内蒙古通辽市库伦旗2025届九上数学期末达标检测试题含解析

内蒙古通辽市库伦旗2025届九上数学期末达标检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题(每小题3分,共30分)1．若△ABC∽△ADE，若AB=6，AC=4,AD=3，则AE的长是（）A．1 B．2 C．1.5 D．32．若二次函数的图象经过点（﹣1，0），则方程的解为（）A．， B．， C．， D．，3．抛物线的对称轴是（）A．直线 B．直线C．直线 D．直线4．化简的结果是（）A． B． C． D．5．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（）A． B． C． D．6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90º，AH是高，AM是中线，那么在结论①∠B=∠BAM，②∠B=∠MAH，③∠B=∠CAH中错误的个数有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个7．如果，那么下列各式中不成立的是（）A．； B．； C．； D．8．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A．摸出的是3个白球 B．摸出的是3个黑球C．摸出的是2个白球、1个黑球 D．摸出的是2个黑球、1个白球9．已知一斜坡的坡比为，坡长为26米，那么坡高为（）A．米 B．米 C．13米 D．米10．某校为了了解九年级学生的体能情况，随机抽取了名学生测试1分钟仰卧起坐的次数，统计结果并绘制成如图所示的频数分布直方图．已知该校九年级共有名学生，请据此估计，该校九年级分钟仰卧起坐次数在次之间的学生人数大约是（）A． B．C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．计算：__________.12．已知线段c是线段、的比例中项，且，，则线段c的长度为______．13．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心，其中结论正确的是________(只需填写序号)．14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥EF，EF分别与AB，AC，CD相交于点E，M，F，若EM：BC＝2：5，则FC：CD的值是_____．15．一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→（1，0）→…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是__________16．如图，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为_____．17．直线y＝k1x＋b与双曲线y＝交于A、B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式k1x＋b＜的解集是_______．18．如图，在平面直角坐标系中，已知▱OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，2），C（1，2），以坐标原点O为位似中心，将▱OABC放大3倍，得到▱ODEF，则点E的坐标是_____．三、解答题(共66分)19．（10分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；……依次类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形，如图1，平行四边形中，若，则平行四边形为1阶准菱形．（1）判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是__________阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形沿着折叠（点在上）使点落在边上的点，得到四边形，请证明四边形是菱形．（2）操作、探究与计算：①已知平行四边形的邻边分别为1，裁剪线的示意图，并在图形下方写出的值；②已知平行四边形的邻边长分别为，满足，请写出平行四边形是几阶准菱形．20．（6分）已知是一张直角三角形纸片，其中，，小亮将它绕点逆时针旋转后得到，交直线于点.（1）如图1，当时，所在直线与线段有怎样的位置关系？请说明理由.（2）如图2，当，求为等腰三角形时的度数.21．（6分）已知：在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象交于点.（1）求，的值；（2）求二次函数图象的对称轴和顶点坐标.22．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=17，CD=10，∠A=90°，cosB=，求AD的长．23．（8分）如图，在⊙O中，点D是⊙O上的一点，点C是直径AB延长线上一点，连接BD，CD，且∠A＝∠BDC．（1）求证：直线CD是⊙O的切线；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长．24．（8分）已知：直线与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y＝x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线AE下方抛物线上一动点，求△PAE面积的最大值；（3）动点Q在x轴上移动，当△QAE是直角三角形时，直接写出点Q的坐标；（4）若点M在y轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、E、M、F为顶点的平行四边形，若存在直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）如图，△ABC是等腰三角形，且AC＝BC，∠ACB＝120°，在AB上取一点O，使OB＝OC，以点O为圆心，OB为半径作圆，过点C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD(1)猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；(2)试判断四边形BOCD的形状，并证明你的判断；(3)已知AC＝6，求扇形OBC所围成的圆锥的底面圆的半径r.26．（10分）如图，四边形内接于⊙，是⊙的直径，，垂足为，平分．（1）求证：是⊙的切线；（2）,，求的长．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据相似三角形的性质，由，即可得到AE的长.【详解】解：∵△ABC∽△ADE，∴，∵AB=6，AC=4，AD=3，∴，∴；故选择：B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质.2、C【详解】∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），∴方程一定有一个解为：x=﹣1，∵抛物线的对称轴为：直线x=1，∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），∴方程的解为：，．故选C．考点：抛物线与x轴的交点．3、C【解析】用对称轴公式即可得出答案．【详解】抛物线的对称轴，故选：C．【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，熟记对称轴公式是解题的关键.4、B【解析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可.【详解】a2•a4=a2+4=a1．故选：B.5、C【分析】根据相似三角形的判定定理求出△ABP∽△PCD，再根据相似三角形对应边的比等于相似比的平方解答．【详解】∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°，∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴，∵AB=BC=3，BP=1，∴PC=2，∴，∴CD=，故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.6、B【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质得出∠B＝∠BAM，根据已知条件判断∠B＝∠MAH不一定成立；根据三角形的内角和定理及余角的性质得出∠B＝∠CAH．【详解】①∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AH是高，AM是中线，∴AM＝BM，∴∠B＝∠BAM，①正确；②∵∠B＝∠BAM，不能判定AM平分∠BAH，∴∠B＝∠MAH不一定成立，②错误；③∵∠BAC＝90°，AH是高，∴∠B＋∠BAH＝90°，∠CAH＋∠BAH＝90°，∴∠B＝∠CAH，③正确．故选：B．【点睛】本题主要考查对直角三角形斜边上的中线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能根据这些性质进行推理是解此题的关键．7、D【解析】试题分析：由题意分析可知：A中，，故不选A；B中，，故不选;C中，；D中，，故选D考点：代数式的运算点评：本题属于对代数式的基本运算规律和代数式的代入分析的求解8、A【解析】由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B.9、C【分析】根据坡比算出坡角,再根据坡角算出坡高即可.【详解】解：设坡角为∵坡度∴.∴.坡高=坡长.故选：C.【点睛】本题考查三角函数的应用,关键在于理解题意,利用三角函数求出坡角.10、B【分析】用样本中次数在30～35次之间的学生人数所占比例乘以九年级总人数可得．【详解】解：该校九年级1分钟仰卧起坐次数在30～35次之间的学生人数大约是×150=25（人），故选：B．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简三个考点，在计算时需要针对每个考点分别进行计算，然后再进行加减运算即可.【详解】3-4-1=-2.故答案为：-2.【点睛】本题考查的是实数的运算能力，注意要正确掌握运算顺序及运算法则.12、6【解析】根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积.所以c2=4×9,解得c=±6(线段是正数,负值舍去)，故答案为6.13、②③【解析】试题分析：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CF⊥AB，∴∠AEP=90°，∴∠ADB=∠AEP，又∠PAE=∠BAD，∴△APE∽△ABD，∴∠ABD=∠APE，又∠APE=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；由AB是直径，则∠ACQ=90°，如果能说明P是斜边AQ的中点，那么P也就是这个直角三角形外接圆的圆心了．Rt△BQD中，∠BQD=90°-∠6，Rt△BCE中，∠8=90°-∠5，而∠7=∠BQD，∠6=∠5，所以∠8=∠7，所以CP=QP；由②知：∠3=∠5=∠4，则AP=CP；所以AP=CP=QP，则点P是△ACQ的外心，选项③正确．则正确的选项序号有②③．故答案为②③．考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．三角形的外接圆与外心；4．相似三角形的判定与性质．14、3【解析】首先得出△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，进而利用相似三角形的性质求出即可．【详解】∵AD∥BC∥EF，∴△AEM∽△ABC，△CFM∽△CDA，∵EM：BC=2：5，∴AMAC设AM=2x，则AC=5x，故MC=3x，∴CMAC故答案为：35【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，得出AMAC15、(5,0)【详解】解：跳蚤运动的速度是每秒运动一个单位长度，（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）用的秒数分别是1秒，2秒，3秒，到（2，0）用4秒，到（2，2）用6秒，到（0，2）用8秒，到（0，3）用9秒，到（3，3）用12秒，到（4，0）用16秒，依此类推，到（5，0）用35秒．故第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（5，0）．16、1【分析】直接利用切线长定理得出AD＝AF＝3，BD＝BE＝5，FC＝EC，再结合勾股定理得出FC的长，进而得出答案．【详解】解：∵Rt△ABC的内切圆⊙I分别与斜边AB、直角边BC、CA切于点D、E、F，AD＝3，BD＝5，∴AD＝AF＝3，BD＝BE＝5，FC＝EC，设FC＝EC＝x，则（3+x）2+（5+x）2＝82，整理得，x2+8x﹣5＝0，解得：（不合题意舍去），则，故Rt△ABC的面积为故答案为1．【点睛】本题考查了切线长定理和勾股定理，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握切线长定理的相关内容，找到线段之间的关系.17、0＜x＜1或x＞1．【分析】根据函数图象，可得一次函数图象在上方的部分，可得答案【详解】解：∵直线y=k1x+b与双曲线y=交于A、B两点，其横坐标分别为1和1，

∴不等式k1x+b＜的解集是0＜x＜1或x＞1．故答案为：0＜x＜1或x＞1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象在下方的部分是不等式的解集．18、（12，6）或（-12，-6）【分析】根据平行四边形的性质、位似变换的性质计算，得到答案．【详解】以坐标原点O为位似中心，将▱OABC放大3倍，得到▱ODEF∵点B的坐标为（4，2），且点B的对应点为点E∴点E的坐标为（4×3，2×3）或（-4×3，-2×3）即：（12，6）或（-12，-6）故答案为：（12，6）或（-12，-6）．【点睛】本题考查了位似和平行四边形的知识；求解的关键是熟练掌握位似的性质，从而完成求解．三、解答题(共66分)19、（1）①2，②证明见解析；（2）①见解析，②▱ABCD是10阶准菱形．【解析】（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；

②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；

（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；

②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD是几阶准菱形．【详解】解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，

故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；

故答案为：2；

②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE∥BF，

∴∠AEB=∠FBE，

∴∠AEB=∠ABE，

∴AE=AB，

∴AE=BF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴四边形ABFE是菱形；

（2）①如图所示：

，

②答：10阶菱形，

∵a=6b+r，b=5r，

∴a=6×5r+r=31r；

如图所示：

故▱ABCD是10阶准菱形．【点睛】此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．20、（1）BD与FM互相垂直，理由见解析；（2）β的度数为30°或75°或120°．【分析】（1）由题意设直线BD与FM相交于点N，即可根据旋转的性质判断直线BD与线段MF垂直；（2）根据旋转的性质得∠MAD=β，分类讨论：当KA=KD时，根据等腰三角形的性质得∠KAD=∠D=30°，即β=30°；当DK=DA时，根据等腰三角形的性质得∠DKA=∠DAK，然后根据三角形内角和可计算出∠DAK=75°，即β=75°；当AK=AD时，根据等腰三角形的性质得∠AKD=∠D=30°，然后根据三角形内角和可计算出∠KAD=120°，即β=120°．【详解】解：（1）BD与FM互相垂直，理由如下设此时直线BD与FM相交于点N∵∠DAB=90°，∠D=30°∴∠ABD=90°-∠D=60°，∴∠NBM=∠ABD=60°由旋转的性质得△ADB≌△AMF,∴∠D=∠M=30°∴∠MNB=180°-∠M-∠NBM=180°-30°-60°=90°∴BD与FM互相垂直（2）当KA=KD时，则∠KAD=∠D=30°，即β=30°；当DK=DA时，则∠DKA=∠DAK，∵∠D=30°，∴∠DAK=（180°﹣30°）÷2=75°，即β=75°；当AK=AD时，则∠AKD=∠D=30°，∴∠KAD=180°﹣30°﹣30°=120°，即β=120°，综上所述，β的度数为30°或75°或120°．【点睛】本题考查作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．应用分类讨论思想和等腰三角形的性质是解决问题的关键．21、（1），;（2）对称轴为直线，顶点坐标.【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得m的值，得出A点坐标，再代入二次函数解析式可得c；（2）将（1）中得出的二次函数的解析式化为顶点式可求得其顶点坐标和对称轴．【详解】解：（1）∵点A在一次函数图象上，∴m=-1-4=-5，∵点A在二次函数图象上，∴-5=-1-2+c，解得c=-2；（2）由（1）可知二次函数的解析式为：，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,-1)．【点睛】本题考查的知识点是一次函数的性质以及二次函数的性质，熟记各知识点是解此题的关键．22、AD=1．【解析】根据圆内接四边形的对角互补得出∠C=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=2．解Rt△AEB，得出BE=AB•cos∠ABE=，AE=，那么AF=AE-EF=．再证明∠ABC+∠ADF=90°，根据互余角的互余函数相等得出sin∠ADF=cos∠ABC=．解Rt△ADF，即可求出AD==1．【详解】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=90°，∴∠C=180°-∠A=90°，∠ABC+∠ADC=180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF=CD=2．在Rt△AEB中，∵∠AEB=90°，AB=17，cos∠ABC=，∴BE=AB•cos∠ABE=，∴AE=，∴AF=AE-EF=．∵∠ABC+∠ADC=180°，∠CDF=90°，∴∠ABC+∠ADF=90°，∵cos∠ABC=，∴sin∠ADF=cos∠ABC=．在Rt△ADF中，∵∠AFD=90°，sin∠ADF=，∴AD=．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，求出AF=以及sin∠ADF=是解题的关键．23、（1）见解析；（2）MN＝2.【解析】（1）如图，连接OD．欲证明直线CD是⊙O的切线，只需求得∠ODC＝90°即可；（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，根据勾股定理可求得MN的长．【详解】（1）证明：如图，连接OD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠A+∠ABD＝90°，又∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠A＝∠BDC；∴∠CDB+∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°．∵OD是圆O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM，又∵∠A＝∠BDC，∴∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，∵∠ADB＝90°，DM＝2，∴DN＝DM＝2，∴MN＝＝2．【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、角平分线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径是解本题的关键．24、（1）；（2）；（3）或；（4）存在，【分析】（1）求出点A坐标后再利用待定系数法求解；（2）先联立直线与抛物线的解析式求出点E坐标，然后过点P作y轴的平行线交抛物线于点N，如图，设点P的横坐标为m，则PN的长可与含m的代数式表示，而△PAE的面积==，于是求△PAE面积的最大值转化为求PN的最大值，再利用二次函数的性质求解即可；（3）先求出AE的长，再设出P点的坐标，然后分三种情况利用勾股定理得到有关P点的横坐标的方程，解方程即可；（4）分两种情况讨论：若AE为对角线，则AM∥EF，由于过点E与y轴平行的直线与抛物线再无交点，故此种情况不存在；若AE为边，根据平行四边形的性质可设M（0，n），则F（6，n+3）或（﹣6，n－3），然后代入抛物线的解析式求解即可．【详解】解：（1）∵直线与y轴交于A，∴A点的坐标为（0，2），又∵B点坐标为（1，0），∴解得：∴；（2）根据题意得：，解得：或，∴A（0，2），E（6，5），过点P作y轴的平行线交抛物线于点N，如图，设P（m，）则N（m，）则PN=（）－（）=（0<m<6），=+==，∴==，∴当m=3时，△PAE面积有最大值；（3）∵A（0，2），E（6，5），∴AE＝3，设Q（x，0），则AQ2=x2+4，EQ2＝(x﹣6)2+25，①若Q为直角顶点，则AQ2+EQ2＝AE2，即x2+4+(x﹣6)2+25＝45，此时方程无解，故此时不存在x的值；②若点A为直角顶点，则AQ2+AE2＝EQ2，即x2+4+45＝(x﹣6)2+25，解得：x＝1，即Q（1，0）；③若E为直角顶点，则AQ2＝AE2+EQ2，即x2+4＝45+(x﹣6)2+25，解得：x＝，即Q（，0）；∴Q（1，0）或（，0）；（4）若AE为对角线，则AM∥EF，由于过点E与y轴平行的直线与抛物线再无交点，故此时不存在符合题意的点M；若AE为边，设M（0，n），则F（6，n+3）或（﹣6，n－3），当F（6，n+3）时，此时点E、F重合，不合题意；当F（﹣6，n－3）时，n－3=，解得：n=38，此时点M坐标为（0，38）；综上，存在点M，使以A、E、M、F为顶点的平行四边形，且点M的坐标是（0，38）．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求抛物线的解析式、二次函数的图象与性质、两函数的交点、一元二次方程的解法、勾股定理以及平行四边形的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，属于中考压轴题，熟练掌握上述知识、灵活应用