2025届高考数学二轮专题复习与测试小题基础练四排列组合二项式定理

小题基础练(四)排列组合、二项式定理1．(2024·新课标Ⅱ卷)某学校为了了解学生参与体育运动的状况，用比例安排的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和中学部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和中学部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有()A．Ceq\o\al(45,400)·Ceq\o\al(15,200)种 B．Ceq\o\al(20,400)·Ceq\o\al(40,200)种C．Ceq\o\al(30,400)·Ceq\o\al(30,200)种 D．Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)种解析：因为初中部和中学部分别有400和200名学生，所以人数比例为400∶200＝2∶1，则须要从初中部抽取40人，中学部取20人即可，则有Ceq\o\al(40,400)·Ceq\o\al(20,200)种．故选D.答案：D2．(2024·全国乙卷)甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有()A．30种 B．60种C．120种 D．240种解析：依据题意可得满意题意的选法种数为：Ceq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(2,5)＝120.故选C.答案：C3．有五名志愿者参与社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参与服务，则两天中恰有1人连续参与两天服务的选择种数为()A．120 B．60C．40 D．30解析：先从5人中选1人连续两天参与服务，共有Ceq\o\al(1,5)＝5(种)选法，然后从剩下4人中选1人参与星期六服务，剩下3人中选取1人参与星期日服务，共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,3)＝12(种)选法，依据分步乘法计数原理可得共有5×12＝60(种)选法．故选B.答案：B4．(2024·汕头二模)电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为0～255.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为()A．2563 B．27C．2553 D．6解析：分3步取色，第一、其次、第三次都有256种取法，依据分步乘法计数原理得，共可配成256×256×256＝2563(种)颜色．故选A.答案：A5．(2024·佛山二模)“基础学科拔尖学生培育试验安排”简称“珠峰安排”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培育安排，旨在培育中国自己的学术大师．已知浙江高校、复旦高校、武汉高校、中山高校均有开设数学学科拔尖学生培育基地，某班级有5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，则每所学校至少有一位同学选择的不同方法数共有()A．120种 B．180种C．240种 D．300种解析：5位同学从中任选一所学校作为奋斗目标，每所学校至少有一位同学选择的不同方法数Ceq\o\al(2,5)Aeq\o\al(4,4)＝240.故选C.答案：C6．(2024·广州一模)“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”、“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在全部五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有()A．100个 B．125个C．225个 D．250个解析：依据题意，对5位回文数有且仅有两位数字是奇数，分2种类型，分3步进行分析：第一类：对于百位数字，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法，对于十位、千位数字，是相同的，可以在0到9十个数字中任取1个奇数，有5种取法，对于万位、个位数字，是相同的，可以在1到9十个数字中任取1个偶数，有4种取法，则5位回文数有5×5×4＝100(个)，其次类：对于百位数字，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法，对于十位、千位数字，是相同的，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法，对于万位、个位数字，是相同的，可以在1到9十个数字中任取1个奇数，有5种取法，则5位回文数有5×5×5＝125(个)，共有225个．故选C.答案：C7．(2024·汕头一模)现将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，要求A、B相邻，且B、C不相邻，则不同的排列方式有________种．()A．192 B．240C．120 D．28解析：将A、B捆绑，可作一个元素，与D、E、F排列，然后插入C，可得不同的排列方式有：Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(1,4)＝192.故选A.答案：A8．(2024·广东模拟)把二项式(eq\r(3,x)＋eq\f(2,x))9的全部绽开项重新排列，求有理项不相邻的概率为()A.eq\f(2,5) B.eq\f(1,6)C.eq\f(5,42) D.eq\f(1,3)解析：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,9)·(eq\r(3,x))9－r·(eq\f(2,x))r＝Ceq\o\al(r,9)·x3－eq\f(r,3)·eq\f(2r,xr)＝Ceq\o\al(r,9)·x3－eq\f(4r,3)·2r，其中0≤r≤9，r∈N，当r＝0，3，6，9，项为有理项，则有4项有理项，6项无理项，绽开式的10项全排列共有Aeq\o\al(10,10)种，有理项互不相邻可把6个无理项全排，把4个有理项在形成的7个空中插空即可，有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(4,7)种．所以有理项都互不相邻的概率为eq\f(Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(4,7),Aeq\o\al(10,10))＝eq\f(1,6).故选B.答案：B9．(多选题)(2024·佛山禅城区校级一模)若x5＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a5(1－x)5，其中ai(i＝0，1，…，5)为实数，则()A．a0＝0 B．a3＝－10C．a1＋a3＋a5＝－16 D．a1＋a2＋…＋a5＝1解析：x5＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a5(1－x)5，对于A，令1－x＝0，则x＝1，则a0＝1，故A错误；对于B，因为x5＝[1－(1－x)]5，所以绽开式中含(1－x)3的系数为Ceq\o\al(3,5)·(－1)3＝－10，故B正确．对于C，令1－x＝1，则x＝0，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝0，令1－x＝－1，则x＝2，则a0－a1＋…－a5＝25＝32，所以a1＋a3＋a5＝eq\f(0－32,2)＝－16，故C正确；对于D，a1＋a2＋…＋a5＝0－a0＝－1，故D错误．故选BC.答案：BC10．(多选题)(2024·青岛一模)在(2x－eq\f(1,x))8的绽开式中，下列说法正确的是()A．常数项是1120B．第四项和第六项的系数相等C．各项的二项式系数之和为256D．各项的系数之和为256解析：依据二项式定理，(2x－eq\f(1,x))8的通项公式为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)28－k(－1)kx8－2k，对于A，常数项为Ceq\o\al(4,8)24(－1)4＝1120，故A正确；对于B，第四项的系数为Ceq\o\al(3,8)28－3(－1)3＝－1792，第六项的系数为Ceq\o\al(5,8)28－5(－1)5＝－448，故B错误；对于C，因为n＝8，所以各项的二项式系数之和为28＝256，故C正确；对于D，令x＝1，各项的系数之和为1，故D错误．故选AC.答案：AC11．(2024·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．解析：若选2门，则只能各选1门，有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,4)＝16(种)，如选3门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，则有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,4)＝24＋24＝48，综上共有16＋48＝64(种)不同的方案．故答案为64.答案：6412．(2024·深圳模拟)(x＋2)(x－1)3绽开式中x2的系数为________．解析：(x－1)3的绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,3)x3－r·(－1)r，(x＋2)(x－1)3＝x(x－1)3＋2(x－1)3，取r＝2和r＝1，计算得到系数为：Ceq\o\al(2,3)·(－1)2＋2×Ceq\o\al(1,3)·(－1)1＝－3.故答案为－3.答案：－313．(2024·天津卷)在(2x3－eq\f(1,x))6的绽开式中，x2项的系数为________．解析：二项式(2x3－eq\f(1,x))6的绽开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2x3)6－r·(－eq\f(1,x))r＝Ceq\o\al(r,6)·26－r·(－1)r·x18－4r，令18－4r＝2得，r＝4，所以x2项的系数为Ceq\o\al(4,6)·22×(－1)4＝60.故答案为60.答案：6014．(2024·上海卷)设(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a4＝________．解析：依据题意及二项式定理可得：a0＋a4＝Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(4,4)·(－2)4＝17.故答案为17.答案：1715．(2024·惠州模拟)已知(2eq\r(x)－eq\f(1,x))n的二项式系数的和为64，则其绽开式的常数项为________(用数字作答)．解析：由题意，2n＝64，得n＝6.所以(2eq\r(x)－eq\f(1,x))n＝(2eq\r(x)－eq\f(1,x))6，其通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)(2eq\r(x))6－r(－eq\f(1,x))r＝(－1)r·26－r·Ceq\o\al(r,6)·x3－eq\f(3,2)r.令3－eq\f(3,2)r＝0，得r＝2.所以绽开式的常数项为24·Ceq\o\al(2,6)＝240.故答案为240.答案：24016．(2024·汕头潮阳区三模)(x2＋eq\f(2,x)＋1)7绽开式中x5的系数是________．解析：因为(x2＋eq