排列与排列数

3.1.2排列与排列数

教材分析

本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第二册》，第三章《排列、组合与二项式定

理》，本节课主要学习排列与排列数。

排列与组合是在学习了两个计数原理之后，由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个

计数原理为基础，同时排列和组合又能进一步简化和优化计数问题。教学的重点是排列的理解，利

用计数原理推导排列数公式，难点是运用排列解决实际问题。

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.正确理解排列的意义，掌握写出所有排列1.数学抽象：两个计数原理

的方法，加深对分类讨论方法的理解，发展2.逻辑推理：准确运用两个计数原理解决问题

学生的抽象能力和逻辑思维能力.3.数学运算：运用计数原理解决计数问题

B.掌握有关排列综合题的基本解法,提高分4.数学建模：

析问题和解决问题的能力,学会用分类讨

论思想解决问题.

重点难点

重点：理解排列的定义及排列数的计算

难点：运用排列解决计算问题

课前准备

多媒体

教学过程

教学反思

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题（或困难、障碍）是对排列概念的理解。要解决这一

问题，就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例，经过概括得出排列的定义，然后从单一到综合

的方式，安排例题，其中关键是从单一到综合，引导学生逐步熟悉运用排列解决综合问题。

教学过程教学设计意图

核心素养目标

一、问题导学

分类加法计数原理分步乘法计数原理

区别完成一件事共有n类办法，关键词是完成一件事共有n个方可聚，关键词是“分

“分类,，

步”通过知识回厩帮

每类办法中的每种方法都能独立地除最后一步外，其他每2窗期■逑晒

解

区别完成这件事,它是独立的、一次的且结果，任何一步都不能才玄立完成这件事，缺

遭神S展个引出

每种方法得到的都是最后结果，只需少任何一步也不能完目

一种方法就可完成这件事步骤都完成了，才能完1文遗件谟题。

区别各类办法之间是互斥的、并列的、各步之间是关联的、羽(立的,“关联”确保

独立的不遗漏，"独立”确保不妄，复

试解答下列三个计数问题：

(1)小张要在三所大学中选择两所分别作为自己的第一志愿和第

二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？

(A,B),(A,C),(B,C),(B,A),(C,A),(C,B)

(2)班里要在三名学生中选出两名分别在某话剧表演中扮演A和

B两个角色，共有多少种不同的选择方式？

(3)学校要在三名能力相当的教师中指派两人分别去浙江和上海交

流教学经验，共有多少种不同的纸牌方案？

通过具体问题，已发

它们的答案是否一致？

学生思考，通过分

如果用A、B、C分别表示上述问题(1)中的三所大学，用

析、比较、归纳、形

(A,B)表示，第一志愿是A,第二志愿是B,你能列出小张所有的

成对排列的认识。发

选择方式吗？上述问题，(2)(3)的结果是否也能用类似的方法

展学生数学运算，数

表示？

学抽象和数学建模

一、排列的定义

的核心素养。

一般地，从n个不同对象中，任取皿加力)个对象，按照一定的

顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列.特

别地即="时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列.

排列的定义应注意的问题：

(1)排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按一定顺

序排列”.

(2)只有当对象完全相同，并且对象的排列顺序也完全相同时,两个排

列才是同一个排列.

(3)定义中的“一定顺序”说明了排列的本质:有序.引导学生运用计数

(4)判断一个具体问题是不是排列问题，就看从n个不同对象中取出m原理推导排列数公

个对象后，在安排这m个对象时是有序还是无序,有序就是排列问题，式。发展学生数学运

无序就不是排列问题.算，数学抽象和数学

(5)写出一个问题中的所有排列的基本方法有:字典排序法、树形图建模的核心素养。

法、框图法.

1.判断下列问题是否是排列问题：

(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成平面直角坐标系内的点

的坐标；

(2)从10名同学中随机抽取2名同学去学校参加座谈会；

(3)某商场有四个大门,从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来

的不同的出入方式.

解:(1)由于取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作为横坐标，哪

一个数作为纵坐标的顺序有关,所以这是排列问题.

(2)抽取2人参加座谈会不用考虑2人的顺序,所以不是排列问题.

(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题.

二、排列数的定义

从"个不同对象中取出相个对象的所有排列的个数，称为从

n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号4T表示.

/尸=n(n-1)...[n-(m-1)]=n(n-1)(n-2)...(n-m+1).

m个数

三、排列数公式

1.排列数公式：

4上等于从几个对象中取出1个的方法种数，显然得=n

用类似的方法可知

=n(n—l)(n—2)

=n(n—l)(n—2)(n—3)

探究i.一般情况下，等于多少呢？

等于从n个对象中取出2个并排成先后顺序的方法种数，分两步

完成：第一■步，

选一个排在第一个位置，有几种方法；第二步，在剩下的对象中选

一个排在第二个，

有九一1种方法。因此共有n(n—1)种选法，即//=九(九一1)

=ji(n-1)…九-2)…(九-m+l).

m年数

辨析：(1)这个公式只有在根，及£N,的情况下才成立(以后不

+

再说明).

(2)公式右边是m个数的连乘积，它的第一个因数是风后面的每一个

因数都比它前面的因数少1,最后一个因数为(w-m+1).

辨析：“排列”和“排列数”是两个不同的概念.排列是指“从"个不同

对象中，任取m个对象，按照一定顺序排成一列“，它不是一个数，而是

具体的一个排列(也就是具体的一件事);排列数是指“从n个不同的对

象中取出他个对象的所有排列的个数”，它是一个数。

在典例分析和练

二、典例解析

习中让学生熟悉排

例1.求从A,B,C这3个对象中取出3个对象的所有排列的个数，并

列在解决问题中的

写出所有的排列。

作用，发展学生逻辑

解：所求排列数为北=3x2x1=6.

推理，直观想象、数

所有的排列可用图表示

学抽象和数学运算

BC的核心素养。

AB

由图可知，所有排列为ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.

2.排列数公式的阶乘表示

奎排列数公式的阶乘表示:A/〃!=〃x(〃-l)x(〃-2)x...x3x2xl.

规定：l!=l,O!=l,Ag=l.

排列数公式的阶乘表示:=焉.

3.排列数的性质

⑴的1=碉胃；

(2)At=〃zA偿j1+A强「

例2.求证：+mA^-1=4Wi

证明：由排列数公式初初：

硼+扁发-"叫"二-】)]!

n!m

=/.,x1+

(n—m)ln—(m-IjJ

n!n+1

=---------—XH-------；---------

—n—(m—L)

:(…！_俨

_[(n+l)-m]!-n+1

探究2.假设有几+1加一个对象，甲是其中一个，从n+1对象中取

出m个做成的排列，可以分成两类：

(1)不包括对象甲的；4r

(2)包括对象甲的.小砒t

分别计算每一类的排列个数，网+小邓T=4%

注意到第(2)类排列中，甲可以占据m个位置中的任何一个，也

就是说甲的位置有m种可能，你能由此给出例2的结果有一个直观

解释吗？

例3.某地区足球比赛共有12个队伍参加，每队都要与其他各队在主

在典例分析和练

客场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛？

习中让学生熟悉一

解：如果把每一场比赛都看成主场队在前，客场队在后的一个排

些特殊问题的处理，

歹!J,则不难看出，所求比赛数等于从12个对象中取出2个的排列

如特殊元素法、捆绑

数,即

法、插空法等。发展

砾=12x11=132.

学生逻辑推理，直观

例3的关键是，把所给问题转化为等价的排列问题。

想象、数学抽象和数

学运算的核心素养。

例4.某信号兵用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示

信号，每次可以只挂1面旗，也可以挂2面旗或3面旗，旗数或顺

序不同时，都表示信号不同，则一共可表示多少种不同的信号？

解：按照所挂起数可以分为三类

第1类是只挂1面旗，此时可表示冬种不同的信号；

第2类是挂2面旗，此时可表示禺种不同的信号；

第3类是挂3面旗，此时可表示“种不同的信号；

按照分类加法计数原理，一共可表示不同的信号

用+掰+AI=3+3x2+3x2x1=15

例4.说明，解题过程中，可以将基本技术原理与排列知识有机结合.

例5.用0,1,2,…，9这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的

三位数？

解：（方法一）要组成一个没有重复数字的三位数，可以分为两

步：

第一步，确定百位上的数字，因为数字不能重复，所以只能是

1,2,9这九个数字中的某一个，所以有温种方法；

第二步，确定十位数和个位上的数字，因为数字不能重复，所以只

能从百位以外的数字来选取，因此共有掰种方法；

由分步乘法计数原理可知，满足条件的三位数个数为

瑞掰=9x9x8=648.

解：（方法二）从0,1,2,…，9这十个数字中，取出3个做排列的

排列数为。

所有的这些排列中，。排在首位的都不能对应一个三位数，而其他

的都对应一个三位数。又因为0排在首位的排列共有掰个，因此可

知所求三位数的个数为

Al0-Al=10x9x8-9x8=648.

例5的方法二，通常称为“排除法”，也就是先算出无限制条件的

所有排法数，然后再减去不符合条件的排法数。

例6.用0,1,2,…，9这十个数字，可以排成多少个没有重复数字的

四位偶数？

解：满足条件的四位数可以分为两类：

第一类的末位数是0,有幽个.

第二类的末位数不是0.要排成这样的四位数，可以分成三个步骤来

完成：第一步，确定末位数字，因为只能是2,4,6或8,所以有收种

方法；第二步，确定首位数字，因为数字不能重复，所以有玛种方

法；第三步，确定间两位数字，有废种方法.由分步乘法计数原理可

知，这样的数字有用玛岗个.

由分类加法计数原理可知，满足条件的四位数个数为

Al+用玛玛=9x8x7+4x8x8x7=41x56=2296.

从例6可以看出，利用排列数公式，可以简化思维过程.

排数字问题常见的解题方法

L“两优先排法”:特殊元素优先排列，特殊位置优先填充.如“0”不排首

位.

2.“分类讨论法”:按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计

数原理进行计算.要注意以下两点:一是分类标准必须恰当;二是分类

过程要做到不重不漏.

3.“排除法”:全排列数减去不符合条件的排列数.

4.“位置分析法”:按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好.

跟踪训练1.用0,123,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的

（1）六位奇数？

（2）个位数字不是5的六位数？

（3）不大于4310的四位偶数？

分析这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，

遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则.另外，还可以用间接法求

解.

解:⑴方法一:从特殊位置入手（直接法）

分三步完成，第一步先填个位，有A』种填法，第二步再填十万位，有A1种

填法，第三步填其他位，有组种填法，故共有岫A%A}288（个）六位奇数.

方法二:从特殊元素入手（直接法）

0不在两端有A%种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有Ag种排法，其

他各位上用剩下的元素做全排列有用种排法,故共有A：A』A}288（个）

六位奇数.

方法三:排除法

6个数字的全排列有A昌个,0,2,4在个位上的六位数有3A名个,1,3,5在个

位上,0在十万位上的六位数有3A3个,故满足条件的六位奇数共有AS-

3At3A1=288（个）.

（2）方法一:排除法

0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A1个,0在十万位且5在

个位的六位数有A1个.

故符合题意的六位数共有Ar2Ag+A4504（个）.

方法二:直接法

十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同.因此需分两类：

第一类:当个位排0时,符合条件的六位数有Ag个.

第二类:当个位不排0吐符合条件的六位数有此个.

故符合题意的六位数共有Ag+A%A/Ab504（个）.

（3）直接法

①当千位上排1,3时，有个.

②当千位上排2时，有gA?个.

③当千位上排4时，形如40义、,42M义的各有人马个;形如41xx的有AgA,

个，形如43xx的只有4310和4302这两个数.

故共有A,A必至+A^Ai+2A1+A3Ag+2=HO（个）.

例7.有3位男生和2位女生，要做某风景点前站成一排照合影，要

求2位女生要相邻，有多少种不同的站法？

解：分成两步来完成：第一步，先让两位女生站好，有掰种方法；

第二步，把两位女生当成一个整体，与3位男生去站成一排，有题

种方法.根据分步乘法计数原理，可知共有花窗=48.种不同的站

法.

例7的解法，相当于把两位女生捆绑在了一起，因此也常被称为

“捆绑法”.

例8.某晚会要安排3个歌唱节目（记为A、B、C）和2个舞蹈节目

（记为甲、乙），要求舞蹈节目不能相邻，共有多少种不同的安排

方法？

解：分成两步来完成：第一步，先确定3个歌唱节目的先后顺序

（不考虑舞蹈节目），总共有另种排法；第二步，歌唱节目的先后

顺序确定之后，舞蹈节目共有题种排法（例如，第一步确定的歌唱

节目先后顺序为ABC,则舞蹈节目只能安排在如图所示的4个空格

中）.由分步乘法计数原理可知，共有

AjAl=72

种不同的安排方法.

ABC

值得注意的是，例8中所有符合条件的安排方法都可用解法中

的方式得到，例如“AB甲C乙”，只要在图中的第三个、第四个

空格分别填上甲、乙即可.这种解法方法通常称为“插空法”.在解决

类似的要求不相邻的问题中，用插空法往往简单、有效.

L排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置,可采用位置分

析法或元素分析法进行排列.应记住相邻、相间、定序、分排等常见

问题的解法.

2.元素相邻和不相邻问题的解题策略

限制条件解题策略

通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看

元素相邻

作一个整体参与其他元素的排列

通常采用“插空”法，即先考虑不受限

元素不相邻制的元素的排列，再将不相邻元素插

在前面元素排列的空中

跟踪训练2.有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有

多少种不同的排法？

⑴甲不在中间，乙必在两端；

(2)甲不在左端,乙不在右端；

(3)男、女生分别排在一起；

(4)男女相间；

(5)男生不全相邻.

解：(1)优先安排特殊元素.乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便

站洪有2x7xA刁=70560种.

(2)按甲在不在右端分类讨论.

甲站右端有Ag种；

甲不在右端有7X7XAZ种；

共有Ag+7x7xAZ=A}x(8+49)=287280种.

(3)(捆绑法)A^A2Ag=5760种.

(4)(插空法)先排4名男生有A：种排法，再将5名女生插空,有纯种排法,

故共有A》Ag=2880种排法.

（5）（排除法）9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A3-

A|=345600种.

三、达标检测

1.4-5-6（w-1）•”等于（）通过练习巩固本节

A.A^B.A^4

所学知识，通过学生

C.w!-4!D.A片

解决问题，发展学生

解析:原式可写成nx（n-l）X…X6X5X4,故选D.

的数学运算、逻辑推

答案:D理、直观想象、数学

2.已知下列问题：建模的核心素养。

①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；

②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；

③从a,b,c,d四个字母中取出2个字母；

④