高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（4）：三角函数

高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（四）第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数一、必记4个知识点1．角的分类(1)任意角可按旋转方向分为①________、②________、③________.(2)按终边位置可分为④________和终边在坐标轴上的角．(3)与角α终边相同的角连同角α在内可以用一个式子来表示，即β＝⑤________________.2．象限角第一象限角的集合⑥________________________第二象限角的集合⑦________________________第三象限角的集合⑧________________________第四象限角的集合⑨________________________3.角的度量(1)弧度制：把等于⑩________长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角．(2)角的度量制有：⑪________制，⑫________制．(3)换算关系：1°＝⑬________rad,1rad＝⑭________.(4)弧长及扇形面积公式：弧长公式为⑮________，扇形面积公式为⑯________________________.4．任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么⑰________叫做α的正弦，记作sinα⑱________叫做α的余弦，记作cosα⑲________叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ⑳________eq\o(○,\s\up1(21))________eq\o(○,\s\up1(22))________Ⅱeq\o(○,\s\up1(23))________eq\o(○,\s\up1(24))________eq\o(○,\s\up1(25))________Ⅲeq\o(○,\s\up1(26))________eq\o(○,\s\up1(27))________eq\o(○,\s\up1(28))________Ⅳeq\o(○,\s\up1(29))________eq\o(○,\s\up1(30))________eq\o(○,\s\up1(31))________口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦三角函数线有向线段eq\o(○,\s\up1(32))________为正弦线有向线段eq\o(○,\s\up1(33))________为余弦线有向线段eq\o(○,\s\up1(34))________为正切线二、必明3个易误点1．易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．利用180°＝πrad进行互化时，易出现度量单位的混用．3．三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sinα＝y，cosα＝x，tanα＝eq\f(y,x)，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).三、技法1.终边在某直线上角的求法4步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π)内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．2．确定kα，eq\f(α,k)(k∈N*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或eq\f(α,k)的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或eq\f(α,k)的终边所在位置.3.应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.4.三角函数定义应用策略(1)已知角α的终边与单位圆的交点坐标，可直接根据三角函数的定义求解．(2)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(3)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义的推广形式求解．(4)已知角α的某三角函数值(含参数)或角α终边上一点P的坐标(含参数)，可根据三角函数的定义列方程求参数值．(5)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．5．三角函数值符号的记忆口诀一全正、二正弦、三正切、四余弦．6．三角函数线的两个主要应用(1)三角式比较大小．(2)解三角不等式(方程).参考答案①正角②负角③零角④象限角⑤k·360°＋α(k∈Z)⑥{α|2kπ＜α＜2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}⑦{α|2kπ＋eq\f(π,2)＜α＜2kπ＋π，k∈Z}⑧{α|2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq\f(3π,2)，k∈Z}⑨{α|2kπ＋eq\f(3π,2)＜α＜2kπ＋2π，k∈Z}⑩半径⑪角度⑫弧度⑬eq\f(π,180)⑭eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°⑮l＝|α|r⑯S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2⑰y⑱x⑲eq\f(y,x)⑳正eq\o(○,\s\up1(21))正eq\o(○,\s\up1(22))正eq\o(○,\s\up1(23))正eq\o(○,\s\up1(24))负eq\o(○,\s\up1(25))负eq\o(○,\s\up1(26))负eq\o(○,\s\up1(27))负eq\o(○,\s\up1(28))正eq\o(○,\s\up1(29))负eq\o(○,\s\up1(30))正eq\o(○,\s\up1(31))负eq\o(○,\s\up1(32))MPeq\o(○,\s\up1(33))OMeq\o(○,\s\up1(34))AT第二节同角三角函数的基本关系及诱导公式一、必记3个知识点1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：①________________.(2)商数关系：②________________.2．三角函数的诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα③______④______⑤______⑥______⑦______余弦cosα⑧______⑨______⑩______⑪______⑫______正切tanα⑬______⑭______⑮______3.特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度数0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(5π,6)πsinα⑯___⑰____eq\f(\r(2),2)⑱____1⑲____⑳____0cosαeq\o(○,\s\up1(21))___eq\o(○,\s\up1(22))____eq\f(\r(2),2)eq\o(○,\s\up1(23))____0eq\o(○,\s\up1(24))____eq\o(○,\s\up1(25))____－1tanαeq\o(○,\s\up1(26))___eq\o(○,\s\up1(27))____1eq\o(○,\s\up1(28))____eq\o(○,\s\up1(29))____eq\o(○,\s\up1(30))____0二、必明2个易误点1．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．2．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．三、技法1.利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤2．利用诱导公式化简三角函数的要求(1)化简过程是恒等变形；(2)结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的求出值.3.同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论.4.已知角α的正切值，求由sinα和cosα构成的代数式的值，构成的代数式通常是分式齐次式或整式齐次式．(1)形如eq\f(asinα＋bcosα,csinα＋dcosα)的分式，可将分子、分母同时除以cosα；形如eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,dsin2α＋esinαcosα＋fcos2α)的分式，可将分子、分母同时除以cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值．(2)形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，可将其看成分母为1的分式，再将1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如eq\f(asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α,sin2α＋cos2α)的分式求解.5.在同角三角函数的基本关系中，sin2α＋cos2α＝1可变换成(sinα＋cosα)2－2sinαcosα＝1，其中sinα＋cosα与sinα·cosα很容易与一元二次方程的根与系数的关系产生联系．若以sinα，cosα为两根构造一元二次方程，则可利用上述关系解决相关问题．如本题中，易知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－eq\f(1,5)x－eq\f(12,25)＝0的两个实数根，解方程可求出sinθ和cosθ.6.同角三角函数式化简过程中常用的方法：(1)对于含有根号的，常把被开方数(式)去根号达到化简的目的；(2)化切为弦，从而减少函数名称，达到化简的目的；(3)对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的.参考答案①sin2α＋cos2α＝1②tanα＝eq\f(sinα,cosα)③－sinα④－sinα⑤sinα⑥cosα⑦cosα⑧－cosα⑨cosα⑩－cosα⑪sinα⑫－sinα⑬tanα⑭－tanα⑮－tanα⑯0⑰eq\f(1,2)⑱eq\f(\r(3),2)⑲eq\f(\r(3),2)⑳eq\f(1,2)eq\o(○,\s\up1(21))1eq\o(○,\s\up1(22))eq\f(\r(3),2)eq\o(○,\s\up1(23))eq\f(1,2)eq\o(○,\s\up1(24))－eq\f(1,2)eq\o(○,\s\up1(25))－eq\f(\r(3),2)eq\o(○,\s\up1(26))0eq\o(○,\s\up1(27))eq\f(\r(3),3)eq\o(○,\s\up1(28))eq\r(3)eq\o(○,\s\up1(29))－eq\r(3)eq\o(○,\s\up1(30))－eq\f(\r(3),3)第三节三角函数的图象与性质一、必记2个知识点1．周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有①________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．②________________叫做这个函数的周期．(2)最小正周期，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个③________________，那么这个④________________就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域x∈Rx∈R{x|x∈R且x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z}值域⑤____________⑥____________⑦__________单调性⑧______________上递增，k∈Z；⑨______________上递减，k∈Z⑩______________上递增，k∈Z；⑪______________上递减，k∈Z⑫____________上递增，k∈Z最值x＝⑬__________时，ymax＝1(k∈Z)；x＝⑭__________时，ymin＝－1(k∈Z)x＝⑮________时，ymax＝1(k∈Z)；x＝⑯________时，ymin＝－1(k∈Z)无最值奇偶性⑰________⑱________⑲________对称性对称中心：⑳______________对称中心：eq\o(○,\s\up1(21))____________对称中心：eq\o(○,\s\up1(22))__________对称轴l：eq\o(○,\s\up1(23))______________对称轴l：eq\o(○,\s\up1(24))____________无周期性eq\o(○,\s\up1(25))____________eq\o(○,\s\up1(26))____________eq\o(○,\s\up1(27))____________二、必明2个易误点1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易受基本函数影响，遗漏问题的多解，同时也可能忽视“k∈Z”这一条件．三、技法1.求与三角函数有关的函数定义域的基本方法是“数形结合”，也就是在求这类函数定义域时，往往需要解有关的三角不等式，而解三角不等式的方法是：要么利用正、余弦曲线，正切曲线，要么利用单位圆等图形的直观形象来解决问题.2.三角函数最值或值域的三种求法(1)直接法：利用sinx，cosx的值域．(2)化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sinx或cosx看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题.3.奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断y＝Asinωx和y＝Acosωx分别为奇函数和偶函数．(2)周期性：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为eq\f(2π,ω)，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为eq\f(π,ω)求解．4．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间.参考答案①f(x＋T)＝f(x)②T③最小正数④最小正数⑤{y|－1≤y≤1}⑥{y|－1≤y≤1}⑦R⑧eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))⑨eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))⑩[(2k－1)π，2kπ]⑪[2kπ，(2k＋1)π]⑫eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))⑬eq\f(π,2)＋2kπ⑭－eq\f(π,2)＋2kπ⑮2kπ⑯π＋2kπ⑰奇函数⑱偶函数⑲奇函数⑳(kπ，0)，k∈Zeq\o(○,\s\up1(21))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Zeq\o(○,\s\up1(22))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))，k∈Zeq\o(○,\s\up1(23))x＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Zeq\o(○,\s\up1(24))x＝kπ，k∈Zeq\o(○,\s\up1(25))2πeq\o(○,\s\up1(26))2πeq\o(○,\s\up1(27))π第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用一、必记3个知识点1．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的步骤2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示．x－eq\f(φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ⑦____⑧____⑨____eq\o(○,\s\up1(10))____⑪____y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.简谐振动y＝Asin(ωx＋φ)中的有关物理量y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝⑫____f＝⑬______＝⑭______ωx＋φφ二、必明3个易误点1．函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．3．由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(φ,ω)))，而不是|φ|.三、技法1.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法五点法设z＝ωx＋φ，由z取0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变换法由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”[提醒]平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值.2.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝eq\f(M－m,2)，B＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ，常用方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.3.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数．(2)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)具有周期性，其最小正周期为T＝eq\f(2π,ω).(3)单调性：根据y＝sint和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由eq\f(π,2)＋2kπ≤ωx＋φ≤eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．(4)对称性：利用y＝sinx的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求得对称中心坐标．利用y＝sinx的对称轴为x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)得其对称轴方程.参考答案①|φ|②eq\f(1,ω)③eq\f(1,ω)④eq\f(|φ|,ω)⑤A⑥A⑦0⑧eq\f(π,2)⑨π⑩eq\f(3π,2)⑪2π⑫eq\f(2π,ω)⑬eq\f(1,T)⑭eq\f(ω,2π)第五节三角恒等变换一、必记3个知识点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式名称公式简记符号使用条件两角和的余弦cos(α＋β)＝①________________C(α＋β)α，β∈R两角差的余弦cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC(α－β)两角和的正弦sin(α＋β)＝②____________S(α＋β)α，β∈R两角差的正弦sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβS(α－β)两角和的正切tan(α＋β)＝③______________T(α＋β)α，β，α＋β≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)两角差的正切tan(α－β)＝④______________T(α－β)α，β，α－β≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)2.二倍角的正弦、余弦、正切公式记法公式S2αsin2α＝⑤____________C2αcos2α＝⑥____________T2αtan2α＝⑦____________3.与二倍角有关的公式变形(1)2sinαcosα＝sin2α，sinαcosα＝eq\f(1,2)sin2α，cosα＝eq\f(sin2α,2sinα)，cos2α－sin2α＝cos2α，eq\f(2tanα,1－tan2α)＝tan2α.(2)1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.(3)降幂公式：cos2α＝⑧________________.sin2α＝⑨________________.二、必明2个易误点1．实施简单的三角恒等变换首先要准确记忆相关的三角公式．由于本章三角公式多，记错、记混三角公式是屡见不鲜的．2．凡是涉及“开平方”的问题，必须注意符号的选取，而符号的选取最终取决于角的范围．如果不能确定，则要进行分类讨论，防止丢解．三、技法1.三角函数公式的应用策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.2.三角函数公式活用技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用3.利用角的变换求三角函数值的策略(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式．(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(3)常见的角变换技巧：α＝2·eq\f(α,2)；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝eq\f(1,2)[(α＋β)＋(α－β)]；β＝eq\f(1,2)[(α＋β)－(α－β)]；eq\f(π,4)＋α＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α)).(4)特殊角的拆分：eq\f(7π,12)＝eq\f(π,3)＋eq\f(π,4)，eq\f(5π,12)＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,6)，eq\f(π,12)＝eq\f(π,3)－eq\f(π,4).4.(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则(2)三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．如“考点一”第2题.5.三角函数求值的3类求法(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.6.求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式．(2)利用公式T＝eq\f(2π,ω)(ω＞0)求周期．(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为二次函数的最值．(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间.特别注意：常见方法与技巧：1．巧用公式变形：和差角公式变形：tanx±tany＝tan(x±y)·(1∓tanx·tany)；倍角公式变形：降幂公式cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，配方变形：1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2，1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．失误与防范：1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．参考答案①cosαcosβ－sinαsinβ②sinαcosβ＋cosαsinβ③eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)④eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)⑤2sinαcosα⑥cos2α－sin2α⑦eq\f(2tanα,1－tan2α)⑧eq\f(1＋cos2α,2)⑨eq\f(1－cos2α,2)第六节正弦定理和余弦定理一、必记3个知识点1．正弦定理①____________________，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)abc＝②______________________；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，③________；(3)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝④________等形式，以解决不同的三角形问题．2．余弦定理a2＝⑤________________，b2＝⑥____________________，c2＝⑦________________________.余弦定理可以变形为：cosA＝⑧________________，cosB＝⑨____________________，cosC＝⑩________________.3．三角形面积公式S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.二、必明2个易误点1．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．三、技法1.解三角形(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.2.应用正、余弦定理转化边角关系的技巧技巧解读边化角将表达式中的边利用公式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC化为角的关系．角化边将表达式中的角利用公式转化为边，出现角的正弦值用正弦定理转化．和积互化a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc(1＋cosA)．可联系已知条件，利用方程思想进行求解三角形的边3.利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的