第2讲　人造卫星　宇宙速度-2025版物理大一轮复习

人造卫星宇宙速度目标要求1.掌握卫星运动的规律，会比较卫星运行的各物理量之间的关系。2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。3.了解经典力学的局限性与相对论初步。考点一卫星运行参量的分析1.基本公式(1)线速度：由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得v＝eq\o(□,\s\up1(1))eq\r(\f(GM,r))。(2)角速度：由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得ω＝eq\o(□,\s\up1(2))eq\r(\f(GM,r3))。(3)周期：由Geq\f(Mm,r2)＝m(eq\f(2π,T))2r得T＝eq\o(□,\s\up1(3))2πeq\r(\f(r3,GM))。(4)向心加速度：由Geq\f(Mm,r2)＝ma得a＝eq\o(□,\s\up1(4))eq\f(GM,r2)。结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、aeq\o(□,\s\up1(5))越小，Teq\o(□,\s\up1(6))越大，即越高越慢。2.人造卫星卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星的轨道是赤道轨道。(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。(2)同步卫星①轨道平面与eq\o(□,\s\up1(7))赤道平面共面，且与地球自转的方向相同。②周期与地球自转周期相等，T＝eq\o(□,\s\up1(8))24h。③高度固定不变，h＝3.6×107m。④运行速率约为v＝3.1km/s。(3)近地卫星：轨道在eq\o(□,\s\up1(9))地球表面附近的卫星，其轨道半径r＝R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v＝7.9km/s(人造地球卫星的最大圆轨道运行速度)，T＝85min(人造地球卫星的最小周期)。提醒：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。【判断正误】1.同一中心天体的两颗行星，公转半径越大，线速度越小，向心加速度越大。(×)2.不同的同步卫星的质量不一定相同，但离地面的高度是相同的。(√)3.极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合。(×)1.解答人造地球卫星运行问题的策略(1)一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动。(2)两条关系①万有引力提供向心力：Geq\f(Mm,r2)＝ma＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝m(eq\f(2π,T))2r。②近地卫星：eq\f(GMm,R2)＝mg(R、g分别是地球的半径、地球表面重力加速度)。2.静止卫星的六个“一定”(注：静止卫星是地球同步卫星的一个特例)【对点训练】1.(卫星运行参量的比较)(2023·浙江卷)木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则()A.木卫一轨道半径为eq\f(n,16)rB.木卫二轨道半径为eq\f(n,2)rC.周期T与T0之比为neq\s\up6(\f(3,2))D.木星质量与地球质量之比为eq\f(T02,T2)n3解析：D根据题意可得，木卫3的轨道半径为r3＝nr。根据万有引力提供向心力Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，可得R＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1∶2∶4，可得木卫一轨道半径为r1＝eq\f(nr,\r(3,16))，木卫二轨道半径为r2＝eq\f(nr,\r(3,4))，故AB错误；木卫三围绕的中心天体是木星，月球的围绕的中心天体是地球，根据题意无法求出周期T与T0之比，故C错误；根据万有引力提供向心力，分别有Geq\f(M木m木卫三,（nr）2)＝m木卫三eq\f(4π2,T2)nr，Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T02)r，联立可得eq\f(M木,M地)＝eq\f(T02,T2)n3，故D正确。故选D。2.(同步卫星的运行特点)关于地球赤道上空某一高度处运行的同步卫星，下列说法中正确的是()A.该卫星在轨道上的运行速度大于第一宇宙速度B.该卫星在轨道上运行一周需要的时间就是地球自转一周的时间C.该卫星内的仪器处于失重状态，所受地球引力等于零D.该卫星离地面的距离可能是地球半径的2倍解析：B根据引力提供向心力，则有Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)，当轨道半径越大时，线速度越小，因此运行速度小于第一宇宙速度，故A错误；同步卫星绕地球转动的周期与地球自转周期相同，故B正确；该卫星内的仪器处于完全失重状态，但却受地球引力，故C错误；由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得地面附近卫星的运行周期T≈84min，地球同步卫星的运行周期T′＝24h，由开普勒第三定律eq\f(r3,T2)＝k，解得同步卫星离地面的距离大约是地球半径的6倍，故D错误。3.(同步卫星、近地卫星和赤道上物体比较)(多选)卫星A在地球的赤道平面内绕地球做匀速圆周运动，轨道半径为r，运行的周期与地球的自转周期T0相同；卫星B绕地球的表面附近做匀速圆周运动；物体C位于地球的赤道上，相对地面静止，地球的半径为R。则有()A.卫星A与卫星B的线速度之比是eq\f(R,r)B.卫星A与物体C的向心加速度之比是eq\f(r,R)C.卫星B与物体C的向心加速度之比是1D.地球表面的重力加速度是eq\f(4π2r3,T02R2)解析：BD卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，则卫星A与卫星B的线速度之比为eq\f(vA,vB)＝eq\r(\f(R,r))，故A错误；根据万有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，卫星A与卫星B的向心加速度之比为eq\f(aA,aB)＝eq\f(R2,r2)，由于卫星A的周期等于地球自转周期，则卫星A的角速度等于地球自转角速度，根据a＝ω2r，可知卫星A与物体C的向心加速度之比eq\f(aA,aC)＝eq\f(r,R)，卫星B与物体C的向心加速度之比eq\f(aB,aC)＝eq\f(aB,aA)·eq\f(aA,aC)＝eq\f(r2,R2)·eq\f(r,R)＝eq\f(r3,R3)，故B正确，C错误；对于卫星A，有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T02)r，根据物体在地球表面受到的万有引力等于重力可得eq\f(GMm,R2)＝mg，联立解得地球表面的重力加速度是g＝eq\f(4π2r3,T02R2)，故D正确。故选BD。eq\a\vs4\al()同步卫星、近地卫星及赤道上物体的运动情况比较如图所示，a为近地卫星，轨道半径为r1；b为静止卫星，轨道半径为r2；c为赤道上随地球自转的物体，轨道半径为r3。比较项目近地卫星(r1、a1、v1、ω1)同步卫星(r2、a2、v2、ω2)赤道上随地球自转的物体(r3、a3、v3、ω3)向心力万有引力万有引力万有引力的一个分力轨道半径r2＞r1＝r3向心加速度a1＞a2＞a3线速度v1＞v2＞v3(v1等于第一宇宙速度)角速度ω1＞ω2＝ω3考点二宇宙速度第一宇宙速度(环绕速度)v1＝eq\o(□,\s\up1(10))7.9km/s，是物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的eq\o(□,\s\up1(11))最小发射速度第二宇宙速度(逃逸速度)v2＝11.2km/s，是物体脱离eq\o(□,\s\up1(12))地球引力束缚的最小发射速度第三宇宙速度v3＝16.7km/s，是物体脱离eq\o(□,\s\up1(13))太阳引力束缚的最小发射速度【判断正误】1.第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。(×)2.任何星球的第一宇宙速度都是7.9km/s。(×)3.若物体的发射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体绕太阳运行。(√)1.第一宇宙速度的推导方法一：由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v12,R)，得v1＝eq\r(\f(GM,R))＝7.9×103m/s。方法二：由mg＝meq\f(v12,R)，得v1＝eq\r(gR)＝7.9×103m/s。第一宇宙速度是发射地球人造卫星的最小速度，也是地球人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2πeq\r(\f(R,g))＝84.8min。2.宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v发＝7.9km/s时，卫星在地球附近绕地球做匀速圆周运动。(2)7.9km/s<v发<11.2km/s，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。(3)11.2km/s≤v发<16.7km/s，卫星绕太阳做椭圆运动。(4)v发≥16.7km/s，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。某电影的热映，激起了大家对火星的关注。若航天员在火星表面将小球竖直上抛，取抛出位置O点的位移x＝0，从小球抛出开始计时，以竖直向上为正方向，小球运动的eq\f(x,t)-t图像如图所示(其中a、b均为已知量)。忽略火星的自转，且将其视为半径为R的匀质球体，引力常量为G。则下列分析正确的是()A.小球竖直上抛的初速度为2aB.小球从O点上升的最大高度为abC.火星的第一宇宙速度为eq\r(\f(aR,b))D.火星的质量为eq\f(2aR2,Gb)解析：D根据题意可知，向上为正方向，设火星表面重力加速度的大小为g1，则有x＝v0t－eq\f(1,2)g1t2，整理可得eq\f(x,t)＝v0－eq\f(1,2)g1t，结合图像可得v0＝a，g1＝eq\f(2a,b)，故A错误；根据题意，由公式v2－v02＝2ax可得，上升的最大高度为h＝eq\f(v02,2g1)＝eq\f(ab,4)，故B错误；根据题意，由万有引力等于重力有eq\f(GMm,R2)＝mg1，解得M＝eq\f(g1R2,G)＝eq\f(2aR2,bG)，由万有引力提供向心力有eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，联立解得v＝eq\r(g1R)＝eq\r(\f(2aR,b))，故C错误，D正确。故选D。【对点训练】4.(宇宙速度的理解)我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”。已知火星质量约为地球质量的10%，半径约为地球半径的50%，下列说法正确的是()A.火星探测器的发射速度应大于地球的第二宇宙速度B.火星探测器的发射速度应介于地球的第一和第二宇宙速度之间C.火星的第一宇宙速度大于地球的第一宇宙速度D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度解析：A火星探测器已经脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇宙速度，A正确，B错误；由eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)得，v火＝eq\r(\f(GM火,R火))＝eq\r(\f(0.1M地G,0.5R地))＝eq\f(\r(5),5)v地，故火星的第一宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，C错误；由eq\f(GMm,R2)＝mg得，g火＝Geq\f(M火,R火2)＝Geq\f(0.1M地,（0.5R地）2)＝0.4g地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，D错误。5.(第一宇宙速度)我国成功发射了“天问一号”火星探测器，该探测器在着陆火星之前在距离火星表面高度h＝eq\f(R,3)位置绕火星运行一周用时为T，其中R为火星的半径。则火星的第一宇宙速度可表示为()A.eq\f(16\r(3)πR,3T) B.eq\f(16\r(3)πR,9T)C.eq\f(16πR,3T) D.eq\f(16πR,9T)解析：B由万有引力提供向心力得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，解得GM＝eq\f(4π2r3,T2)＝eq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(R,3)))3,T2)，在火星表面附近，则Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，解得火星的第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，联立得v＝eq\f(16\r(3)πR,9T)，故选B。6.(第二宇宙速度)(2023·湖南卷)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其它物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的eq\r(2)倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是()A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度解析：B恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力加速度和绕恒星自转轴转动的向心加速度，不同位置向心加速度可能不同，故不同位置重力加速度的大小和方向可能不同，A错误；恒星两极处自转的向心加速度为零，万有引力全部提供重力加速度，恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式F万＝eq\f(GMm,R2)可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大，B正确；由第一宇宙速度物理意义可得eq\f(GMm,R2)＝meq\f(v2,R)，整理得v＝eq\r(\f(GM,R))，恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误；由质量分布均匀球体的质量表达式M＝eq\f(4π,3)R3ρ，得R＝eq\r(3,\f(3M,4πρ))，已知逃逸速度为第一宇宙速度的eq\r(2)倍，则v′＝eq\r(2)v＝eq\r(\f(2GM,R))，联立整理得v′2＝2v2＝eq\f(2GM,R)＝2Geq\r(3,\f(4πρM2,3))，由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，结合上式表达式可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。故选B。考点三相对论时空观与牛顿力学的局限性1.相对论时空观(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而eq\o(□,\s\up1(14))增加，用公式表示为m＝eq\f(m0,\r(1－\f(v2,c2)))。(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是eq\o(□,\s\up1(15))不同的。(3)光速不变原理：不管在哪个惯性系中，测得的真空中的光速都是eq\o(□,\s\up1(16))不变的。2.牛顿力学的成就与局限性(1)物体的质量不随eq\o(□,\s\up1(17))速度的变化而变化。(2)同一过程的位移和对应的时间在所有参考系中测量结果eq\o(□,\s\up1(18))相同。(3)适用条件：宏观物体、eq\o(□,\s\up1(19))低速运动。【判断正误】1.牛顿物理学研究的是物体在低速运动时遵循的规律。(√)2.绕地球运动的人造卫星的速度可以达到10km/s。(×)3.在不同惯性系中，物理规律的形式可能是不同的。(×)1.狭义相对论的两个基本假设(1)狭义相对性原理：在不同的惯性参考系中，一切物理规律都是相同的。(2)光速不变原理：真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的，光速与光源、观测者间的相对运动没有关系。2.狭义相对论的质能关系：用m表示物体的质量，E表示它具有的能量，则爱因斯坦质能方程为：E＝mc2。3.狭义相对论的三个有用的结论(1)运动的时钟变慢了。(2)运动的尺子长度缩短了。(3)运动的物体质量增大了。【对点训练】7.(狭义相对论的理解)1905年爱因斯坦提出了狭义相对论，根据相对论的观点下面的认识正确的是()A.同时是相对的，时间的间距是绝对的B.在高速运动飞船上的时钟走时将变快、球体的体积变小C.在一切参考系中，物理规律都是相同的D.在任何惯性参考系中，光在真空中沿各个方向的速度大小相同解析：D根据狭义相对论可知，在不同的惯性系中同时是相对的；由相对论的基本公式可知，物体的长度、时间间隔和物体的质量都是相对的，故A错误；根据相对论钟慢效应可知，在高速运动飞船上的时钟走时将变慢，故B错误；根据狭义相对论可知，物理规律在所有惯性参考系中都具有相同的形式，故C错误；根据光速不变原理，真空中的光速在不同的惯性参考系中都是相同的，故D正确。故选D。8.(狭义相对论结论的应用)一艘太空飞船静止时的长度为30m，他以0.6c(c为光速)的速度沿长度方向飞行越过地球，下列说法正确的是()A.飞船上的观测者测得该飞船的长度小于30mB.地球上的观测者测得该飞船的长度小于30mC.飞船上的观测者测得地球上发来的光信号速度小于cD.地球上的观测者测得飞船上发来的光信号速度小于c解析：B飞船上的观测者相对飞船静止，测得的长度仍为30m，而地球上的观测者观测高速飞行的飞船，长度缩短了，故A错误，B正确；根据狭义相对论的基本假设可知，飞船和地球上的观测者测得光信号的速度均为c，C、D均错误。限时规范训练18[基础巩固题组]1.(2023·江苏卷)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是()A.质量B.向心力大小C.向心加速度大小D.受到地球的万有引力大小解析：C根据Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq\f(GM,r2)，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度相同；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受地球的万有引力大小均不相同。故选C。2.已知火星与地球的半径之比为p，质量之比为q，火星与地球绕太阳公转的周期之比为k，由以上信息可得()A.火星与地球表面的重力加速度之比为eq\f(p2,q)B.火星与地球的密度之比为eq\f(q,p3)C.火星与地球绕太阳的轨道半径之比为keq\s\up6(\f(3,2))D.火星与地球受到太阳的万有引力之比为eq\f(1,p2)解析：B由密度公式ρ＝eq\f(M,V)及V＝eq\f(4,3)πR3，联立可得ρ＝eq\f(3M,4πR3)，可知火星与地球的密度之比为eq\f(q,p3)，故B正确；由mg＝Geq\f(Mm,R2)，可得星球表面的重力加速度为g＝eq\f(GM,R2)，知火星与地球表面的重力加速度之比为eq\f(q,p2)，故A错误；对太阳的行星，由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得r＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，可得火星与地球绕太阳的轨道半径之比为keq\s\up6(\f(2,3))，故C错误；太阳的行星受到太阳的万有引力为F＝eq\f(M太m,r2)，可得火星与地球受到太阳的万有引力之比为eq\f(q,k\s\up6(\f(4,3)))，故D错误。故选B。3.(2023·全国新课标卷)2023年5月，世界现役运输能力最大的货运飞船天舟六号，携带约5800kg的物资进入距离地面约400km(小于地球同步卫星与地面的距离)的轨道，顺利对接中国空间站后近似做匀速圆周运动。对接后，这批物资()A.质量比静止在地面上时小B.所受合力比静止在地面上时小C.所受地球引力比静止在地面上时大D.做圆周运动的角速度大小比地球自转角速度大解析：D物体在低速(速度远小于光速)宏观条件下质量保持不变，即在空间站和地面质量相同，故A错误；设空间站离地面的高度为h，这批物质在地面上静止合力为零，在空间站所受合力为万有引力即F＝eq\f(GMm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))2)，在地面受地球引力为F1＝eq\f(GMm,R2)，因此有F1>F，故BC错误；物体绕地球做匀速圆周运动万有引力提供向心力eq\f(GMm,r2)＝mω2r，解得ω＝eq\r(\f(GM,r3))，这批物质在空间站内的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，因此这批物质的角速度大于同步卫星的角速度，同步卫星的角速度等于地球自转的角速度，即这批物质的角速度大于地球自转的角速度，故D正确。故选D。4.2023年5月11日，“天舟六号”货运飞船成功对接中国空间站天和核心舱，空间站和另一地球卫星的轨道如图所示，二者的运动均可看成匀速圆周运动。已知卫星—地心的连线与卫星—空间站的连线的最大夹角为θ，地球半径为R，空间站距地面的高度为h，万有引力常量为G，重力加速度为g，忽略地球自转。下列判断正确的是()A.中国空间站的运行周期为eq\r(\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h)),gR2))B.卫星的轨道半径为eq\f(h,sinθ)C.空间站与卫星的线速度之比为eq\r(sinθ)∶1D.空间站与卫星的角速度之比为1∶eq\r(sin3θ)解析：D在地表附近万有引力近似等于重力，则eq\f(GMm,R2)＝mg，根据万有引力提供向心力可知eq\f(GMm,（R＋h）2)＝m(R＋h)eq\f(4π2,T2)，解得T＝eq\r(\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))3,gR2))，故A错误；根据题意结合几何关系可知卫星的轨道半径为r＝eq\f(（R＋h）,sinθ)，故B错误；由万有引力提供向心力可得eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)＝mrω2，解得v＝eq\r(\f(GM,r))，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，所以空间站与卫星的线速度之比为1∶eq\r(sinθ)，角速度之比为1∶eq\r(sin3θ)，故C错误，D正确；故选D。5.如图所示，a为放在赤道上相对地球静止的物体，随地球自转做匀速圆周运动，b为沿地球表面附近做匀速圆周运动的人造卫星(轨道半径约等于地球半径)，c为地球的同步卫星。下列关于a、b、c的说法中正确的是()A.地球同步卫星都与c在同一个轨道上，并且它们受到的万有引力大小相等B.a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为aa>ab>acC.a物体与地球的万有引力全部提供给a物体随地球自转的向心力D.a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc>Tb解析：D由万有引力定律F＝eq\f(GMm,r2)可知，地球同步卫星都与c在同一个轨道上，轨道半径相等，但是卫星的质量不相等，所以它们受到的万有引力大小不相等，A错误；对于卫星b、c，由万有引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，其中rc＞rb，所以ab＞ac，又卫星a、c绕地球运动的周期相等，根据a＝rω2，其中rc＞ra，可得ac＞aa，所以a、b、c做匀速圆周运动的向心加速度大小关系为ab＞ac＞aa，B错误；a物体与地球的万有引力一部分提供给a物体随地球自转的向心力，一部分为物体的重力，C错误；对于卫星a、c，其周期相等，所以Ta＝Tc，对于卫星b、c，由万有引力提供向心力Geq\f(Mm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，解得T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，其中rc＞rb，所以Tc＞Tb，即a、b、c做匀速圆周运动的周期关系为Ta＝Tc>Tb，D正确。故选D。6.火星是太阳系中与地球最相似的行星，“天问一号”探测器成功着陆火星，极大地提高了国人对火星的关注度。若火星可视为均匀球体，已知火星两极的重力加速度大小为g，火星半径为R，火星自转周期为T，万有引力常量为G，则可估算出()A.火星的质量为eq\f(4π2R3,GT2)B.火星的密度为eq\f(3g,4πGR)C.火星的第一宇宙速度为eq\f(2πR,T)D.火星同步卫星到火星表面的高度为eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))解析：B假设有一颗卫星以周期T0环绕火星表面做匀速圆周运动，则由万有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2R,T02)，解得火星质量M＝eq\f(4π2R3,GT02)，但火星的自转周期T≠T0，A错误；由mg＝Geq\f(Mm,R2)，V＝eq\f(4,3)πR3，ρ＝eq\f(M,V)，解得火星密度ρ＝eq\f(3g,4πGR)，B正确；火星的第一宇宙速度v＝eq\f(2πR,T0)，同理，因T≠T0，所以火星的第一宇宙速度不是eq\f(2πR,T)，C错误；设火星同步卫星到火星表面的高度为h，由Geq\f(Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h))2)＝meq\f(4π2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋h)),T2)，mg＝Geq\f(Mm,R2)，解得h＝eq\r(3,\f(gR2T2,4π2))－R，D错误。故选B。7.经典的“黑洞”理论认为，当恒星收缩到一定程度时，会变成密度非常大的天体，这种天体的逃逸速度非常大，大到光从旁边经过时都不能逃逸，也就是其第二宇宙速度大于等于光速，此时该天体就变成了一个黑洞。若太阳演变成一个黑洞后的密度为ρ、半径为R，设光速为c，第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，引力常量为G，则ρR2的最小值是()A.eq\f(3c2,4πG) B.eq\f(3c2,8πG)C.eq\f(4πG,3c2) D.eq\f(8πG,3c2)解析：B设太阳演变成一个黑洞后的质量为M，对于太阳表面一个质量为m的物体，根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，得太阳的第一宇宙速度为v＝eq\r(\f(GM,R))；由题意可知，第二宇宙速度大于等于光速，第二宇宙速度是第一宇宙速度的eq\r(2)倍，得c≤eq\r(2)v；又根据太阳演变成一个黑洞后的质量M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，联立解得ρR2≥eq\f(3c2,8πG)，故B正确，A、C、D错误。[能力提升题组]8.中国火星探测器“天问一号”成功发射后，沿地火转移轨道飞行七个多月，于2021年2月到达火星附近，要通过制动减速被火星引力俘获，才能进入环绕火星的轨道飞行。已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球半径约为火星半径的2倍，下列说法正确的是()A.若在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要7.9km/sB.“天问一号”探测器的发射速度一定大于7.9km/s，小于11.2km/sC.火星与地球的第一宇宙速度之比为1∶eq\r(5)D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度解析：C卫星在行星表面附近绕行的速度为该行星的第一宇宙速度，由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))，故v火∶v地＝1∶eq\r(5)，所以在火星上发射一颗绕火星运动的近地卫星，其速度至少需要v火＝eq\f(7.9,\r(5))km/s，故A错误，C正确；“天问一号”探测器挣脱了地球引力束缚，则它的发射速度大于等于11.2km/s，故B错误；g地＝Geq\f(M地,R地2)，g火＝Geq\f(M火,R火2)，联立可得g地>g火，故D错误。9.(多选)如图所示，行星绕太阳的公转可以看成匀速圆周运动。在地面上容易测得地球—水星连线与地球—太阳连线夹角α，地球—金星连线与地球—太阳连线夹角β，两角最大值分别为αm、βm，则()A.水星的公转周期比金星的大B.水星的公转向心加速度比金星的大C.水星与金星的公转轨道半径之比为sinαm∶sinβmD.水星与金星的公转线速度之比为eq\r(sinαm)∶eq\r(sinβm)解析：BC根据万有引力提供向心力，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R＝ma，可得T＝2πeq\r(\f(R3,GM))，a＝eq\f(GM,R2)，由题图可知，水星的公转半径比金星的小，故水星的公转周期比金星的小，水星的公转向心加速度比金星的大，故A错误，B正确；设水星的公转半径为R水、金星的公转半径为R金、地球的公转半径为R地，当α角最大时有sinαm＝eq\f(R水,R地)，同理可知有sinβm＝eq\f(R金,R地)，所以水星与金星的公转半径之比为R水∶R金＝sinαm∶sinβm，故C正确；根据Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v2,R)，可得v＝eq\r(\f(GM,R))，结合前面的分析可得v水∶v金＝eq\r(sinβm)∶eq\r(sinαm)，故D错误。10.(多选)人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太空电梯”，如图甲所示。图乙中，图线A表示地球引力对航天员产生的加速度大小与航天员距地心的距离r的关系，图线B表示航天员相对地面静止时而产生的向心加速度大小与r的关系。图乙中R(地球半径)，r0为已知量，地球自转的周期为T，引力常量为G，下列说法正确的有()甲乙A.太空电梯停在r0处时，航天员对电梯舱的弹力为0B.地球的质量为eq\f(4π2r03,GT2)C.地球的第一宇宙速度为eq\f(2πr0,T)eq\r(\f(Gr0,R))D.随着r的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小解析：AB由图乙可知，太空电梯在r0时，航天员所受地球的引力完全提供其随地球自转所需的向心力，此时，航天员与电梯舱间的弹力为0，故A正确；太空