必修二《第六章 平面向量及其应用》章节复习与同步测试（含单元测试卷）

<6.1平面向量的概念》知识梳理

一、向量的概念

1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.

2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.

二、向量的几何表示

1.有向线段

具有方向的线段叫做有向线段,它包含三个要素：起点、方囱、长度，如图

所示.

终点）

4（起点）

以/为起点、6为终点的有向线段记作而，线段的长度叫做有向线段通

的长度记作【标I.

2.向量的表示

（1）几何表示：向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小，

有向线段的方向表示向量的方向.

（2）字母表示：向量可以用字母a,b,c,…表示（印刷用黑体a,b,c,书

写时用a,Ac）.

3.模、零向量、单位向量

向量丽的大小，称为向量而的长度（或称模），记作I而I.长度为8的向

量叫做零向量，记作。；长度等于L个单位长度的向量，叫做单位向量.

思考“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？

答案错误.理由是：①向量只有长度和方向两个要素；与起点无关，只要

长度和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；②有向线段有起点、长度和方

向三个要素，起点不同，尽管长度和方向相同，也是不同的有向线段.

三、相等向量与共线向量

1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.

（1）记法：向量a与平行，记作a〃五

（2）规定：零向量与任意向量平行.

2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量

也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行

和共线相混淆.

思考（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？

⑶与任意向量都平行的向量是什么向量？（4）若两个向量在同一直线上，则这两

个向量一定是什么向量？

答案（1）不一定；（2）不一定；（3）零向量；（4）平行（共线）向量.

《6.1平面向量的概念》同步测试

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题.答卷前，考生务必

用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是（）

（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；

（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；

（3）若万B5,则8；

（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同.

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】由相等向量的定义知（1）正确；

平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，（2）错；

方向不相同且长度相等的两个是不相等向量，（3）错；

相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不

要求相同，（4）错,

所以正确答案只有一个.故选B.

2.下列命题正确的是（

A.若㈤=0,则£=6B.若㈤=|5|,则1=5

C.若|£1=1刈，则;〃力D.若allb>贝！la=B

【答案】A

【解析】模为零的向量是零向量，所以A项正确；

而1=1引时，只说明向13的长度相等，无法确定方向,

所以B,C均错；

。||6时，只说明方向相同或相反，没有长度关系,

不能确定相等，所以D错.故选A.

3.若非零向量4和B互为相反向量，则下列说法中错误是（）

A.allbB.a^bC."D.a--h

【答案】C

【解析】由平行向量的定义可知A项正确；

因为”和B的方向相反，所以故B项正确；

由相反向量的定义可知二=工，故选项D正确；

由相反向量的定义知al=bX,故C项错误.故选C.

4.如图，设。是正六边形ABC。比的中心，则与血相等的向量为（）

UUUl

A.BAB.CDC.ADD.OD

【答案】D

【解析】根据图形看出，四边形BC。。是平行四边形.•.BC//OD,BC=O。

.•.阮=历故选：D

5.若向量“与向量/；不相等，贝!I。与B一定（）

A.不共线B.长度不相等

C.不都是单位向量D.不都是零向量

【答案】D

【解析】••・向量£与向量坂不相等，它们有可能共线、有可能长度相等、有

可能都是单位向量但方向不相同，但不能都是零向量，即选项A、B、C错误，D

正确.故选：D.

6.下列说法错误的是（）

A.若非零向量b,C有£//石，bile,则G//C

B.零向量与任意向量平行

C.已知向量乙万不共线，且。/左，bHe,贝限=0

D.平行四边形ABC。中，AB^CD

【答案】D

【解析】选项A：因为:，葭•都不是零向量，所以由Z//B，可知向量£与向量

B具有相同或相反方向.又由B/无，可得向量"与向量B具有相同或相反方向，

所以向量£与向量之具有相同或相反方向，故£/不，故本说法是正确的；

选项B：零向量与任意向量平行这是数学规定，故本说法是正确的；

选项C：由£//屋bl1c，可知："与向量［具有相同或相反方向，"与向量

坂具有相同或相反方向，但是向量£石不共线，所以"=6,故本说法是正确的；

选项D：平行四边形438中，应该有荏=祝，故本说法是错误的.故选：

D

7.a，B为非零向量，且卜+同咽+〉,则（）

A.a＞坂同向B.a＞坂反向

C.a=-hD.a，坂无论什么关系均可

【答案】A

【解析】当两个非零向量£与坂不共线时，£+5的方向与7坂的方向都不相

同，且B+4<W+M；当向量£与坂同向时，Z+坂的方向与乱刃的方向都相同，且

口+*忖+忖；

当向量£与B反向且时，£+5的方向与坂的方向相同（与£的方向相

反），且它+目明第,

故选:A

8.如图是3x4的格点图（每个小方格都是单位正方形），若起点和终点都在

方格的顶点处，则与福平行且模为血的向量共有（）

A.12个B.18个C.24个D.36个

【答案】C

【解析】由题意知，每个小正方形的对角线与而平行且模为逝的所在的

向量，3x4的格点图中包含12个小正方形,

所以有12条对角线，与通平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24

个向量满足.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选

对的得3分.

9.已知入坂是任意两个向量，下列条件能判定向量£与坂平行的是（）

A.a=bB.。%

c.”与B的方向相反D.Z与B都是单位向量

【答案】AC

【解析】对于A选项，若£=石，则£与各平行，A选项合乎题意；

对于B选项，若。="，但£与否的方向不确定，则£与B不一定平行，B

选项不合乎题意；

对于c选项，若£与B的方向相反，则Z与B平行，c选项合乎题意；

对于D选项，［与B都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，

则£与B不一定平行，D选项不合乎题意.故选：AC.

10.在下列结论中，正确的有（）

A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B.平行向量又称为共线向量

C.两个相等向量的模相等

D.两个相反向量的模相等

【答案】BCD

【解析】A.若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；

B.平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；

C.相等向量方向相同，模相等，正确；

D.相反向量方向相反，模相等，故正确；故选：BCD

11.下列能使万/区成立的是（）

A.a^bB.同=|同

C.〃与日方向相反D.同=0或忖=0

【答案】ACD

【解析】对于A,若£=则£与B大小相等且方向相同，所以://力；对于

B,若口=忖，则£与行的大小相等，而方向不确定，因此不一定有力；对于C,

方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若£与B方向相反，则有:〃力；对于

D,零向量与任意向量平行，所以若同=0或忖=0,则:/晨故选：ACD

12.如图所示，梯形ABC。为等腰梯形，则下列关系正确的是（）

A.AB=DCB.画=|困C.AB>DCD.BC//AD

【答案】BD

【解析】而与反显然方向不相同，故不是相等向量，故A错误；

网与瓯|表示等腰梯形两腰的长度，所以网=|明，故B正确；

向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C错误；

等腰梯形的上底与下底平行，所以前//砺，故。正确；故选：BD.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，

请把答案直接填写在横线上）

13.给出下列命题：

①向量通的长度与向量面的长度相等；

②向量£与万平行，则2与万的方向相同或相反；

③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；

⑤向量丽与向量说是共线向量，则点必在同一条直线上.

其中不正确命题的序号是.

【答案】②④⑤

【解析】向量而与函是相反向量,它们的模长相等，即①正确；

零向量与任何向量平行,若向量Z与B中恰有一个为零向量,则它们的方向

不满足题意，即②错误；

对于相等向量,若它们有共同的起点，则它们终点也相同，即③正确；

两个有公共终点的向量,若它们的起点和终点不在一条直线上,则它们不共

线，即④错误；

因为向量可以平移，所以共线向量而与丽中，ARC,。不一定在同一条

直线上，即⑤错误.

故答案为:②④⑤.

14.如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形

(1)与向量前相等的向量有

(2)若|洞=3,则明=.

【答案】AB,DC6

【解析】①根据相等向量的定义及平行四边形性质：与向量访相等的向量

有限DC

②在=丽+反=2丽，|函=|2网=6

15.在如图所示的半圆中，48为直径，点。为圆心，。为半圆上一点，且NO⑦

=30°，AB=2,则|AC=.

【答案】1

【解析】连接由无=而得N4BC=NOCB=30°,又/ACB=90°,

则ACAB=1x2=l.

16.如图所示，43c和AA2C是在各边的g处相交的两个全等的等边三

角形，设AABC的边长为。，图中列出了长度均为|•的若干个向量

A

D

B'

BG\7HC

A'

贝！J：（1）与向量而相等的向量有；

（2）与向量丽共线，且模相等的向量有；

（3）与向量的共线，且模相等的向量有.

【答案】丽，HCEC>诙，丽，GB.HC瓯，而，两，

就，KB1

【解析】（1）与向量而相等的向量是丽，WC；

（2）与向量而共线且模相等的向量是正，DE，DB1,GB，HC，

（3）与向量函共线且模相等的向量E/，而，词，HK>而'

三、解答题（本大题共4小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解

答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）如图所示，0是正六边形放帧的中心，且砺=

a»OB=b»OC=c-

（1）与£的长度相等、方向相反的向量有哪些?

（2）与3共线的向量有哪些?

（3）请一一列出与£,b，".相等的向量.

【解析】（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：0D，

前,A。，FE-（2）由共线向量定理得：EF，品,甜，而，CB-DO-

AO>DA,AD•与a共线.

（3）由相等向量的定义得：与7相等的向量有E尸，DO,CB-,与坂相

等的向量有。C，EO>FA;与2相等的向量有户。，ED，AB.

18.（本小题满分12分）某人从4点出发向东走了5米到达6点，然后改变

方向沿东北方向走了10夜米到达。点，到达。点后又改变方向向西走了10米

到达〃点.

（1）作出向量而，BC，CDi

（2）求标的模.

【解析】（1）作出向量而，BC，丽；如图所示:

南

（2）由题意得，是直角三角形，其中N8%=90°,BC=10五米,

CD=1Q米，

所以劭=10米.△力物是直角三角形，其中/力劭=90°,48=5米，BD=

10米,

所以AD=752+102=575（米），

所以|同=5质米.

19.（本小题满分12分）在如图所示的坐标纸上（每个小方格边长为1）,用

直尺和圆规画出下列向量:

(1)0A，使I砺1=4近，点Z在点。北偏东45°；

(2)AB,使网=4,点8在点4正东；

(3)BC,使|髭|=6,点。在点6北偏东30°.

【解析】(1)由于点力在点。北偏东45°处，所以在坐标纸上点/距点。

的横向小方格数与纵向小方格数相等.又I丽|=4a，小方格边长为1，所以

点/距点。的横向小方格数与纵向小方格数都为4,于是点/位置可以确定，画

出向量以如下图所示.

(2)由于点8在点4正东方向处，且忖4=4,所以在坐标纸上点8距点/

的横向小方格数为4,纵向小方格数为0,于是点8位置可以确定，画出向量|丽|

如下图所示.

(3)由于点。在点6北偏东30°处，且|泥|=6,依据勾股定理可得：在

坐标纸上点。距点8的横向小方格数为3,纵向小方格数为3指心5.2,于是点。

位置可以确定，画出向量|陇|如下图所示.

20.(本小题满分12分)一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30km,这时接

到求救信号，在巡逻艇的正东方向

40km处有一艘渔船抛锚需救助.试求：

(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；

（2）巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移.

【解析】（D如图，由于路程不是向量，与方向无关，所以总的路程为巡逻

艇两次路程的和，即为18+8C=70（km）.

北

8（信号接收点）。（淄船）

L东

A（港口）

（2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点之间的位移是向量，不仅有大小而且有

4

方向，因而大小为|羽=叫2=50（km）,由于sinN胡。=—,故方向为

5

4

北偏东N物G其中sinN物C='.

21.（本小题满分12分）已知。是正方形4比》对角线的交点，在以0,A,

B,C,〃这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：

（1）与此相等的向量；

（2）与赤长度相等的向量；

（3）与次共线的向量.

【解析】画出图形，如图所示.

（1）易知BCHAD,BC=AD,所以与更相等的向量为而.

（2）由。是正方形切对角线的交点知仍=⑺=%=。。，

所以与而长度相等的向量为丽，灰,CO»砺，痛，苏，DO.

（3）与次共线的向量为而，BC,CB.

22.（本小题满分12分）如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,

方格纸中有两个定点孙氏点。为小正方形的顶点，且|衣|=/.

(1)画出所有的向量能；

⑵求I击I的最大值与最小值.

【解析】(1)画出所有的向量公，如图所示.

(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点G或C时，

IBC|取得最小值，产+22=75；

②当点。位于点盘或乙时，|前|取得最大值，42+52二国.

所以|前|的最大值为历，最小值为右.

《6.2平面向量的加法、减法、数乘运算》知识梳理

一.向量加法的法则

已知非零向量a,b,在平面F为任取一点/，作而=a,BC=

b,则向量元叫做a与b的和，记作a+b,即a+b=AB+

BC=AC.

向量求

三角形法这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.

和的法1

则

对于零向量与任意向量a,夫见定a+O=O+a=a

则

__A

不\r

以同一点。为起点的两个已知向量a,8为邻边作。总%,则

以。为起点的对角线方就是a与，的和.把这种作两个向量

平行四边和的方法叫做向量加法的平行四边形法则

【思考】|a+引与|a|,仍|有什么关系？

【答案】(1)当向量a与力不共线时，a+6的方向与&,8不同，且恒+引<|T

+I引.(2)当a与b同向时，a+b,a,，同向，且a+b\=|a|+Zr.(3)当a与

力反向时，若|a|>|引，则a+b的方向与a相同，且|a+引=㈤一|引；若|a<b\,

则a+8的方向与b相同，且|a+b|=|引一a\.

二.向量的减法

1.定义：向量a加上力的相反向量，叫做a与力的差，即a—6=a+(-6),

因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫

做向量的减法.

2.几何意义：在平面内任取一点。，作OA=a,OB=b,则向量a—8=84,

如图所示.

3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减

向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.

【思考】若a,6是不共线向量，|a+引与|a—引的几何意义分别是什么？

【答案】如图所示，设苏=a,方=8根据向量加法的平行四边形法则和

向量减法的几何意义，有0C=a+6,BA=a—6.因为四边形十％是平行四边

形，所以必+6=|无|,6—引=|就|,分别是以力，仍为邻边的平行四边

形的两条对角线的长.

三、向量数乘的定义

实数儿与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作Aa,

其长度与方向规定如下：

(1)I4a|=|11|a|.

当4>0时,方向相同;

(2)Aa(aWO)的方向'

当4<0时,与的方向相反

特别地，当儿=0时，4a=0.当人=—1时，(-l)a=­a.

四向量共线定理

向量a3W0)与人共线的充要条件是：存在唯一一个实数A,使力=4a

【思考】向量共线定理中为什么规定aWO?

【答案】若将条件aWO去掉，即当a=0时，显然a与力共线.

(1)若6W0,则不存在实数儿，使6=4a

(2)若8=0,则对任意实数儿，都有6=4a

《6.2平面向量的加法、减法、数乘运算》同步测试

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题.答卷前，考生务必

用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)在每小题所给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列四式不能化简为而的是()

A.MB+AD-BMB.(AD+MB)+(BC+CM)

C.(AB+CD)+BCD.OC-OA+CD

【答案】A

【解析】对B,(AD+MB)+(BC+CM)=AD+MB+BC+CM=AD,故B

正确;

对C,(AB+CD)+BC^AB+BC+CD=AD,故C正确；

对D,OC-OA+CD^AC+CD^AD，故D正确；故选：A.

2.在平行四边形ABCD中,设对角线ZC与切相交于点0,则通+瓯=()

A.2BOB.2D0C.BDD.AC

【答案】B

【解析】因为四边形ABC。为平行四边形，故通+函=6，

^AB+CB=Ad+bB+CO+bB=2OB=2bd>故选B.

3.在五边形A8CDE中(如图)，AB+BC-DC=()

C.BDD.BE

【答案】B

【解析】AB+BC-DC=AB+BC+W=AD.B

4.如图所示，已知空间四边形翻9,连接4GBD,M,G分别是6C,切的

1―.1—.

中点，则通+5BC+5B。等于()

C.AGD.MG

【答案】C

【解析】•..四面体//5中，〃、G为BC、切中点，

：.-BC^BM,-BD=MG,

22

:.AB+-BC+-BD=AB+BM+MG=AM+MG=AG.故选C

22

5.八卦是中国文化中的哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为

图2中的正八边形四物仇祝其中。4=1,则给出下列结论：

®BF-HF+HD=Oi®0A+0C=-y/20F;@AE+FC-GE=AB.

【解析】对于①：因为丽一而+丽=而+而+而=丽+而=丽，故

①错误；

360°

对于②：因为ZAOC=T-X2=90。，则以。4,OC为邻边的平行四边形为正

O

方形，

又因为OB平分乙4OC,所以04+。6=血。后=—00尸，故②正确；

对于③：因为通+定—瓦=醺+的+无+而，且定=丽,

^\^AE+FC-GE^AG+GB^AB,故③正确，故选：C.

6.如图，在四边形ABCD中，^AB=ci,AD=b,BC=c,则觉=()

D.

A-----------B

A.-a+b+cB.-a+b~cC.a+b+cD.a-b+c

【答案】D

【解析】由题意，在四边形MC£＞中，^AB=a,AD=b,BC=c,

根据向量的运算法则，可得反=次+而+元=—]+£+£=£—五+".故选

D.

7.点P是AABC所在平面内一点且方+定=丽，在AABC内任取一点，

则此点取自AP8C内的概率是（）

A.-B•-C.-D.-

2345

【答案】B

【解析】设。是8C中点，因为而+斤=而，所以2两=而，

所以A、P、。三点共线且点P是线段AO的三等分点，

故产=3，所以此点取自APBC内的概率是:.故选B.

8.P是AABC所在平面内一点，^CB=APA+PB,其中/leR,则P点一

定在（）

A.AABC内部B.AC边所在直线上

C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上

【答案】B

【解析】根据题意，C月=几百+而0围-=4而o丽=4丽，，点P

在AC边所在直线上，故选B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选

对的得3分.

9.已知正方体ABC。-ABC。的中心为。，则下列结论中正确的有（）

A.况+历与西+西是一对相反向量

B.砺-反与弧-西■是一对相反向量

C.。4+04+。心+。方与弧+*+西+*是一对相反向量

D.西-砺与反-优■是一对相反向量

【答案】ACD

【解析】•.•。为正方体的中心，，砺=-西，历=-西,故

OA+OD=-[OB,+OC^,

同理可得而+反=_（西■+鹤），

故0A+OB+OC+OD=-（OA）+0B1+0Ct+0Dij,:.A、C正确；

UllUULISIULU---------------------------------

,:OB-OC=CB，O\-ODX=AA,

，。月-反与弧-组是两个相等的向量，，B不正确；

,.不-丽=可，无-西=束=-丽，

，西-砺=-（诙-叫，，口正确.故选ACD

10.下列各式中，结果为零向量的是（）

A.AB+MB+W+OMB.AB+BC+CA

C.OA+OC+BO+WD.AB-AC+BD-O）

【答案】BD

【解析】对于选项A：AB+MB+BO+OM^AB，选项A不正确；

对于选项8：AB+BC+CA^AC+CA^Q,选项8正确；

对于选项C：OA+OC+BO+CO=BA，选项C不正确；

umuuinuunuun,uunuun、,uirauun、uuuuumr

对于选项。：AB-AC+BD-CD=\AB+BD\-\AC+CD\=AD-AD=O

选项。正确.故选BD

11.若点〃E,产分别为AABC的边CA9"的中点，且阮=£,CA=b,

则下列结论正确的是（）

—1一

A.AD=——a-bB.BE=a+-b

22

—11一一1

C.CF=——a+-bD.EF=—a

222

【答案】ABC

【解析】如图，

在AABC中，AI)=AC+a)=-CA+-CB=-b--a,故A正确;

22

BE=BC+CE=a+—b,故B正确；

2

AB=AC+CB=-b-a>CF=CA+^AB=b+^x（-b-a）=--^a+^b,故C

正确；

—1—•1-

EF=-CB=一一a,故D不正确.故选：ABC

22

12.下列关于平面向量的说法中不至颂的是（）

A.已知心方均为非零向量，则a//6o存在唯一的实数/I,使得石=而

B.若向量福，丽共线，则点A,B,C,。必在同一直线上

C.若无不=6•不且3H0,贝!=5

D.若点G为AABC的重心，则西+说+交=0

【答案】BC

【解析】对于选项A,由平面向量平行的推论可得其正确；

对于选项B,向量通，丽共线，只需两向量方向相同或相反即可，点A,

B,C,。不必在同一直线上，故B错误；

对于选项C,a-c=、co（a-B）-c=0,则（a-不一定推出£=5,

故C错误；

对于选项D,由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.

故选BC

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，

请把答案直接填写在横线上）

13.化简：AB+EA-CB+CD+DE=•

【答案】6

【解析】AB+EA-CB+CD+DE=EB-CB+CE=EB+BC+CE=6.

故答案为：6.

14.若同=5,否与々方向相反，且忖=7,则1b.

【答案】~

【解析】因为B与［方向相反，

所以设£=花（/<0）,则卜卜囚忖,

所以5=|/l|x7,可得;l=±m，

又4<0,所以a=-m.

15.若P是A4BC内部一点，且满足丽+2丽=丽，则A4BP与AABC的面

积比为.

【答案】|

【解析】PA+2PH=CB^PA+PB=CB+BP=CP

取AB的中点为。，贝I」而+方=2可

BP2PO=CP,则点P为AABC的重心

根据重心的性质可得，点P到AB的距离是点C到AB的距离的;

q1

则2^L=一

S.c3

16.在平行四边形ABC。中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M为BC的中点，

贝!1画=,MN=.(用”,人表示)

【答案】」〜J

244

【解析】如图，・・•四边形ABC。是平行四边形，.•,诟二而，又♦.•丽=3祝,

.•.A,N,C三点共线，且函则砺=砺+丽=，方+丽=_工8_4,

422

—————1一1一1一1一1111

MN=MC+CN=-BC——AC^-AD——AC=-b——(a+b)=——a+-b.

24242444

三、解答题（本大题共4小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解

答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）化简.

（1）AB+CD+BC+DA.

（2）（^AB+MB）+（BO+BC）+OM.

【解析】（1）AB+CD+BC+DA=AB+BC+CD+DA^O;

（2）（JB+MB）+（lid+BC）+OM=AB+W+OM+MB+BC=AC.

18.（本小题满分12分）已知在四边形4%力中，AB=a+2b,丽=—4a

-b,CD=-5a-3b,求证：四边形力aZ?为梯形.

【解析】如图所示.

AD=AB+BC+CD

=(a+2Z?)+(-4a—Z?)+(-5a-36)

=—8a—2b=2(—4a—b),

Z.AD=2BC.

，而与前共线，且|而|=2|前

又•••这两个向量所在的直线不重合，

：.AD//BC,且4片2必

，四边形A?切是以A9,8c为两条底边的梯形.

19.（本小题满分12分）如图，已知〃，瓦厂分别为A4BC的三边8C,AC,

AB的中点，求证：AD+BE+CF^Q.

【解析】由题意知45=4e+。方，BE=BC+CE，CF^CB+BF，

由题意可知而=C/5，BF=FA.

：.AD+BE+CF=(AC+CD)+(BC+CE)+(CB+BF)

=(AC+CD+CE+BF)+(BC+CB)

=(AE+EC+CD+CE+BF)+6

^AE+CD+BF^AE+EF+FA^6.

20.(本小题满分12分)如图，已知正方形A8C。的边长等于单位长度1,

AB=a，BC=b>AC=c,试着写出向量.

(1)a+b+c;

（2）a-b+c,并求出它的模.

【解析】(1)a+b+c=(AB+BC)+AC=AC+AC=2AC=2c；

(2)a-b+c=AB-BC+AC=AB+(.AC+CB)=AB+AB=2AB.

：.\a-b+c\=2\AB\=2.

21.(本小题满分12分)如图，四边形。是以向量丽=£,丽为

边的平行四边形，=国=；而，试用入/；表示加、ON.MN.

BD

区

OA

【解析】:BM』C,BC=CA,；.BM=；BA,

36

BM=-BA=-(OA-OB)=-(a-b).

666

OM^OB+BM^b+-(a-h]=-a+-b.

6、>66

■.■CN=-CD,CD=OC,

3

____2__.2__.__»22

ON=OC+CN=-OD=-(OA+OB)=-a^-b.

3333

__.-..22-15-1I-

MN=ON-OM=-a+-b——a--b=-a——b.

336626

16.(本小题满分12分)设a,b,c为非零向量，其中任意两向量不共线,

已知a+b与c共线，且8+c与a共线，则b与a+c是否共线？请证明你的结

论.

【解析】8与a+c共线.证明如下：

,.2+8与c共线，

...存在唯一实数A,使得a+b=4c.①

,."+c与a共线，

...存在唯一实数〃，使得b+c=〃a②

由①一②得，3—c=^c~Pa.

；.(1+li)a=(1+4)c.

又-a与c不共线，.•」+〃=0,1+4=0,

:.N=-1,4=——1,a+Z>=—c,即a+6+c=0.

a+c=­b.

故a+c与b共线.

《6.3平面向量的数量积》知识梳理

一、两向量的夹角与垂直

1.夹角：已知两个非零向量a和力，。是平面上的任意一点，作苏=a,OB

=b,则0（0W〃W“）叫做向量8与6的夹角（如图所示）.

当。=0时，a与力同向；当8=R时，a与力反向.

2.垂直：如果a与力的夹角是三，则称a与b垂直，记作a_Lb.

2

二、向量数量积的定义

非零向量a,力的夹角为，，数量|a||b|cos，叫做向量a与b的数量积（或

内积），记作a•6,即Z>=|a||6|cos0,规定：零向量与任一向量的数量积

等于0.

【思考】若aWO,且a-5=0,是否能推出力=0.

【答案】在实数中，若a#0,且6=0,则6=0；但是在数量积中，若#0,

且a・6=0,不能推出6=0.因为其中a有可能垂直于》

三、投影向量

在平面内任取一点。，作而=a,ON=b,过点"作直线QM的垂线，垂足

为则OM,就是向量a在向量力上的投影向量.

设与6方向相同的单位向量为e,a与6的夹角为0,则两与e,a,d

之间的关系为函=|acos0e.

四平面向量数量积的性质

设向量a与力都是非零向量，它们的夹角为0,e是与b方向相同的单位向

量.则

(1)a,e=e,a=|a\,cos0,

(2)a_L2xna•b—0.

与词向，

⑶当a〃力时，a•力={IT__

-忖.’”与。反向,

特别地，a•a=a?或|a=yja-a

(4)|a•引Wa\b\.

五平面向量数量积的运算律

1.a,b=b•a(交换律).

2.(/la)•力=4(a•b)=a•(九⑹(数乘结合律).

3.(a+b)•c—a,c+b,c(分配律).

【思考】若a-c,是否可以得出结论a="

【答案】不可以.

已知实数a,b,c(6W0),则ab=8c=a=c,但是a•力=8•c推不出a=

c.理由如下：

如图，a*b=\a|b\cosfi=\b\0A\,

b,c=b|c\cosa=b|.

所以a•6=8♦c,但是aWc.

《6.3平面向量的数量积》同步测试

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共16题.答卷前，考生务必

用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给

出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知向量满足|4=1,ab=-l＞则”2。-可=()

A.4B.3C.2D.0

【答案】B

【解析】因为同=1，4出=一1，

所以7(2£—石)=2£2_£0=2问2_(T)=2+]=3,故选：B.

2.设“，坂均为单位向量，且则B+2+()

A.3B.^6C.6D.9

【答案】B

【解析】a,B均为单位向量，且=

4

3.已知两个单位向量万，5满足|2々+3»|=近，则/与5的夹角是()

712兀5兀

B.Tc.TD.~6

【答案】C

【解析】由|22+3W=近,所以|21+342=4/+12无方+9/=7,

又因为单位向量£石，所以122石=-6n万-5=-g,

/一1、a-h1

所以向量的夹角为cos〈。/〉=问忖

2'

且他可6。万］,所以伍5〉=今，故选：c.

4.如图，45=1,AC=3,NA=9()。,而=2而，则而.丽=()

421

A.B.1C.D.

333

【答案】C

__________I______i_____2___i___

【解析】由AD=AB+BD^AB+-BC^AB+-(AC-AB)=-AB+-AC,

所以而.而=(|而+；丽=|■通恁.而

21____2]2

=-xl2+-|ACIIA5|cos90°=-+-x3x0=-.故选：C

5.已知向量入坂满足同=3,忖=4,且公与坂反向，则«+3到石=()

A.36B.48C.57D.64

【答案】A

【解析】因为[与V反向,所以伍可=万，

又,卜3,忖=4,,所以(4+3万)石=03+35・5,

=3x4x(-l)+3x42=36.故选：A

6.在AABC中，AB=2,AC=3,且丽•衣=一3百，贝！||恁一尢研(加R)

的最小值是()

A.1B.也C.竺D.273

【答案】A

【解析】VAB=2,AC=3,J.AB-AC=-3A/3

.-.|XC-=AC-2AAB-AC+A2AB2=9+6732+422=4^2+乎J+；,

当花一手时，时一义画,取得最小值为:，则时一%同取得最小值为方

故选A.

7.已知p是边长为2的正三角形板的边■上的一点，则福•丽的取值

范围是（）

A.[2,6]B.[2,4]C.(2,4)D.(0,4)

【答案】B

【解析】如图所示，。为48的中点，AP-AB=\AP\\AB\cosZABC,

当P在3时，Q在而方向上的投影AB最大，

=2x2=4,

当P在。时，而在右方向上的投影A。最小，

(A户•AEbmil,=2xl=2,.••丽・丽的取值范围是[2,4],故答案为：B.

8.已知等边AA6c的面积为6,动点。在AA5c的边上，若线段"N为

△ABC内切圆的一条直径，S.DM.DN<A,则实数丸的取值范围为()

A.[0,+oo)B.[1,+co)C.D.[2,+oo)

【答案】B

【解析】设AABC的边长为“，则解得a=2,

4

设内切圆圆心为。，

加•丽=(前一历).(而—说)=|阿—|阿2=|西

可知当点。在AABC的顶点位置时，|历『有最大值，此时|历|=2叵，

DMDN=\，

故实数A的取值范围为[1，H.故选B

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的

选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选

对的得3分.

9.若£、b>"是空间的非零向量，则下列命题中的假命题是()

A.(a-h)-c=(h-c)-a

B.若34=一向阳，则2/而

C.若a.c=B・c,则a//B

D.若a.a