可求出S5。

【详解】设等比数列｛q｝的公比为心

由S6-3S5+2S4=0,可得(56-55)-2(55-54)=。6-2%=0=>"=4=2。

a5

…q(l-01x0-25)

•・1=---------------=-----------------=31，

1-<71-2

故答案为：31.

【点睛】本题考查了数列中S“与凡之间的关系，即q=邑-S,i(〃22),属于中等题。

7.已知|sina+cosa=1,0<。<4，则sir?a+sin2a=.

Q

【答案】3

【解析】

【分析】

根据sina+cosa=(联立sin2a+cos2c=l,

即可求出sina和cosa的值，再将sin?e+sin2a化成

sin2a+2sinacosa代入即可。

【详解】•/sina+cosa~~^>

1.

cosa=——sma

5

又,:sin2a+cos2a=sin2«+|--sina|=1

(5)

c.22.1,.4T3

/.2sina——Sinard--'=lnsina=—或-—

52555

\-0<a<7r,

413

sina=-，cosa=——sma=——

555

2c4/3、8

即sin2a+sin2a=sin2a+2sinacosa=\—+2x——x—=---

5l25

Q

故答案为：一~^°

25

【点睛】本题考查了同角的三角函数之间的关系,给sina和cose间的任一关系式，再联立

sin2a+cos2a=1就可求出sina和cosa的值,但要注意根据角的范围来判断sina和cosa的值可能是

解中的一组或两组。本题属于中等题。

8.已知aeR,实数x,y满足方程/—21nx+y=0,则（a-x7+（a—2—y）2的最小值为.

【答案】0

【解析】

【分析】

（a-力+（4-2-»是（a,a-2）和（x,y）两点间的距离的平方，求（a-才+（a-2-»的最小值即为

求两点所在轨迹上的点之间的距离的最小值的平方。可以看出两点所在轨迹方程都满足点。,-1）,即两点

间距离最小值为0,（a-xp+S—2-丁）2的最小值为（）2=0。

【详解】设A（a,a—2）,3（x,y）,则（a—村+（q—2—），）2

•.•4（。,4一2）在直线），=彳-2上，8（%,、）在曲线^=一％2+21!1光，

.•.求|A同的最小值，即为求曲线y=-f+21nx上的点到直线y=x—2上的点的距离的最小值。

又丁=一》2+2也%与丁=%—2都过点。,一1）

曲线y=-/+2Inx上的点到直线y=尤-2上的点的距离的最小值为0。

即（a—x）-+（a—2—y）的最小值为（）2=（）。

故答案为0。

【点睛】本题考查了两点间距离公式的变形，和直线到曲线距离的最值问题，遇到两式平方和可以看是否

能凑成（%-+（y-%）？，通过两点间距离公式转换成表达式的几何意义来求最值。本题属于难题。

9.已知函数y二卬用％3—H0,〃eN*）的图像在x=l处的切线斜率为a.+3,且当〃=1时其图像过

点（2,16）,则%=-

【答案】8

【解析】

【分析】

将x=l处的导函数值求出，与q+3相等，化简可得”,用=4+1,再将”=1和点（2,16）代入可求得多的

值，再根据等差数列通项公式即可求出的的值。

322

(详解］由y=«„+lx-anx(a,产0,“eN*)得，y'=3a„+lx-2a„x,

V图像在x=1处的切线斜率为an+3

，当x=l时，y'=3an+]-2a„^an+3,化简得。用=4+1,即数列｛4｝是公差为1的等差数列。

又；当〃=1时其图像过点（2,16）,

16=4x23-tZ]x22=>2a2-q=4=>q=2,即%=q+6x1=8。

故答案为：8.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和导函数的几何意义，函数在某点的导数值即为图像在此处的切

线斜率，当求出。,用与%的差为定值时，即可得出其为等差数列，等差数列需知道q和d两个参数，依次

求出即可。本题属于中等题。

22

10.在平面直角坐标系xOy中，点M（Xo，%）是椭圆C：上+上.=1在第一象限上的一点，从原点。向圆

63

加：（%一%）2+（y-%）2=2作两条切线4，/2,若匕上4,则圆A/的方程是.

【答案】（x_0『+（y_0）2=2

【解析】

【分析】

22

画图分析可得四边形A。而为正方形，即有OM=2,再根据点是椭圆C：土+二=1在第

63

一象限上的一点，可求出圆心M的坐标。

【详解】设从原点。向圆M：（工一与丫+❶一为?二？作两条切线4,4的切点分别为A、B,画出大致

图像如下图:

••Ti、，2都和圆M相切，

ZOAM=ZOBM^90°

又/1JL4,

•••ZAOB=90°,ZA/WB=360°-ZOAM-Z.OBM-ZAOB=90°

即四边形AOBM为正方形，

由圆M：（%-%）2+（丁一%）2=2可知圆的半径为血，

:.OM=y/2MA=42x42=2>即收+%?=2

又•.•点时（事,%）是椭圆C：二+乙=1在第一象限上的一点，

63

22

二号+*=1，/>。，%>0

63

解得/°=，，则圆M的方程是（无一=2。

y0=y/2

故答案为：（X—挺=2

【点睛】本题考查了直线与圆相切的几何关系，即圆心与切点的连线垂直于切线，圆锥曲线的填空选择多

画图找几何关系，有时会比直接计算要快。本题属于中等题。

11.定义：如果函数)=/(x)在区间［。,可上存在而(。＜$＜。)，满足/(X。)="")一"")，则称X。是

b-a

函数y=/(x)在区间［a，句上的一个均值点，已知函数〃x)=4'—一机在区间［0,1］上存在均值点，

则实数m的取值范围是_____.

【答案】(-2,-1)

【解析】

【分析】

函数f(x)^4x-2x+'-m在区间［0,1］上存在均值点，关于x的方程

/(x)=4、一■■刀=/⑴一,(°)=1在(0,1)内有实数根。求出函数/(x)的值域，包含元素1即可。

【详解】函数"X)=4'--2'—机在区间［0,1］上存在均值点，

关于x的方程=4*-2x+'-m="';⑼=1在((J1)内有实数根.

由〃x)=4'—2.1—，〃=(2*y_2x2'——1—加，2'I(1,2),

可得(2*-I)?=(2*—1-肛一加).

要使方程/(x)=1在(0,1)内有实数根，则1e(―1—%一m),

即一1一加v1v—)篦=＞—2v相v—1。

—

故答案为：(2,—1)o

【点睛】本题考查了指数函数和二次函数复合函数的值域问题，将指数函数看成一个整体，通过换元法求

得二次函数的值域即可。本题属于中等题。

12

12.已知0＜匕＜1,且4次;一4。一4/?+3=0,则一+丁的最小值是______.

ab

【答案】4+—

3

【解析】

【分析】

将4小4a_劭+3=0化成（1_。）（1叫=（,设1一a=x,j=y,则孙="],再将：+京用

丁表示得"真+★’通过基本不等式“1”的巧用‘凑出…尸）—与击+匕

相乘，再用基本不等式可得最小值。

【详解】•.•4。/?—4a—4人+3=0

；.(1-=；

设l-a=x,l-b=y,则孙=!，x=],

44y

,；()<a<1,0<b<\,

.,.0<x<l,0<y<l

u二1+2=上+3=1+，+2

..ab\-x\-y]_~T1-y4y-l1-y4y-l1-y

4)

1218、18(4y-l)+(4-4^)

V,•-----1---------1------xl=-----1------X

4y-l1-y4y—14-14y-14-4y3

{|（看十&][（分-1）+（4-4刈I+8+4-4，+8(4Z-1)

4y-14-4y

当皆^陪‘时''=膂«。』）,、=卡=彳（。/），在题目要求范围内,

12।12,.40,4及

即一+―=1+——+一>1+3+^—=4+^^

ab4y-l1-y\373

故答案为：4+迪

3

【点睛】本题考查了换元法和基本不等式的应用，遇到已知两未知数关系，求包含两未知数的表达式的最

值时，除了消元通过函数法解，最常见的方法是构造基本不等式。本题属于难题。

13.已知AABC中，AB=3,AC=\,且,丽+3(1-;1)而|(/1wR)的最小值为半，若P为边AB上

任意一点，则丽.正的最小值是.

【答案】一2言5

【解析】

【分析】

设而=3前，AG=/lAe+3(l-2)AC=2AB+(l-A)AP,可得G、B、。三点共线，则

卜丽+3(l-/l)Xg(；leR)的最小值即|印目的最小值为孚表示A到BO边上的高为手，根据几何

关系求出|配『=7。再根据极化恒等式将方.正化成［丽豆心(，通过几何关系求

出|丽］的最小值即可。

【详解】v|/LAB+3(l-2)AC|=|2AB+(l-/l)x3AC|

二设亚=3/，AG=^AB+3(l-/l)AC=AAB+(l->l)AD

又•.•4+(1-4)=1,

：.G.B、。三点共线，以通+3(1-/1)才@(；1€/?)的最小值即|%@的最小值为¥.

由图可得，当而_)_丽时，|AG|有最小值弓I,

又,.•A8=3,AC=1,AD=3AC=3,

sinW…n"B=^=回即4如加吟,43f

32

由余弦定理，|瑟『=|而=7。

设"8C中点，由极化恒等式,

丽.正=（而—g而）.阿+厚卜网_/珂=网21,

.•.当|PA4取最小值时，pQ.p©有最小值

♦.•P为边AB上任意一点，

，当PA/LAQ时，|尸加|有最小值。

设PA/_L45,过点。作CE_LAB于点E，则|CE|=|AqsinNBAC=1

又•:PM//EC,PM为ABCE的中位线，

••.|PM|=g侬邛。

故答案为：-二7

16

【点睛】本题考查了平面向量三点共线定理和极化恒等式的运用，遇到两个带系数的向量相加时，可以看

看是否能将其中一个向量转换成另一向量从而将系数凑成定值，再运用平面向量三点共线定理。本题属于

难题。

14.已知函数/。）=一寸+办2+4x+l在（0,2]上是增函数，函数g（x）=|lnx-〃|一21nx,若

3

Vx,,x2G[e,e]«为自然对数的底数）时，不等式作（与）—8（/）归5恒成立，则实数0的取值范围是

【答案】2,|

【解析】

【分析】

对/(%)求导令/'(九)=—3/+2以+420解得“？2,要使不等式|g(xj-g(x2)归5恒成立，只要使

g(x),皿一g(x),NnW5即可，再根据|lnx-a|的范围无法直接得出，对。分情况讨论，分别求出名⑴出，

g(x"n。

【详解】函数在(0,2］上是增函数，

［,(0)=420

，r(x)=—3V+2"+4N0在(0,2］上恒成立，即［/稀:一%+而+420=/2

要使不等式|g(xj-g(/)|<5恒成立，只要使即可

当时，Inx—ac［l-4,3-a］,

-31nx+aeal

①当24a<3时，g(x)=<；，，

-Inx-a无

可以看出，g(x)在［eZ］上单调递减，

g^Lx=g(e)=a-3,g(xL=gd)=_q_3

g(x)-g(x)=2a<5^>a<-

0\/max°\/min2f

即2<aK*。

2

②当a23时，g(x)=-31nx+a,g(x)在［e,e1上单调递减，

・•・g(x)3=g(e)=a—3,g(x)mm=g(e3)=a-9

x

g(力皿一g()min=6>5，即无法成立。

综上所述，实数。的取值范围是2,|。

故答案为：2,1。

【点睛】本题考查了分情况求含参绝对值型函数的最值问题，遇到绝对值要去绝对值，分成绝对值内表达

式大于等于0和小于0(或大于0和小于等于0)两种情况去讨论，写成分段函数的形式。本题属于中等题。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(%)=1+^3cos2x-sin2(--x)，

4

(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间.

(2)若方程/*)=0在区间[£,加上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.

4

IT77r

【答案】(1)T=兀;Zm(Z£Z).

(2)(-2,1].

【解析】

分析：(1)首先利用余弦倍角公式对sii?(工-X)进行降次升角，之后借助于诱导公式以及辅助角公式，将

4

7T

函数解析式化简为/(x)=2sin(2x+§)，借助于正弦曲线的性质，利用整体角思维求得结果；

(2)研究函数在给定区间上的性质，求得对应的结果.

详解：(1)/(x)=1+V3cos2x-2sin2-xJ

=V3cos2x+cos--2x=-s/3cos2x+sin2x

(2)

-2sin(2尢+]]

・72万

2

TT7i37r7t77r

由一+2左%<2x+—<-----卜2k7r,kGZ,解得：---\-k7V<x<——+k兀,keZ

2321212

jrTT

二/(x)的单调递减区间为：—+k7r,—+k7T(keZ)

(2)即y=/(x)在区间(，万上的图象与直线y=加有两个不同的交点.

477r77T

由⑴知：/(x)在上单调减，在—,71上单调增，

“川,=心)=-2,/图=1,/(%)=#

.•.当—2〈机时，y=/(x)在区间7,乃上的图象与直线丁=加有两个不同的交点，即方程

jr

/(X)T"=O在区间~,7T上两个不同的实数解.

•J"的取值范围为(一2,1].

点睛：该题考查的是有关三角函数的综合题，涉及到的知识点有余弦的倍角公式，诱导公式，辅助角公式,

将函数解析式，之后利用整体角思维求得结果，关于第二问，注意应用整体角思维，研究对应区间上的函

数图像的走向，从而求得结果.

16.在公差不为零的等差数列｛《,｝中，6=1,a2,%，生成等比数列.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)设=a"-2"",S“=4+4H---\-bn,求S”.

【答案】⑴。“=〃；⑵案=(〃_1>2川+2.

【解析】

【分析】

(1)由q=l,a2,4,』成等比数列得：(l+3d)2=(l+d)(l+7d)求出4,即可得｛为｝的通项公式;

23,,

(2)b“=n-2",S„=lx2'+2x2+3x2+---+n-2)用错位相减法化简可得S”.

【详解】⑴设等差数列｛4｝的公差为d(dwO),

由％=1,a2,a4,4成等比数列得：(1+34)2=(l+d)(l+7d),

解得d=l或d=O(舍去)，

所以数列｛《,｝的通项公式。“=1+(〃-1)=〃.

(2)由(1)得4=〃，所以a="-2",

所以S“=lx2i+2x2?+3x23+…+小2”,①

2S„=1X22+2X23+3x24+-••+«-2,,+,,(2)

①-②得：一S“=1x2、1x2?+1x23+…+1x2"2

2(1—2")7„+i/,\?«+i?,

=--------n-2=-in-1)-Z-2，

1-2i7

所以S“=(〃—l>2"T+2.

【点睛】本题考查了错位相减法的计算，当遇到等差数列x等比数列的通项公式时，可以通过错位相减法

来求和。本题属于基础题。

17.某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图，两海岸线04,OB

所成角为引，现欲在海岸线04,03上分别取点P,。修建海堤，以便围成三角形陆地OPQ,已知海

堤PQ长为6千米.

(1)如何选择P,Q的位置，使得'OPQ的面积最大；

(2)若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤PQ的另一侧选取点加，修建海堤砂，围成四边形

陆地.当海堤"尸与"Q的长度之和为10千米时，求四边形MP0Q面积的最大值.

【答案】(1)当P,。两点距离。点都为26千米时，最大面积为3g(平方千米)；

(2)四边形MP0Q面积的最大值为12+36(平方千米).

【解析】

【分析】

(1)设0P=x,OQ=y,由余弦定理得：PQ2=OP2+0Q2-20P-0Q-cosZPOQ,

2万

因为62=f+y2—2孙cos3-22盯+盯=3.，即冲412,当且仅当X=y=26时取得等号；

(2)要求四边形MPOQ面积的最大值，只需求△MPQ面积的最大值.在AMPQ中，

MP+MQ=\0>6^PQ,所以点M的轨迹是以P,。为焦点，长轴长10的椭圆(夹在两海岸线Q4,

0B区域内的曲线)，根据椭圆的几何性质，求出M点到PQ距离的最大值即可得到最大面积.

【详解】（1）设OP=x,OQ=y,（单位：千米）

在AOP。中，由余弦定理得：PQ2=OP2+OQ2-2OP-OQ-cosZPOQ,

27r

因为PQ=6,ZPOQ=—,OP=x,OQ=y,

所以，62=x2+>2—2xycos—>2xy+xy=3xy,

故当且仅当x=y=26时取得等号，

此时，SAOPQ=^xysin-=^-xy<3y[3（平方千米）.

所以，当P,。两点距离。点都为2百千米时，AOPQ的面积最大，最大面积为班（平方千米）.

（2）由（1）知，要求四边形MPOQ面积的最大值，只需求AMPQ面积的最大值.

在AMPQ中，MP+MQ=iO＞6=PQ,所以点M的轨迹是以「，。为焦点，长轴长10的椭圆（夹在

两海岸线04,区域内的曲线），

以PQ所在直线为x轴，PQ的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,

设点M所在的椭圆方程为与=1（。＞。＞0）,焦距为2c,

由a=5,c=3得：。=/一/二⑹

所以点M所在的桶圆方程为工+卫=1.

2516

设/（%,%），则5"^=（/?。・%=3*6、%=3%，因为%«4，

所以SAMPQ=3%412（平方千米），当且仅当MP="Q=5（千米）时取得等号.

所以，四边形”尸。。面积的最大值为12+3百（平方千米）.

【点睛】本题考查了余弦定理和三角形面积公式，以及椭圆的定义。遇到应用题，找出变量之间的相关关

系，再根据函数或者不等式等其他方法求解，注意满足实际意义的取值范围。本题属于难题。

22

18.已知直线/为椭圆工+匕=1的右准线，直线I与x轴的交点记为P,过右焦点F的直线与椭圆交于A，

43

8两点.

（1）设点M在直线上，且满足MbJ_A」B，若直线OM与线段AB交于点。，求证：点。为线段AB的

中点；

（2）设。点的坐标为直线8。与直线/交于点后，试问丽.而是否为定值，若是，求出这个定

值，若不是，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）丽.而为定值0.

【解析】

【分析】

（1）设直线AB的方程为x=根丁+1,直线的方程为y=-/n（x-l）,故直线OM的方程为y=--x.

4-3/77

再联立椭圆方程和直线AB，根据韦达定理求出线段的中点为,满足直线OM方

3m2+4'3m2+4

程丁=—三所以，直线OM与线段AB交点。为线段A3的中点.

4

（2）当直线A8的斜率为0时，EAEP=Q直线A3的斜率不为0时,，计算直线8Q的方程，求得点£

的坐标为（4,yj,纵坐标与点A相等，即E4J.EP，EAEP^O-

【详解】（1）由椭圆方程为、+《=1知，右焦点尸坐标（1,0）,椭圆。的右准线/方程为x=4,点尸坐

标（4,0）.

①当直线A3的斜率不存在时，直线与线段AB交点。即为右焦点此时点O为线段AB的中点.

②又由“r，AB知，直线的斜率不为0,故设直线AB的方程为*=畋+1，

从而，直线ME的方程为了=一〃令x=4得，M点坐标为（4,-3〃z）,

3m

故直线OM的方程为尸-7》.

x=my+1

联立方程组〈X2>2，消去x得：（3加+4）y2+6my—9-Q,

[43

设g'X)'*%)，则2号宇

-6m

即X+%=~'乂,必=7-5—~

3m+43m+4

4-3my

从而，线段A3的中点N3m2+4'3m2+4J

3m

又线段A3的中点N的坐标满足直线OM方程y=---%,

4

所以，直线与线段A3交点。为线段A3的中点.

综上可知，点。为线段A3的中点.

(2)当直线AB的斜率为0时，点E即为点P,从而而=0，故丽・丽=().

直线A3的斜率不为。时，

,—6z?z—9

由（1）知，~%•％=15/

3m+43m+4

23（y+%）

所以％+%=§加乂必，贝Um%

2M

v-%X2

直线BQ方程为）-52I>又乙=my+1,

x,--2

-2

=%,3=3%=3%=____________=y

令x=4，得.x_522%,-52阳2-323('+%)3，

"一万'一2ST'

所以点E的坐标为(4,%),纵坐标与点A相等。

即E4_LEP，所以丽・丽=().

综上可知，丽.方为定值0.

【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，着重于计算直线方程的表达式，根据点的坐标依次耐心

计算即可。本题属于中等题。

19.已知数列｛q｝的前〃项和S“满足2S„=3(«„-1)(/1eN*).

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)记2=(。_])；：_]),7；是数列也,｝的前〃项和’若对任意的"wN*，不等式＜＞；一6都

成立，求实数上的取值范围；

(3)记g=—%,是否存在互不相等的正整数m,s,f,使加，s,f成等差数列，且q-l,

an+2

4-1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的加，s,/；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)4=3"；(2)|-,+oo(3)不存

【解析】

【分析】

⑴当〃之2时，2S,I=3(4T—1),与题目中所给等式相减得：2a.=3a,—3%T，即a“=3a,i(〃22),

又〃=1时，2s1=3(o,-l),解得：4=3,所以4=3".

(2)“化简得旦士一号》由裂项相消得，人船一号)，再根据不等式1＞卜高

n+\〃+1

都成立，化简得：%＞2(3〃求出2(3商二1)的最大值即可•

［m+t=2s

（3）假设存在互不相等的正整数加，，满足条件，则有/、2/\,、.证明其成立的条

［（G-1）=（，,“—1>亿一1）

件与加，S,r互不相等矛盾即可.

【详解】⑴因为数列｛q｝的前w项和S,,满足2s“=3（%-l）（〃eN*）,

所以当〃22时，2S„_,=3（«„_1-1）,

两式相减得：2a”=3%-34T，即4=3a“T（〃22）,

又〃=1时，2S1=3（乌—1）,解得：q=3/0,

所以数列｛a,,｝是以3为首项，3为公比的等比数列，从而4=3".

（）

,.,_a“—3”n+1=11_1

（2）由（1）知：-（a/t_i）（fln+i_i）-（3"-i）（3-i）21,

G、，Tnn八1「『1ifii）（iiY

所以，=b、+h+…+b=——-------------+---------------p------F--------------：

2K3一132-lJU2-l33-lJ（3〃一13M+,-1）_

对任意的〃小，不等式-高都成立，即杷一吉>1备，

〃+1H+1

化简得：k>，令/（〃）=

2(3,|+|-1)2(3

〃+2_〃+1_(—2〃-1)-3rt+'-l

因为小+1）-小）<0,

2(3n+2-1)2(3,(+|-1)-2(3,,+,-1)-(3,,+2-1)

故/（〃）单调递减,

所以［/（〃）1rax=/（1）=（'故%>'

1

所以,实数々的取值范围是-,+oc

8

c=人=上

(3)由(1)知:

”an+23"+2

假设存在互不相等的正整数加，s,r满足条件,

m+t=2s

则有《

2

(cs-1)=(cm-l)■(<?,-1),

3〃/、2、/(3s、\(-V、

由%=与(6_1)一=(。_1>(。_1)得FI?-1=•———1

D-i乙1D乙,,、」3'+T2右y

即3"+'+2x3'"+2x3,=32'+4x3*，

因为m+r=2s,所以3"'+3'=2x3'.

因为3'"+3'＞2\]yn+,=2x3'