2024徐州中考数学二轮重点专题研究 微专题 主从联动（瓜豆原理）（课件）

模型分析主从联动，其实质就是构造旋转、位似．对于一个图形进行旋转和位似变化，其实质就是对图形中的每一个点进行旋转和位似变化．微专题主从联动(瓜豆原理)模型一动点轨迹之线段模型一直线轨迹已知定点A，动点P、动点Q，∠PAQ＝α，为定值，点P在直线BC上运动；(1)如图①，当α＝0°时，点Q的运动轨迹为直线MN(虚线)，MN∥BC；图①(2)如图②，当0°＜α≤90°时，点Q的运动轨迹为直线MN(虚线)，直线MN与直线BC之间的夹角为α；图②问题1如图，△APQ是等边三角形，点A为定点，当点P在直线BC上运动时，求Q点的运动轨迹．问题1题图解：当确定轨迹是线段时，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，如图，直线QQ′即为点Q的运动轨迹问题1题图Q'P'问题2如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ＝90°且AP＝AQ，点A为定点，当点P在直线BC上运动时，求Q点的运动轨迹．问题2题图解：如解图，直线QQ′即为点Q的运动轨迹．Q'P'问题2题图模型应用1.如图，在等边△ABC中，AB＝9，点D是BC边上的动点，点E在AD上，已知AE∶AD＝1∶3，当点D从点B运动到点C时，点E的运动轨迹长为________；若将点E绕点D顺时针旋转90°到点F的位置，则当点D从点B运动到点C时，点F的运动轨迹长为________．第1题图32.如图，在矩形ABCD中，AD＝3，点E为CD边上一动点，以AE为边在AE下方作等边△AEF，连接DF，线段DF长度的最小值是________．第2题图模型迁移3.(2020宿迁)如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y＝－x＋2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为()A.B.C.D.第3题图B模型分析已知定点A，动点P、动点Q，∠PAQ＝α，为定值，点P在⊙O上运动，(1)如图①，当α＝0°时，点Q的运动轨迹为⊙M(虚线)；图①模型二动点轨迹之圆(2)如图②，当0°＜α≤90°时，点Q的运动轨迹为⊙M(虚线)；图②【温馨提示】在圆轨迹的主从联动问题中，求从动点轨迹的方法(如图②)：第一步：确定主动点P，从动点Q；第二步：确定主动点P的轨迹(⊙O)；第三步：确定∠PAQ的大小及的值；第四步：确定点M的位置及AM的长：令∠MAO＝∠PAQ，

,求出AM和QM；第五步：确定从动点Q的轨迹(⊙M)的圆心和半径QM.

图②问题1如图，P是⊙O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ＝AP.当点P在⊙O上运动时，Q点轨迹是？并简要说明如何确定Q点轨迹．问题1题图Q点轨迹是一个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，∴Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；考虑AP＝AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM＝AO，且可得半径MQ＝PO.即可确定⊙M位置，任意时刻均有△APO△AQM.问题1题解图QOMA≌解：如解图∟问题2如图，P是⊙O上一个动点，点A为定点，连接AP，以AP为一直角边作直角△APQ，且AP＝2AQ，当P在⊙O上运动时，Q点轨迹是？并简要说明如何确定Q点轨迹．问题2题图由AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；由AP∶AQ＝2∶1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO∶AM＝2∶1，且半径QM＝OP.即可确定⊙M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2.问题2题解图QOMAP解：如解图,问题3如图，P是⊙O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ.当点P在⊙O上运动时，Q点轨迹是？并简要说明如何确定Q点轨迹．问题3题图Q点满足∠PAQ＝60°，AP＝AQ，∴Q点轨迹是一个圆，由∠PAQ＝60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO＝60°；由AP＝AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM＝AO，且可得半径MQ＝PO.即可确定⊙M位置，任意时刻均有△APO△AQM.可以理解AQ由AP旋转得来，∴⊙M亦由⊙O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．问题3题解图QOMAP≌60°解：如解图，问题4如图，P是⊙O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ.当点P在⊙O上运动时，如何作出Q点轨迹？并简要说明如何确定Q点轨迹．问题4题图Q点满足∠AQP＝90°，AP∶AQ＝∶1，∴Q点轨迹是一个圆．连接AO，构造∠OAM＝45°且AO∶AM＝∶1.M点即为Q点轨迹圆圆心，半径QM＝OP，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ.即可确定点Q的轨迹圆．问题4题解图QOMAP∟解：如解图，模型应用4.如图，已知菱形ABCD的边长为6，E是BC的中点，AE、BD相交于点P，当∠ABC从90°逐步减小到30°的过程中，则点P经过的路径长为_____．第4题图5.如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF.则线段OF长的最小值为________．第5题