实验探究课9　用单摆测量重力加速度的大小-2025版物理大一轮复习

用单摆测量重力加速度的大小[实验基本技能]一、实验目的1.练习使用秒表和刻度尺、测单摆的周期。2.用单摆测重力加速度的大小。二、实验原理当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2πeq\r(\f(l,g))，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝eq\f(4π2l,T2)。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值。三、实验器材带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1m)、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。四、实验步骤1.让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结。2.把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记。3.测摆长：用毫米刻度尺量出摆线长L(精确到毫米)，用游标卡尺测出摆球直径d，则单摆的摆长l＝L＋eq\f(d,2)。4.测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放摆球，记下单摆摆动30～50次全振动的总时间，算出平均每做一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。5.改变摆长，重做几次实验。[规律方法总结]一、数据处理1.公式法：测出30次或50次全振动的时间t，利用T＝eq\f(t,N)求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值，然后利用公式g＝eq\f(4π2l,T2)求重力加速度。2.图像法：由单摆周期公式不难推出l＝eq\f(g,4π2)T2，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图像，图像应是一条通过原点的直线，如图所示，求出图线的斜率k＝eq\f(Δl,ΔT2)，即可利用g＝4π2k求重力加速度。二、误差分析类型产生原因减小方法偶然误差测量时间(单摆周期)及摆长时产生误差(1)多次测量求平均值(2)计时从单摆经过平衡位置时开始系统误差主要来源于单摆模型本身(1)摆球要选体积小，密度大的(2)最大摆角要小于5°三、注意事项1.悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证悬点固定。2.单摆必须在同一竖直平面内摆动，且摆角小于5°。3.在摆球摆到平衡位置处时开始计时，并数准全振动的次数。4.摆球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长L。考点一教材原型实验1.(实验原理与操作)实验小组的同学们用如图所示的装置做“用单摆测量重力加速度的大小”的实验。(1)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)l及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝。(用l、n、t表示)(2)(多选)实验时除用到停表、刻度尺外，还应该用到下列器材中的。(填选项前的字母)A.长约1m的细线B.长约1m的橡皮绳C.直径约1cm的均匀铁球D.直径约10cm的均匀木球(3)选择好器材，将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，应采用图中所示的固定方式。甲乙丙(4)(多选)某实验小组组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图丙所示，这样做的目的是。(填选项前的字母)A.保持摆动过程中摆长不变B.可使周期测量得更加准确C.需要改变摆长时便于调节D.保证摆球在同一竖直平面内摆动(5)某同学组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺量得从悬点到摆球的最低端的长度L＝0.9990m，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图丁所示，则该摆球的直径为mm。丁(6)(多选)将单摆正确悬挂后进行如下操作，其中正确的是。(填选项前的字母)A.测出摆线长作为单摆的摆长B.把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动C.在摆球经过平衡位置时开始计时D.用停表测量摆球完成一次全振动所用时间并作为单摆的周期(7)甲同学多次改变单摆的摆长并测得相应的周期，他根据测量数据画出了如图戊所示的图像，但忘记在图中标明横坐标所代表的物理量。你认为横坐标所代表的物理量是(填“l2”“l”或“eq\r(l)”)，若图线斜率为k，则重力加速度g＝(用k表示)。戊解析：(1)单摆的周期T＝eq\f(t,n)，由单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))得重力加速度g＝eq\f(4π2l,T2)＝eq\f(4π2n2l,t2)。(2)为了便于测量周期和减小空气阻力，摆线选择较细且结实、无弹性的线，故选A；为了减小空气阻力的影响，摆球选择质量大体积小的，故选C。(3)为了避免运动过程中摆长发生变化，悬点要固定，不能松动，则选题图乙。(4)这样做的目的是便于调节摆长，把摆线夹得更紧一些，使摆动过程中摆长不变，因此A、C正确。(5)由题图丁可得摆球的直径为d＝12.0mm。(6)摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，A错误；将停表测量摆球完成一次全振动所用时间作为单摆的周期，误差较大，应采用累积法测量周期，D错误，B、C正确。(7)根据单摆周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))＝eq\f(2π,\r(g))eq\r(l)，所以应该作出T-eq\r(l)图像，故横坐标所代表的物理量是eq\r(l)，斜率k＝eq\f(2π,\r(g))，解得g＝eq\f(4π2,k2)。答案：(1)eq\f(4π2n2l,t2)(2)AC(3)乙(4)AC(5)12.0(6)BC(7)eq\r(l)eq\f(4π2,k2)2.(数据处理与误差分析)某研究性学习小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中(实验装置如图甲所示)，已知单摆在摆动过程中的摆角小于5°；在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长(从悬点到摆球的最上端)为l，再用螺旋测微器测得摆球的直径为d(读数如图乙所示)。甲乙(1)从乙图可知，摆球的直径为d＝mm；(2)用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g＝；(3)(多选)实验结束后，同学们在讨论如何能够提高测量结果的精确度时，提出了以下建议，其中可行的是。A.尽可能选择细、轻且不易伸长的线作为摆线B.当单摆经过最高位置时开始计时C.质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的D.测量多组周期T和摆长L，作T2﹣L关系图像来处理数据(4)某同学根据实验中测得的数据，画出T2﹣L图像如图丙所示，取π＝3.14，根据图像，可求得当地的重力加速度大小为m/s2(保留3位有效数字)。丙(5)实验中，该同学测量摆长使用绳长，而非悬点到摆球重心之间的距离，这对重力加速度测量结果的影响是：测量值真实值。(填“>”“＝”或“<”)解析：(1)螺旋测微器的主尺读数为5.5mm，可动刻度读数为0.01×48.0mm＝0.480mm，则最终读数为5.980mm。(2)从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间内为t，则单摆全振动的次数为N＝eq\f(n－1,2)，周期为T＝eq\f(t,N)＝eq\f(2t,n－1)，单摆的长度为L＝l＋eq\f(d,2)，由单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))，得g＝eq\f(π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(l＋\f(d,2))),t2)。(3)由单摆周期公式知，重力加速度的测量值与摆长有关，所以要尽可能选择细、轻且不易伸长的线作为摆线，选项A正确；为了减小误差，需要当单摆经过平衡位置时开始计时，选项B错误；为了减小误差，质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较小的，选项C错误；应用图像法处理实验数据可以减小实验误差，测量多组周期T和摆长L，作T2-L关系图像来处理数据，选项D正确。故选AD。(4)根据单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))，可得T2＝eq\f(4π2,g)L，由图像可得，T2﹣L图像的斜率k＝eq\f(4π2,g)＝eq\f(4.8－3.2,（120－80）×10－2)，则当地的重力加速度大小为g≈9.86m/s2。(5)由T2＝eq\f(4π2,g)L可知，图像的斜率为k＝eq\f(4π2,g)，重力加速度为g＝eq\f(4π2,k)，由上述分析可知，其摆长的测量不影响重力加速度的测量结果，所以其测量值等于真实值。答案：(1)5.980(2)eq\f(π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－1))2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(l＋\f(d,2))),t2)(3)AD(4)9.86(9.83～9.89均可)(5)＝考点二拓展创新实验维度1实验目的的创新某学校组织春游爬山，在山顶发现一棵合抱古树，他们想知道这棵古树的树围。由于未带卷尺，只备有救生绳(质量不计且不可伸长)，于是他们利用单摆原理对古树的树围进行粗略测量。他们用救生绳绕树一周，截取长度等于树干周长的一段(已预留出打结部分的长度)，然后在这段救生绳的一端系一个小石块。接下来的操作步骤为：Ⅰ.将截下的救生绳的另一端固定在一根离地足够高的树枝上；Ⅱ.移动小石块，使伸直的救生绳偏离竖直方向一个小于5°的角度，然后由静止释放，使小石块在同一竖直面内摆动；Ⅲ.从小石块经过平衡位置(已经选定参考位置)开始，用手机中的“秒表”软件计时(记为第1次经过平衡位置)，至小石块第41次经过平衡位置，测出这一过程所用的总时间为94.20s。(1)根据步骤Ⅲ，可得小石块摆动的周期T＝s。(2)经查询可知该地区的重力加速度为9.79m/s2，可估得该古树的树围C＝m。(结果保留2位有效数字)(3)若空气阻力的影响可不计，同时小石块摆动的周期T测量结果准确，考虑到该山的海拔较高，则该古树树围的测量值(选填“>”“<”或“＝”)真实值。[创新突破]解析：(1)从小石块经过平衡位置(已经选定参考位置)开始，用手机中的“秒表”软件计时(记为第1次经过平衡位置)，至小石块第41次经过平衡位置，共经历n＝eq\f(41－1,2)＝20个周期，总时间为n·T＝t，解得T＝eq\f(t,n)＝4.71s。(2)根据单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(l,g))，解得摆长为l＝eq\f(T2g,4π2)＝eq\f(4.712×9.79,4×3.142)m≈5.5m，摆长即为古树的树围，即C＝l＝5.5m。(3)山顶的海拔较高，所以实际重力加速度较小，而计算所使用的重力加速度偏大，所以该古树树围的测量值大于真实值。答案：(1)4.71(2)5.5(3)>维度2实验原理的创新某实验小组在做“用单摆测量重力加速度”实验后，为进一步探究，将单摆的轻质细线改为刚性重杆。通过查资料得知，这样做成的“复摆”做简谐运动的周期T＝2πeq\r(\f(Ic＋mr2,mgr))，式中Ic为由该摆决定的常量，m为摆的质量，g为重力加速度，r为转轴到重心C的距离。如图甲，实验时在杆上不同位置打上多个小孔，将其中一个小孔穿在光滑水平轴O上，使杆做简谐运动，测量并记录r和相应的运动周期T；然后将不同位置的孔穿在轴上重复实验，实验数据见表，并测得摆的质量m＝0.50kg。甲乙r/m0.450.400.350.300.250.20T/s2.112.142.202.302.432.64(1)由实验数据得出图乙所示的拟合直线，图中纵轴表示。(2)Ic的国际单位为，由拟合直线得到Ic的值为(保留到小数点后两位)。(3)若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。[创新突破]解析：(1)由T＝2πeq\r(\f(Ic＋mr2,mgr))，可得T2r＝eq\f(4π2Ic,mg)＋eq\f(4π2,g)r2，所以图中纵轴表示T2r。(2)Ic单位与mr2单位一致，因为mr2的国际单位为kg·m2，所以Ic的国际单位为kg·m2。结合T2r＝eq\f(4π2Ic,mg)＋eq\f(4π2,g)r2和题图中的截距和斜率，解得Ic的值约为0.17。(3)重力加速度g的测量值是通过求斜率eq\f(4π2,g)得到的，与质量无关，所以若摆的质量测量值偏大，重力加速度g的测量值不变。答案：(1)T2r(2)kg·m20.17(3)不变【跟踪训练】1.(2023·全国新课标卷)一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。(a)(b)(c)(1)用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图(a)所示，该示数为mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图(b)所示，该示数为mm，则摆球的直径为mm。(2)单摆实验的装置示意图如图(c)所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角5°(填“大于”或“小于”)。(3)某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60s，则此单摆周期为s，该小组测得的重力加速度大小为m/s2。(结果均保留3位有效数字，π2取9.870)解析：(1)测量前测微螺杆和测砧相触时，图(a)的示数为d0＝0mm＋0.7×0.01mm＝0.007mm；螺旋测微器读数是固定刻度读数(0.5mm的整数倍)加可动刻度(0.5mm以下的小数)读数，图(b)中读数为d1＝20mm＋3.4×0.01mm＝20.034mm；则摆球的直径为d＝d1－d0＝20.027mm。(2)角度盘的大小一定，即在规定的位置安装角度盘，测量的摆角准确，但将角度盘固定在规定位置上方，即角度盘到悬挂点的距离变短，同样的角度，摆线在刻度盘上扫过的弧长变短，故摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°。(3)单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为l＝l0＋eq\f(d,2)＝81.50cm＋eq\f(2.0027,2)cm＝82.50135cm，结果保留三位有效数字，得摆长为82.5cm；一次全振动单摆经过最低点两次，故此单摆的周期为T＝eq\f(2t,N)＝eq\f(54.60,30)s＝1.82s。由单摆的周期表达式T＝2πeq\r(\f(l,g))得，重力加速度g＝eq\f(4π2l,T2)≈9.83m/s2。答案：(1)0.007(0.006～0.008均可)20.034(20.032～20.035均可)20.027(20.026～20.029均可)(2)大于(3)82.51.829.832.在“用单摆测定重力加速度”的实验中：(1)若完成n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测得的摆线长(悬点到摆球上端的距离)为L0，用刻度尺测得摆球的直径为d，用上述物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式g＝。(2)实验中某同学发现测得的重力加速度的值总是偏大，下列原因中可能的是。A.实验室处在高山上，距离海面太高B.单摆所用的摆球质量太大了C.实际测出n次全振动的时间t，误作为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋1))次全振动的时间D.以线长作为摆长来计算(3)甲同学测量出几组不同摆长L和周期T的数值，画出T2-L图像中的实线OM；乙同学也进行了与甲同学同样的实验，但实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学做出的T2-L图像为(选填：①②③④)。(4)丙同学将单摆固定在力传感器上，得到了拉力随时间的变化曲线，已知摆长L1＝0.99m，根据图中的信息可得，重力加速度g＝m/s2(取π2＝9.87，结果保留3位有效数字)。解析：(1)根据T＝2πeq\r(\f(L,g))，可得g＝eq\f(4π2L,T2)＝eq\f(4π2（L0＋\f(d,2)）,（\f(t,n)）2)＝eq\f(4π2n2（L0＋\f(d,2)）,t2)。(2)实验室处在高山上，距离海面太高，则重力加速度会偏小，A错误；单摆所用的摆球质量大小与周期无关，B错误；实际测出n次全振动的时间t，误作为(n＋1)次全振动的时间，则周期测量值偏小，计算出的重力加速度偏大，C正确；以摆线长作为摆长来计算，则摆长计算偏小，测得的重力加速度偏小，D错误；故选C。(3)根据单摆的周期公式T＝2πeq\r(\f(L,g))，得T2＝eq\f(4π2,g)L，实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，摆长L＝0时，纵轴截距不为零，加上摆球半径后图像应该到正确位置，即M位置，由于重力加速度不变，则图线的斜率不变，故图像应该为②。(4)由图像可知，单摆的周期为T＝2s，则根据T＝2πeq\r(\f(L,g))，可得g＝eq\f(4π2L,T2)＝eq\f(4×9.87×0.99,22)m/s2≈9.77m/s2。答案：(1)eq\f(4π2n2（L0＋\f(d,2)）,t2)(2)C(3)②(4)9.773.某智能手机中的“磁传感器”功能可实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，磁感应强度越