2023-2024学年河南省开封市高一下学期7月期末数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省开封市高一下学期7月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设复数z满足(z−1)i=−1，则z=(

)A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i2.设α，β为两个平面，则α//β的充要条件是(

)A.α内有无数条直线与β平行 B.α内有两条相交直线与β平行

C.α，β平行于同一条直线 D.α，β垂直于同一平面3.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是(

)A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差4.在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛.假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4.现采用随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率.先由计算机模拟产生1∼5之间的整数随机数，当出现随机数1，2或3时表示甲获胜，出现4，5时表示乙获胜.因为比赛采用了3局2胜制，所以每3个随机数为一组，代表3局的结果，经随机模拟产生以下20组随机数：423 123 423 344 114 453 525 332 152 342534 443 512 541 125 432 334 151 314 354据此估计所求概率的值为(

)A.0.3 B.0.35 C.0.6 D.0.655.已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角θ=2πA.13 B.13 C.37 D.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB=bcosA，且a=2，c=3，则A.−34 B.−18 C.7.▱ABCD中，E为CD的中点，BE与对角线AC相交于点F，记AB=a，AD=b，用a，b表示A.13a+23b B.−8.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.已知四面体P−ABC为鳖臑，且PA=AB，AC=BC，记二面角A−PB−C的平面角为θ，则sinθ=(

)A.22 B.33 C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3，则下列说法中正确的是(

)A.如果B⊆A，那么P(A∪B)=0.5

B.如果B⊆A，那么P(AB)=0.3

C.如果A，B互斥，那么P(A∪B)=0.8

D.如果A，B互斥，那么P(AB)=0.1510.已知复数z=cosθ+isinθA.z·z=1 B.|z|=1 C.z211.如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走am到达B处，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高ℎ=(

)

A.asinαsin(γ−β)sin(γ−α) B.a三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a，b，c在网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则(a−b)⋅c=

;13.已知正方体的内切球体积为1，则该正方体的外接球体积为

．14.已知复数z1=m+(4−m2)i(m∈R)，z2=2cosθ+(λ+2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)在一个不透明的盒子中有大小质地完全相同的1个红球和1个白球，从中随机地摸出一个球，观察其颜色后放回.设事件A=“摸球2次出现1次红球”，B=“摸球4次出现2次红球”．(1)分别写出“摸球2次”和“摸球4次”这两个试验的样本空间;(2)猜想P(A)和P(B)的大小关系，并验证你的猜想是否正确．16.(本小题12分)在平面直角坐标系Oxy中，已知向量OA=(1,0)，OB=(2,2)，OC(1)求∠BAC;(2)若|BC|=5，求向量BC在向量OA17.(本小题12分)有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00×10−6的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在一批该鱼中随机抽取30条作为样本，检测其汞含量(乘以百万分之一0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.021.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.681.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 1.65 1.31(1)依据样本数据，补充完成下列频率分布直方图，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点;(2)分别依据样本数据和(1)中频率分布直方图估计这批鱼的汞含量的第60百分位数，得到的结果完全一致吗?为什么?(3)将样本中汞含量最低的两条鱼分别放入相互连通的A、B水池，若这两条鱼的游动相互独立，均有14的概率游入另一个水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率．18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AP=PD=2，AB=11，∠ADC=∠APD=90∘，平面PAD⊥平面(1)证明：AP⊥平面PCD;(2)若E是棱PA的中点，且BE//平面PCD，求异面直线BE与PD所成角的余弦值．19.(本小题12分)

当△ABC内一点P满足条件∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ时，称点P为△ABC的布洛卡点，角θ为△ABC的布洛卡角.如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，点P为△ABC的布洛卡点，其布洛卡角为θ．

(1)证明：2S=(a⋅PB+b⋅PC+c⋅PA)⋅(2)证明：a(3)若a=c，且PC=2PB，求A及tan答案解析1.A

【解析】解：由题意可得

z=−12.B

【解析】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α与β相交或α//β；

对于B，α内有两条相交直线与β平行，则α//β；

对于C，α，β平行于同一条直线，α与β相交或α//β；

对于D，α，β垂直于同一平面，α与β相交或α//β．

故选B．3.A

【解析】解：设9位评委的评分按从小到大排列为x1<x2<x3<x4<⋯<x8<x9．

对于A，原始评分的中位数为x5，去掉最低分x1，最高分x9后，

剩余评分的大小顺序为x2<x3<⋯<x8，中位数仍为x5，故A正确;

对于B，原始评分的平均数x=19(x1+x2+⋯+x9)，

有效评分的平均数4.D

【解析】解：由题意可知，20组随机数中甲获得冠军的有：423，123，423，114，332，

152，342，512，125，432，334，151，314有13组，所以甲获得冠军的频率为1320所以甲获得冠军的概率的近似值约为0.65。5.D

【解析】解：∵

|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角θ=2π3，

∴

|a−b|=

(a−6.B

【解析】解：∵acosB=bcosA，

∴由正弦定理可得sinAcosB=sinBcosA，

变形可得：sin(A−B)=0

∵C为三角形的内角，

∴A=B，所以a=b=2，

∴7.C

【解析】解：如图：因为点E为CD的中点，CD

//

AB，所以BFFE所以BF=故选C．8.C

【解析】解：已知四面体P−ABC为鳖臑，且PA=AB，AC=BC，

所以PA⊥AB，AC⊥BC，

设AC=BC=1，

则PA=AB=2，PB=2，

在△PAC中，PA>AC，若∠ACP=90°，则PC=1，

此时△PBC中三边长分别为PC=1，BC=1，PB=2，不能构成三角形，舍去；

则∠PAC=90°，PC=3，PC⊥BC，∠BPC=30°，∠PBC=60°．

在平面PBC内，过点C作CD⊥PB，垂足为D，

在平面PAB内，过点D作DE⊥PB，交AB于点E，

则∠CDE即为二面角A−PB−C的平面角，

所以CD=PCsin∠BPC=32，BD=BCcos∠PBC=12，

在等腰直角三角形DBE中，DE=BD=12，

在△BCE中，BE=2BD=22，BC=1，9.ABC

【解析】解：对于A，如果B⊆A，则P(A∪B)=P(A)=0.5，故A正确;

对于B，如果B⊆A，则P(AB)=P(B)=0.3，故B正确;

对于C，如果A与B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8，故C正确;

对于D，如果A与B互斥，则P(AB)=0，故D错误

故选ABC．10.ABD

【解析】解：因为z=cosθ+isinθ，z=cosθ−isinθ，

所以可得z⋅z=cosθ+sinθicosθ−sinθi=cos11.AC

【解析】解：在△ABP中，由正弦定理可得，ABsin∠APB=APsin∠ABP，

所以AP=ABsin∠ABP∴PQ=APsinα=asinαsin(γ−β)sin(γ−α)，

过B作BD⊥AQ于点D，则CQ=BD=asinβ，

在△ABP中，由正弦定理可得，ABsin∠APB=BPsin∠BAP，即asin∠APQ−∠BPQ=BPsinα−β，

即故选AC．12.2；3

【解析】解：以a,b交点为坐标原点，沿网格线建立直角坐标系，

则a=(2,1),b=(2,−1),c=(0,1)，

∴a−b=(0,2)，∴(a13.3【解析】解：由正方体的内切球体积为1，正方体内切球的直径是正方体的棱长，设正方体的棱长为a，

则43π·(a2)3=1，得a3=6π，

因为正方体的棱长为a，则其体对角线长为3a14.[−1【解析】解：依题意，m=2cosθ，且4−m2=λ+2sinθ，

即λ=4−4cos2θ−2sinθ=4sin2θ−2sinθ=4(sinθ−14)2−14，

∵−1≤sinθ≤1，

∴当sinθ=15.解：(1)用a表示“取出红球”，b表示“取出白球”，摸球2次，

样本空间为Ω1={aa,ab,ba,bb}，包含4个等可能的样本点;

摸球4次，样本空间为Ω2={aaaa,aaab,aaba,abaa,baaa,aabb,abab,baab,abba,baba,bbaa,abbb,babb,bbab,bbba,bbbb}，

包含16个等可能的样本点;

(2)猜想应该有P(A)>P(B)，A= {ab,ba}，故n(A)=2，

B={aabb,abab,baab,abba,baba,bbaa}，故n(B)=6，

根据古典概型概率计算公式，得P(A)=24=1【解析】(1)用a表示“取出红球”，b表示“取出白球”，摸球2次，然后分别写出样本空间即可;

(2)猜想应该有P(A)>P(B)，然后根据古典概型概率计算公式，得P(A)=24=12，16.解：(1)因为AB=OB−OA=(1,2)，AC=OC−OA=(−2x,x)，

AB⋅AC=−2x+2x=0，又x≠0，所以AB⊥AC，所以∠BAC=π2，

(2)BC=OC−OB=(−2x−1,x−2)，

所以|BC|=(2x+1)2+(x−2)2=5x2+5=5，解之得x=±2，

设向量BC和向量OA的夹角为θ【解析】(1)先得到AB⋅AC=−2x+2x=0，然后利用x≠0，得到AB⊥AC即可，

(2)先得到向量BC在向量OA上的投影向量为：(BC⋅17.解：(1)

汞含量分布偏向于大于1.00×10−6的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于1.00×10−6的区域，

(2)依据样本数据：由60%×30=18，样本数据的第60百分位数为第18，19项数据的平均数，

即1.2+1.262=1.23，所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为1.23×10−6;

依据频率分布直方图：由1.0+0.5×0.6−0.40.8−0.4=1.25，

所以估计这批鱼的汞含量的第60百分位数为1.25×10−6，

两种方式得到的估计结果不一致，但相差不大，

因为在频率分布直方图中已经损失了一些样本信息，

我们无法知道每个组内的数据是如何分布的，此时，通常假设数据在组内均匀分布，

(3)记“两条鱼最终均在A水池”为事件A，则P(A)=1【解析】(1)完成频率分布直方图，然后得到结论；

(2)利用数据，分别计算即可；

(3)记“两条鱼最终均在A水池”为事件A，记“两条鱼最终均在B水池”为事件B，然后得到这两条鱼最终在同一水池的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)即可．18.解：(1)∵平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，

又CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

又∵AP⊂平面PAD，∴AP⊥CD，

又∵AP⊥PD，PD∩CD=D，PD、CD⊂平面PCD，

∴AP⊥平面PCD；

(2)取AD中点，记为F，连接EF，BF，

又∵E为AP中点，∴EF//PD，

∴BE与PD所成角即为BE与EF所成角，

又EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，∴EF//平面PCD，

又∵BE//平面PCD，EF∩BE=E，EF、BE⊂平面BEF，

∴平面BEF//平面PCD，

又平面BEF∩平面ABCD=BF，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴CD//BF，

由(1)知，CD⊥平面PAD，∴BF⊥平面PAD，EF⊂平面PAD，

∴BF⊥EF，BF=AB2−AF2=3，EF=1，BE=EF2+BF2【解析】(1)由面面垂直的性质得CD⊥平面PAD，所以AP⊥CD，又AP⊥PD，由线面垂直的判定即可得证；

(2)易得BE与PD所成角即为BE与EF所成角，计算即可．19.解：(1)证明：