辽宁省2022-2023学年九年级数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD·BC＝DE·AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有()A．1个 B．2 C．3个 D．4个2．下列说法正确的是（）A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等C．明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的时间降雨D．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖3．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，若∠ACB=30°，则∠DAC的度数是()A． B． C． D．4．小丽参加学校“庆元旦，迎新年演唱比赛，赛后小丽把七位评委所合的分数进行处理，得到平均数、中位数，众数，方差，如果把这七个数据去掉一个最高分和一个最低分，则数据一定不发发生变化的是（）A．平均数 B．众数 C．方差 D．中位数5．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是()A． B．C． D．6．在中，，则的正切值为（）A． B． C． D．7．抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，连结DE．且DE＝，则弦BC的长为（）A． B．2 C．3 D．9．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是()A．q<16 B．q>16C．q≤4 D．q≥410．一个直角三角形的两直角边分别为x，y，其面积为1，则y与x之间的关系用图象表示为（）A． B．C． D．11．下列关于x的方程是一元二次方程的有（）①ax2+bx+c=0②x2=0③④A．②和③ B．①和② C．③和④ D．①和④12．如图，在平面直角坐标系中，直线l的表达式是，它与两坐标轴分别交于C、D两点，且∠OCD＝60º，设点A的坐标为（m，0），若以A为圆心，2为半径的⊙A与直线l相交于M、N两点，当MN=时，m的值为（）A． B． C．或 D．或二、填空题（每题4分，共24分）13．将二次函数y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x+m）2+k的形式是_____．14．如图，小杨沿着有一定坡度的坡面前进了5米，这个坡面的坡度为1:2，此时他与水平地面的垂直距离为____米.15．二次函数y=+2的顶点坐标为．16．若点，在反比例函数的图象上，则______.（填“>”“<”或“=”）17．如图，是的中线，点在延长线上，交的延长线于点，若，则___________.18．将函数y=5x2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应函数的表达式为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图1，过原点的抛物线与轴交于另一点，抛物线顶点的坐标为，其对称轴交轴于点.（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使面积最大时点的坐标；（3）在对称轴上是否存在点，使得点关于直线的对称点满足以点、、、为顶点的四边形为菱形.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.20．（8分）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：）21．（8分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB的长(≈1.73)．22．（10分）先化简，再求代数式的值，其中23．（10分）（操作发现）如图①，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．（1）请按要求画图：将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为B′，点C的对应点为C′，连接BB′；（2）在（1）所画图形中，∠AB′B=____．（问题解决）（3）如图②，在等边三角形ABC中，AC=7，点P在△ABC内，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面积．小明同学通过观察、分析、思考，对上述问题形成了如下想法：想法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；想法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．…请参考小明同学的想法，完成该问题的解答过程．（一种方法即可）24．（10分）如图所示，是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱的高为10米，灯柱与灯杆的夹角为.路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域的长为13.3米，从，两处测得路灯的仰角分别为和，且.求灯杆的长度.25．（12分）甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．（1）若已确定甲打第一场，再从其余3位同学中随机选取1位，则恰好选中乙同学的概率是．（2）请用画树状图或列表的方法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．26．如图1，在△ABC中，AB＝BC＝20，cosA＝，点D为AC边上的动点（点D不与点A，C重合），以D为顶点作∠BDF＝∠A，射线DE交BC边于点E，过点B作BF⊥BD交射线DE于点F，连接CF．（1）求证：△ABD∽△CDE；（2）当DE∥AB时（如图2），求AD的长；（3）点D在AC边上运动的过程中，若DF＝CF，则CD＝．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】解：①由∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；②DE∥BC，则有∠AED=∠C，∠ADE=∠B，则可判断△ADE∽△ACB；③＝，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；④AD·BC＝DE·AC，可化为，此时不确定∠ADE=∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；⑤由∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB；所以能满足△ADE∽△ACB的条件是：①②③⑤，共4个，故选：D．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的三种判定定理．2、B【分析】根据概率的求解方法逐一进行求解即可得.【详解】A.无论一颗质地均匀的骰子多少次，每次抛掷出5点的概率都是，故A错误；B.抛掷一枚图钉，因为图钉质地不均匀，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，故B正确；C.明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的可能性降雨，故C错误D.某种彩票中奖的概率是1%，表明中奖的概率为1%，故D错误故答案为：B.【点睛】本题考查了对概率定义的理解，熟练掌握是解题的关键.3、D【详解】由题意知：△ABC≌△DEC，∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，∴∠DAC=（180°−∠DCA）÷2=（180°−30°）÷2=75°．故选D．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．4、D【分析】根据中位数的定义即位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数进行分析即可．【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，故选：D．【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度较小．5、D【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．6、B【解析】根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，∴∠B的正切值为=，故选B.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．7、B【分析】先从二次函数图像获取信息，运用二次函数的性质一—判断即可．【详解】解：∵二次函数与x轴有两个交点，∴b2-4ac>0，故①错误；∵抛物线与x轴的另一个交点为在（0，0）和（1，0）之间，且抛物线开口向下，∴当x=1时,有y=a+b+c＜0，故②正确;∵函数图像的顶点为（-1，2）∴a-b+c=2，又∵由函数的对称轴为x=-1，∴=-1,即b=2a∴a-b+c=a-2a+c=c-a=2，故③正确；由①得b2-4ac>0，则ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，故④错误；综上，正确的有两个．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，从二次函数图像上获取有用信息和灵活运用数形结合思想是解答本题的关键．8、C【分析】由垂径定理可得AD＝BD，AE＝CE，由三角形中位线定理可求解．【详解】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴AD＝BD，AE＝CE，∴BC＝2DE＝2×＝3故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的中位线定理，垂径定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．9、A【解析】∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，∴△>0，即82-4q>0，∴q<16，故选A.10、C【解析】试题分析：根据题意有：xy=2；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据xy实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限，即可判断得出答案．解：∵xy=1∴y=（x＞0，y＞0）．故选C．考点：反比例函数的应用；反比例函数的图象．11、A【解析】根据一元二次方程的定义进行解答即可．【详解】①ax2+bx+c=0，当a=0时，该方程不是一元二次方程；②x2=0符合一元二次方程的定义；③符合一元二次方程的定义；④是分式方程．综上所述，其中一元二次方程的是②和③．故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．12、C【分析】根据题意先求得、的长，分两种情况讨论：①当点在直线l的左侧时，利用勾股定理求得，利用锐角三角函数求得，即可求得答案；②当点在直线l的右侧时，同理可求得答案.【详解】令，则，点D的坐标为，∵∠OCD＝60º，∴，分两种情况讨论：①当点在直线l的左侧时：如图，过A作AG⊥CD于G，∵，MN=，∴，∴，在中，∠ACG＝60º，∴，∴，∴，②当点在直线l的右侧时：如图，过A作AG⊥直线l于G，∵，MN=，∴，∴，在中，∠ACG＝60º，∴，∴，∴，综上：m的值为：或.故选：C．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，锐角三角函数，分类讨论、构建合适的辅助线是解题的关键.二、填空题（每题4分，共24分）13、y＝（x﹣3）2﹣1【分析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案．【详解】y=x2﹣6x+8=x2﹣6x+9﹣1=(x﹣3)2﹣1．故答案为：y=(x﹣3)2﹣1．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，正确配方是解答本题的关键．14、【分析】设BC＝x，则AB＝2x，再根据勾股定理得到x2+（2x）2=52，再方程的解即可．【详解】如图所示：设BC＝x，则AB＝2x，依题意得：x2+（2x）2=52解得x=或x=-（舍去）．故答案为：．【点睛】考查了解直角三角形，解决本题的关键是构造直角三角形利用勾股定理得出．15、（1，2）.【解析】试题分析：由二次函数的解析式可求得答案．∵y=（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2）.故答案为（1，2）．考点：二次函数的性质．16、<【分析】根据反比例的性质，比较大小【详解】∵∴在每一象限内y随x的增大而增大点，在第二象限内y随x的增大而增大∴m<n故本题答案为：<【点睛】本题考查了通过反比例图像的增减性判断大小17、5【分析】过D点作DH∥AE交EF于H点，证△BDH∽△BCE，△FDH∽△FAE，根据对应边成比例即可求解.【详解】过D点作DH∥AE交EF于H点，∴∠BDH=∠BCE，∠BHD=∠BEC,∴△BDH∽△BCE同理可证：△FDH∽△FAE∵AD是△ABC的中线∴BD=DC∴又∴∴∴故答案为：5【点睛】本题考查的是相似三角形，找到两队相似三角形之间的联系是关键.18、y=5（x+2）2+3【分析】根据二次函数平移的法则求解即可.【详解】解：由二次函数平移的法则“左加右减”可知，二次函数y=5x2的图象向左平移2个单位得到y=，由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=的图象向上平移3个单位可得到函数y=，故答案是：y=．【点睛】本题主要考查二次函数平移的法则，其中口诀是：“左加右减”、“上加下减”,注意数字加减的位置.三、解答题（共78分）19、（1）；（2）；（3）点的坐标为或【分析】（1）设出抛物线的顶点式，将顶点C的坐标和原点坐标代入即可；（2）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出AC的解析式，过点作轴交于点，设，则，然后利用“铅垂高，水平宽”即可求出面积与m的关系式，利用二次函数求最值，即可求出此时点D的坐标；（3）先证出为等边三角形，然后根据P点的位置和菱形的顶点顺序分类讨论：①当点与点重合时，易证：四边形是菱形，即可求出此时点P的坐标；②作点关于轴的对称点，当点与点重合时，易证：四边形是菱形，先求出，再根据锐角三角函数即可求出BP，从而求出此时点P的坐标.【详解】（1）解：设抛物线解析式为，∵顶点∴又∵图象过原点∴解出：∴即（2）令，即，解出：或∴设直线AC的解析式为y=kx＋b将点，的坐标代入，可得解得：∴过点作轴交于点，设，则∴∴∴当时，有最大值当时，∴（3）∵，，∴∴∴为等边三角形①当点与点重合时，∴四边形是菱形∴②作点关于轴的对称点，当点与点重合时，∴四边形是菱形∴点是的角平分线与对称轴的交点，∴，∵，.在Rt△OBP中，∴综上所述，点的坐标为或【点睛】此题考查的是二次函数与图形的综合大题，掌握用待定系数法求二次函数的解析式、利用“铅垂高，水平宽”求面积的最值、菱形的判定定理和分类讨论是数学思想是解决此题的关键.20、5.5米【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出关于x的方程，解出即可.【详解】解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，则AD=CD=x.在Rt△BCD中，∠CBD=45°，则BD=CD=x.由题意得，x﹣x=4，解得：.答：生命所在点C的深度为5.5米.21、隧道AB的长约为635m.【分析】首先过点C作CO⊥AB，根据Rt△AOC求出OA的长度，根据Rt△CBO求出OB的长度，然后进行计算.【详解】如图，过点C作CO⊥直线AB，垂足为O，则CO=1500m∵BC∥OB∴∠DCA=∠CAO=60°，∠DCB=∠CBO=45°∴在Rt△CAO中，OA==1500×=500m在Rt△CBO中，OB=1500×tan45°=1500m∴AB=1500－500≈1500－865=635(m)答：隧道AB的长约为635m．考点：锐角三角函数的应用.22、，【分析】先去括号，再算乘法约去公约数，即可完成化简，化简，先算三角函数值，再算乘法，再算减法，再将化简后x的值代入原式求解即可．【详解】原式当时原式【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握整式混合运算的法则是解题的关键．23、（1）如图，△AB′C′即为所求；见解析；（1）45°；（3）S△APC=.【解析】（1）如图所示，△AB′C′即为所求；（1）利用等腰三角形的性质即可解决问题；【问题解决】结论:PA1+PB1=PC1．证法一：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系；证法二：将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，连接PP′，寻找PA，PB，PC三条线段之间的数量关系．【详解】（1）如图，△AB′C′即为所求；（1）∵△ABB′是等腰直角三角形，

∴∠AB′B=45°．

故答案为45°；（3）如图②，∵将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C′，∴△APP′是等边三角形，∠AP′C=∠APB=360°﹣90°﹣110°=150°，∴PP′=AP，∠AP′P=∠APP′=60°，∴∠PP′C=90°，∠P′PC=30°，∴PP′=PC，即AP=PC∵∠APC=90°，∴AP1+PC1=AC1，即（PC）1+PC1=71，∴PC=，∴AP=，∴S△APC=AP•PC=【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，属于中考常考题型．24、2.8米【分析】过点作，交于点，过点作，交于点，则米.设.根据正切函数关系得，可进一步求解.【详解】解：由题意得，.过点作，交于点，过点作，交于点，则米.设.，.在中，，.，..（米）.，.（米）.答：灯杆的长度为2.8米.【点睛】考核知识点：解直角三角形应用.构造直角三角形，利用直角三角形性质求解是关键.25、（1）；（2）【分析】（1）确定甲打第一场，再从乙、丙、丁3位同学中随机选取1位，根据概率的性质分析，即可得到答案；（2）结合题意，根据树状图的性质分析，即可完成求解．【详解】（1）确定甲打第一场∴从其余3位同学中随机选取1位，选中乙同学的概率为故答案为：；（2）树状图如下：共有12种情况，所选2名同学中有甲、乙两位同学的有2种结果∴恰好选中甲、乙两位同学的概率为：．【点睛】本题考查了概率的知识；解题的关键是熟练掌握概率定义和树状图的性质，从而完成求解．26、（1）证明见解析；（2）；（3）1．【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．

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