数与式的运算（原卷版）-2021年初升高数学无忧衔接（人教A版2019）

专题01数与式的运算

亚

若敢徐述

初中阶段“从分数到分式”，通过观察、分析、类比，找出分式的本质特征，及它们与分数的相同点和不同

点，进而归纳得出分式的概念及运算性质，我们已经运用的这些思想方法是高中继续学习的法宝.

二次根式是在学习了平方根、立方根等内容的基础上进行的，是对'‘实数"、“整式”等内容的延伸和补充，

对数与式的认识更加完善.二次根式的化简对勾股定理的应用是很好的补充；二次根式的概念、性质、化简

与运算是高中学习解三角形、一元二次方程、数列和二次函数的基础.二次根式是初中阶段学习数与式的最

后一章，是式的变形的终结章.

当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零.

本专题内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如类比的思想（指数幕运算律的推广）、逼近的思想（有理数

指数幕逼近无理数指数基），掌握运算性质，能够区别”与（板）”的异同.

通过与初中所学的知识进行类比，理解分数指数嘉的概念，进而学习指数募的性质，掌握分数指数累和根

式之间的互化，掌握分数指数基的运算性质.

等*

锦程要点

《初中课程要求》1、认识了实数及相关概念，如有理数、无理数；了解了实数具有

顺序性，知道字母表示数的基本代数思想

2、初中会比较简单实数的大小，初步接触作差法

3、理解了多项式与多项式的乘法，熟悉了平方差、完全平方公式,

掌握了不超过三步的数的混合运算

4、掌握了平方根、立方根运算；了解了有理式和无理式的概念；了

解了整数指数基的含义

《高中课程要求》1、高中必修一中常用数集都用了符号表示，同时为数系的扩充打

基础，会运算字母代表数的式子

2、掌握用作差法、作商法来比较实数大小，体会变形过程中的技

巧

3、在高中会常常用到立方和、立方差、三数和的平方的公式，两

数和、差的立方公式.高中有很多混合运算都超过三步

4、必须掌握分子分母有理化的技巧、二次根式的性质根式的大小比

较，会把整数指数累的运算及其性质推广到分数指数累

知钠箱神

高中必备知识点1:绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是

零.即：

a,a>0,

|〃|=<0,Q=0,

-a.Q<0.

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离.

两个数的差的绝对值的几何意义：,-母表示在数轴上，数。和数b之间的距离.

高中必备知识点2：乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

（1）平方差公式（。+份（。一份=。2一6；

（2）完全平方公式（4±〃）2=/±2时+/.

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式（a+b）（“2一而+/）=/+/；

（2）立方差公式（。-与（。2+而+〃）=/一户;

（3）三数和平方公式（a+6+c）~=a~++c~+2（ab+be+ac）；

（4）两数和立方公式（a+bp="+3a%+3/+/；

（5）两数差立方公式（。一份3=/一3。5+3。/一护.

高中必备知识点3：二次根式

一般地，形如布（。？0）的代数式叫做二次根式.根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子

称为无理式.例如+2+»,证+及等是无理式,和&2+拳x+T,x2+42xy+y2,

后等是有理式.

1.分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化.为了进行分母（子）有理化，需要引入

有理化因式的概念.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就

说这两个代数式互为有理化因式，例如V2与V2,3G与,6+«与K-#,2币-3^2

与2坦+36,等等.一般地，°右与J7,a4x+by[y-^）a4x-b^y,a&+b与a&-b互

为有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子

有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中栗运用公式

而出=疯（。20乃20）；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有

理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同

类二次根式.

2.二次根式的意义

a,a>0,

y/a^=同=<

-a,a<0.

高中必备知识点4：分式

I.分式的意义

AAA

形如C.的式子，若8中含有字母，且BHO,则称c•为分式.当M却时，分式C■具有下列性质:

BBB

AAxM

~B~BxM'

AA^M

~B~B^M'

上述性质被称为分式的基本性质.

2.繁分式

a

m+,2+0

像一J,—5―L这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2加

〃+p

7的剧新

高中必备知识点1:绝对值

【典型例题】

阅读下列材料:

我们知道W的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即凶=k-0|,也就是说，W表示在数轴上

数x与数0对应的点之间的距离；这个结论可以推广为卜-勺|表示在数轴上数%与数马对应的点之间的

距离；

例1解方程|X|=2.因为在数轴上到原点的距离为2的点对应的数为±2,所以方程|X|=2的解为x=12.

例2解不等式在数轴上找出|x-i|=2的解(如图)，因为在数轴上到1对应的点的距离等于2

的点对应的数为一1或3,所以方程|x—1|=2的解为x=-l或x=3,因此不等式|犬一1|>2的解集为xV

一1或x>3.

b-'士'"T,

-2-101234

例3解方程|x一1|+|x+2|=5.由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和一2对应的点的距离

之和等于5的点对应的x的值.因为在数轴上1和一2对应的点的距离为3(如图)，满足方程的x对应的点

在1的右边或一2的左边.若x对应的点在1的右边，可得x=2；若x对应的点在一2的左边，可得x=-3,

因此方程|X一1|+口+2|=5的解是x=2或x=-3.

参考阅读材料，解答下列问题：

(1)方程I*+21=3的解为；

(2)解不等式：|x-2|<6；

(3)解不等式：|x-3|+|x+4|29；

(4)解方程：|x-2|+|x+2|+|x-5|=15.

-2012

【变式训练】

实数a、b在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简值+|a-b|—|b-a|.

---------11---►

a0-b

【能力提升】

已知方程组器：广；二的解X、y的值的符号相同.

⑴求a的取值范围；

(2)化简:12a+2]-21a-3|.

高中必备知识点2：乘法公式

【典型例题】

(1丫2

(1)计算：一一+2016°+(—2)3+(—2)2

\2)

(2)化简：(。+2匕)(。一2份一(。一2加2

【变式训练】

计算：

(1)(乃—3.14)°+(—4)2—《)-2

(2)(x—3)2—(x+2)(x—2)

【能力提升】

已知10*=a,5x=b,求：

(1)50、的值；

(2)2、的值；

(3)2(/的值.(结果用含a、b的代数式表示)

高中必备知识点3：二次根式

【典型例题】

计算下面各题.⑴(V6-2715)xV3-6^|;

(2)5/4x+2<2x—Jgx_4A/X

2

【变式训练】

小颖计算后+时,想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算:

解：原式=Ji号+J=+

v3J5

=715x73+715x75

=3小+56.

她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程.

【能力提升】

先化简，再求值：（"?-上）一上半，其中a=&+K，b=6-B

a+ba-ba+b

高中必备知识点4：分式

【典型例题】

先化简，再求值（四—史2）+，其中X满足x2+X-l=0.

xx-\X-2x4-1

【变式训练】

化简：4厂二4xy+），\（4x2—y2）

2x-y

【能力提升】

已知：1-1=2,则卢等之的值等于多少？

ab2a-2b+lab

对点漏■依

1.下列运算正确的是（）

XVX

A.------7=-----B.6+4=厢

xy-yx-y

C.3X3-5必=-2D.8XMX=2X3

2.下列计算结果正确的是（)

321

A.---1---=---B.（X2）3=X5

x—22-xx—2

C.（一孙）5?（-盯）3=_/y2D.3x2y-5xy2=-2xy

x

3.若式子——有意义，则下列说法正确的是（）

X+1

A.x>-l且XNOB.x>-lC.XW—1D.xwo

4.计算刍——L■的结果是（）

a-1a-\

a1

A.3B.0C.------D.

a-\a-\

5.若|〃|=4,|〃|=2,且Q+b的绝对值与相反数相等，则Q—力的值是（）

A.-2B.—6C.-2或-6D.2或6

6.设有理数a、b、c满足a>b>c（ac<0）,且同<问<同，则尸3rH六号1+归+W的最小

值是（）

a-ca+b+2c2a+b+c2a+b-c

A.-------B.--------------C.--------------D.---------------

2222

abcabc

7.如果a,b,c是非零有理数，那么时+网+何+的的所有可能的值为（）.

A.-4，-2，0,2,4B.-4，—2，2，4

C.0D.-4，0,4

8.如图是一个按某种规律排列的数阵：

1J2第1行

J32J5J6第2行

万2j23J10Jn2j3第3行

713J14TH4V173j27192J5第4行

根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n24）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（

）.

A•―]B.\Jrr—2C.y/fi2—3D.\Jn2—4

9.与6（炳-6）最接近的整数是（）

A.3B.4C.5D.6

10.设a为J3+石一，3一&的小数部分,b为^6+36-小6-3&的小数部分,则|-：的值为（

）

A.V6+V2-1B.V6-V2+1C.V6-V2-ID.V6+V2+1

12a-^-3ab-2b

11.H若一一-=3,则分式—————=____.

aba-2ab—b

12.若分式一一X-2的值为零,则X的值为.

X—2

13■已知整数。满足则分式（1一|）.号的值为——

14.计算（2月-0）2的结果等于.

15.计算(夜-1)2+次=_.

16.化简：3a2b\-=_________

V9ab

17.化简,6-而的结果为♦

18.若有理数x,y,z满足(|x+l|+|x-2|)(|y-l|+|y-3|)(|z-3|+|z+3|)=36,则x+2y+3z的最小值

是.

19.已知|x+2|+|l-x|=9-J(y-5)2-"(1+4,则》+丁的最小值为

20.已知式子|x+l|+|x-2|+|y+3|+|y-4|=10,则x+y的最小值是

21.(1)计算：(-2)°+|V3-2|-^一(—2＞；

（2）先化简，再求值：展+二1

其中x=—l.

\x+2x-2X2-4

22.计算：6(6-1)+2-国.

23.已知a,b,c满足|a+3|+8万+(c—5)2=(),请回答下列问题:

（1）直接写出a,b,c的值.a=,b=,c=.并在数轴上表示.

（2）a,b,c所对应的点分别为A,8,C,若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长

度向左运动；

①运动1.5秒后，A,C两点相距几个单位长度.

②几秒后，4C两点之间的距离为4个单位长度.

24.同学们都知道，|4-(-2)|表示4与-2的差的绝对值，实际上也可理解为4与-2两数在数轴上所对应

的两点之间的距离：问理|》-3］也可理解为X与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：

(1)14-(-2)1=.

(2)找出所有符合条件的整数X,使|九一4|+|%+2|=6成立，并说明理由

(3)由以上探索猜想，对于任何有理数X,