诱导公式 讲义（知识点 考点 练习）人教A版（2019）高一数学必修第一册

5.3诱导公式

知识点一公式二〜四

终边关系图示公式

sin（兀+a）=~sin

a,

角n+a与角a的

A

公式二COS（TI+a）=­cos

终边关于原点对称1

a,

tan（7i+a）=tana

sin（—g）=­sin

角一a与角a的终a,

公式三

边关于工轴对称41cos（"g）=cosa,

tan（~a）=­tana

sin（7i-g）=sina,

TT-ra

角Ti—a与角a的cos（兀—a）=­cos

公式四

终边关于匕轴对称a,

tan（7i-a）=­tana

思考诱导公式中角a只能是锐角吗?

二、诱导公式五、六

思考1设a是任意角，其终边与单位圆交于点尸i(x,仍，与角a的终边关于直

线对称的角的终边与单位圆交于点尸2,点尸2的坐标是什么？

思考2如何由公式四及公式五推导公式六?

考点一化简（求值）

cos（万+x）sin（3万-x）

【例1】（2020•浙江衢州•高一期末）化简：tan（-x）sin亿+x

【练1】（2020•甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））sin780。的值为（）

考点二诱导公式与定义综合运用

【例2】（2020•四川省绵阳江油中学高三开学考试（文））已知ae（0,万）,

叵C.2&D.一2&

【练2】（2020•科尔沁左翼后旗甘旗卡第二高级中学高一期末）若

,（71）3口（71>,...

sin—+a=一一，且cue—,7i.n贝ijsin（»—a）=（）.

12J5\2

433

A.—B.--C.-D.

555

考点三诱导公式与同角三角综合运用

【例3】（2020•山西应县一中高三开学考试（文））设tanc=3,则

sin(a-»)+cos(»一a)

:

.771\\771\

sin——a+cos—+a

U)12

A.3B.2C.1D.-1

【练3】（2018•福建高二期末（文））已知sinJ+e+3cos（»—8）=sin（—8）,则

12J

sin^cos^+cos26>=（）

A.-B.-C.-D.好

5555

考点四角的拼凑

【例4】（2020•全国高一课时练习）已知sinN+£|=g,则cos5-金的值等于（

A,巫2夜_1

B.C.-D.

3333

(1711

【练4】（2020•山西应县一中高一期中（理））已知cos------a则

I85

cos佰+a[=.

0)---------

课后练习

1.（2020高一上•潮阳期末）sin?=（）

6

A.—B.--C.-

222

D.--

2

2.（2021•丰台模拟）在平面直角坐标系xOy中，角a以。久为始边，且

sina=|.把角a的终边绕端点。逆时针方向旋转n弧度，这时终边对

应的角是B,则sin0=（）

22

A.—B.—

33

C.--D.—

33

3.（2021高一下•吴江期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：产=

cos0+isin0（e为自然对数的底数，/为虚数单位），此结论被称为“欧拉

公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数

的关系.根据欧拉公式可知，e一讥=（）

A.1B.0

C.-1D.1+i

4.（2021高一下•昌平期末）sin”=（）

6

A-1

B.--

2

C.—

2

D.--

2

5.(2021高一下,西安月考)已知函数/(%)=asin(7rx+a)+bcos(nx+jS)—

1,(afbfatp均为非零实数)，若/(2020)=3,则/(2021)=—

6.(2021高三上•安徽月考)已知sin(a+^)=|,则sin(2a*)=

37r

7.(2021高三上•黑龙江期中)化简：tanga)cos(2~a)sin(-a+3)的值

cos(-a-7r)sin(-7T-a)

为一.

8.(2021•聊城模拟)曲线y=婷+：%在久=。处的切线的倾斜角为

a,则sin(2a+])=—.

9.(2020高一上•钦州期末)计算cos^=____________.

6

10.(2021•湖北模拟)已知tan(a+7T)=3.

tan2a

求的值;

(1)tan(20217r-a)

sin2a+cos2a

(2)求值.

2+sin2a

11.(2021高一下•咸阳期末)已知"a)=sin(3…)3@+争3(一兀)

，'，sin(a+7r)tan(-a+7r)

(1)化简/(a)；

(2)若角a的终边经过点P(-6,-8),求/(a).

12.(2020高一上•芜湖期末)已知/(。)=变空色誓坦

(1)化简f⑼;

(2)若tand=2,求+g)值.

13.(2021高三上•洪南月考)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为

1

a,b,c,已知cos力=-.

(1)求cos(B+C)；

（2）若a=2,SAABC=V2,求b的值.

精讲答案

思考

7T

答案诱导公式中角a可以是任意角，要注意正切函数中要求存E+,，kGZ.

思考一

答案Pi(y,x).

思考二

答案sin3+aj=sin兀

兀一

=S1ng-a=cos«,

尹a兀兀

cos|=COS兀―=­cos|

=­sma.

【例11

【答案】COSX

cos(万+x)sin(3万一x)(-cosx)sinx

------------------=cosx

【解析】tan(-x)sinI+x(-tanx)cosx

【练1】

【答案】D

走故选：D

【解析】sin780°=sin(720°+60°)=sin600=

2

【例2】

【答案】D

（n1

【解析】因为sin--a=cosa-——,且ee（0,%）所以

I23

2V2

sina=A/1-COS2a

亍

sina小式

所以tana----=一2。2,所以tan（a+»）=tana=-2下，故选：D

cosa

【练2】

【答案】A

.（71y3

【解析】根据诱导公式得:sin—+a=cosa=——,

（2）5

、

’71一I---------;44

又因为不,兀,所以sini=COSa=—9所以sin（万一a）=sina=y.故

\27

选：A.

【例3】

【答案】B

【解析】由诱导公式，可得

sin（a-+cos一a）—sina—cosasina+cosa

cosa-sinasina-cosa

sin——a+cos一+a

12）12

siny+cos。

=.cosa_=tan«±l=3±l=2B

sma—cosstana—13-1

cosa

【练3】

【答案】C

【解析】由已知

sin—+0+3cos（万一。）=sin（—。）ncos0-3cos0=-sin。ntan。=2,

sinOcosO+cos2。tanO+1_3

则sin&osO+cos?。=故选C.

sin%+cos2。tan%+15

【例4】

【答案】c

【解析】因为sin(a+?J

3

故选：C

【练4】

【答案】~

(7兀

【解析】因为cos---a所以

\O

故答案为：-不

练习答案

1.【答案】D

【考点】运用诱导公式化简求值

【解析】sin?=sin(兀+g)=-sing=一；.

6662

故答案为：D

【分析】利用诱导公式化简求值，可得答案。

2.【答案】A

【考点】诱导公式

【解析】解：依题意蠹=凝#亶，因为sina--,所以sin^=sin(a+兀)=

.2

—sina=——

3

故答案为：A

【分析】根据题意即可得出籁=凝带窕，再由诱导公式计算出结果即可。

3.【答案】C

【考点】复数的代数表示法及其几何意义，运用诱导公式化简求值

【解析】【解答】根据eie=cos0+isinO)

可知e~in-cos(—TT)+isin(-7r)——1。

故选：C

【分析】利用欧拉公式结合代入法和诱导公式，进而求出e-讥的值。

4.【答案】B

【考点】运用诱导公式化简求值

［解析1sin——sin(-----F4兀)—sin(—)——sin———.

666，62

故答案为：B

【分析】利用三角函数的诱导公式化简求解即可。

5.【答案】-5

【考点】函数的值，诱导公式

【解析】因为/(2020)=3,所以/(2020)=asin(2020兀+a)+

hcos(2020?r+?)-1=3,

化简得：asina+bcos0—1=3=asina+bcos。=4,

所以/(2021)=asin(2021兀+a)+bcos(2021兀+3)-1=-asina—bcosR—

1=-5

故答案为：-5

【分析】由已知条件结合诱导公式整理即可得到asina+匕cos?=4,代入数

值结合诱导公式由主题思想计算出结果即可。

6.【答案】

【考点】二倍角的余弦公式，诱导公式

【解析】因为sin(a+^)=|，则sin(2a-9=sin［2(a+勺-刍=

一cos［2(a+勺］

—2sin2(a+勺-1=一看■

故答案为：一卷.

【分析】由已知结合诱导公式及二倍角公式进行化简即可求解.

7.【答案】-1

【考点】运用诱导公式化简求值

［解析］解•tan(7Ta)cos(27ra)sin(-a+当

cos(-a-7r)sin(-7r-a)

—tana-cosa•(―cosa)

—cosa•sina

=-1.

故答案为：-1

【分析】利用诱导公式化简求值即可。

8.【答案】|

【考点】导数的几何意义，同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简

求值

【解析】由题得y'=/'(%)=靖+2%—|,所以/'(0)=6。一［=1，

所以tana=aG(01),二cosa=合，

所以sin(2a+1)=cos2a=2cos2a—l=2x^—

故答案为:

9.【答案】立

【考点】运用诱导公式化简求值

【解析】cos等-cos(471+~)-

故答案为：叵.

2

【分析】利用诱导公式可得解。

10.【答案】(1)解：因为tan(a+TT)=tana:,所以tana=3，

因为tan(20217r—a)=—tana,tan2a=

1-tan2a

tan2a_2_1

所以

tan(20217r-a)tan2a-l4

2sinacosa+cos2a2tana+l

2(sin2a+cos2a)+sin2a3tan2a+2

所以sin2a+cos2a2x3+1

2+sin2a3x32+229

【考点】二倍角的正弦公式，二倍角的余弦公式，二倍角的正切公式，同角三

角函数间的基本关系，诱导公式

【解析】(1)首先由诱导公式整理化简即可得出tana=3,再由二倍角的正

切公式代入数值计算出结果即可。

(2)由二倍角的正、余弦公式以及同角三角函数的基本关系式化简整理，代入

数值计算出结果即可。

11.【答案】(1)解：/(a)=sin(37r-a)cos(a+—)cos(-a-7r)

sin(a+7r)tan(-a+7r)

sinasina(-cosa)

(-sina)(-tana)

sinasinacosa

=COSCt.

(2)•.,角a的终边经过点P(—6,8