专题04易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题(原卷版+解析)(重点突围)

专题04易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 1【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 4【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 8【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 12【典型例题】【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】例题：(2023春·浙江·八年级期末）已知：等腰三角形的两边长分别为6和4，则此等腰三角形的周长是_____．【变式训练】1．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不对2．（北京市延庆区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）等腰三角形有两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为_____．3．(2023春·江苏苏州·八年级校考期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为9cm，5cm，则该等腰三角形的周长为_____cm．4．(2023春·吉林长春·八年级统考期末）若的三边长分别为，7，6，当为等腰三角形时，则的值为__________．5．(2023春·湖北武汉·八年级统考期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它的底边长为______．【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】例题：(2023春·浙江·八年级期中）等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为__．【变式训练】1．(2023秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）如果等腰三角形的一个角的度数为，那么其余的两个角的度数是______．2．(2023春·黑龙江黑河·八年级校考期末）等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____．3．(2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为______．4．(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）在中，，，点D在边上（不与B、C重合），连接，若是等腰三角形，则的度数为___________．5．(2023春·江西赣州·八年级统考期中）如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________．6．(2023春·上海虹口·八年级校考期中）如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，例如，在中，如果，那么就是一个“倍角三角形”．如果一个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是____________．【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】例题：(2023春·河南平顶山·八年级校联考期中）如图，B、C、D在同一直线上，，，于O，，P为线段上一个动点，点P从点D向终点B运动（不包括D、B），当为等腰三角形时，的长为______．【变式训练】1．(2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在长方形中，点E是上的一点，过点E作，交于点F，作点D关于的对称点G，依次连接、、．已知，，且当是以为腰的等腰三角形时，则的值为_________________．2．(2023春·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点分别为点，，，，点D是线段的中点，点P在边上，若是腰为5的等腰三角形，则点P的坐标为____________．【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】例题：(2023春·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是______．【变式训练】1．(2023春·北京西城·八年级校考期中）在中，，是边上的高，，则的度数为______．2．(2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为______．3．(2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考阶段练习）一个等腰三角形的周长为36，其中一条边的长度为10，则底边上高的长度为___________．4．(2023秋·山东威海·七年级统考阶段练习）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的底角的度数为______．5．(2023·陕西·交大附中分校七年级期末）已知中，，在AB边上有一点D，若CD将分为两个等腰三角形，则________．专题04易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】 1【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】 4【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】 8【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】 12【典型例题】【易错点一求等腰三角形的周长时忽略构成三角形的三边关系产生易错】例题：(2023春·浙江·八年级期末）已知：等腰三角形的两边长分别为6和4，则此等腰三角形的周长是_____．答案:16或14##14或16分析：分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．【详解】解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、4，能组成三角形，周长是6+6+4＝16，②6是底边时，三角形的三边分别为6、4、4，能组成三角形，周长是6+4+4＝14，综上所述，三角形的周长为16或14．故答案为：16或14．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【变式训练】1．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20 B．25 C．20或25 D．以上答案均不对答案:B解析：分析：先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分5是腰长与底边两种情况讨论求解即可．【详解】解：，，x−5=0，y−10=0，解得x=5，y=10，当5是腰长时，三角形的三边分别为5、5、10，∵5+5=10，∴不能组成三角形；当5是底边时，三角形的三边分别为5、10、10，能组成三角形，周长=5+10+10=25，所以，三角形的周长为25，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的性质，绝对值非负数，平方非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0，求出x、y的值是解题的关键，难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．2．（北京市延庆区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）等腰三角形有两条边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为_____．答案:17分析：由等腰三角形两腰长相等的性质，分7为腰长或3为腰长两种情况，结合三角形三边关系即可求解．【详解】解：根据题意，当腰长为时，7、7、3能组成三角形，周长为：；当腰长为时，，7、3、3不能构成三角形，故答案为：17．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，解题的关键是掌握“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”．3．(2023春·江苏苏州·八年级校考期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为9cm，5cm，则该等腰三角形的周长为_____cm．答案:23或19分析：分9cm是腰长与底边长两种情况，再结合三角形的三边关系讨论求解．【详解】解：①若9cm是腰长，则三角形的三边分别为9cm、9cm、5cm，，能组成三角形，周长（cm），②若9cm是底边长，则三角形的三边分别为9cm、9cm、5cm，，能组成三角形，周长（cm）．综上所述，三角形的周长为23或19cm．故答案为：23或19．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形三边关系判断是否能组成三角形．4．(2023春·吉林长春·八年级统考期末）若的三边长分别为，7，6，当为等腰三角形时，则的值为__________．答案:3或4##4或3分析：根据等腰三角形的性质分两种情况：当时，当时，再结合三角形三边关系检验即可．【详解】解：∵为等腰三角形，∴当时，解得，∴三边长为6，6，7∵，∴符合三角形三边的条件，当时，解得，∴三边长为7，7，6∵，∴符合三角形三边的条件，∴的值为4和3．故答案为：4和3．【点睛】本题考查了三角形的三边关系和等腰三角形的定义（两边相等的三角形），灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．5．(2023春·湖北武汉·八年级统考期中）用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的1.5倍，则它的底边长为______．答案:12或7分析：可设一边为，则另一边为，然后分x为腰和底两种情况，表示出周长，解出x，再利用三角形三边关系进行验证即可．【详解】解：设一边为，则另一边为，①当长为的边为腰时，此时三角形的三边长分别为、、，由题意可列方程：，解得，此时三角形的三边长分别为：、和，满足三角形三边之间的关系，符合题意；②当长为的边为底时，此时三角形的三边长分别为：、、，由题意可列方程：，解得：，此时三角形的三边长分别为：、、，满足三角形的三边之间的关系，符合题意；∴这个三角形的底边长为或．故答案为：12或7．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系，分情况讨论且进行三边验证是解题的关键．【易错点二当等腰三角形中腰和底不明求角度时没有分类讨论产生易错】例题：(2023春·浙江·八年级期中）等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的顶角为__．答案:或##或分析：首先要进行分析题意，“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角，所以要分两种情况进行讨论．【详解】本题分两种情况，①当角为顶角时，顶角的度数为，②当角为底角时，顶角的度数为；∴这个等腰三角形的顶角为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．【变式训练】1．(2023秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）如果等腰三角形的一个角的度数为，那么其余的两个角的度数是______．答案:，或，分析：根据等腰三角形性质，分类讨论即可得到答案．【详解】解：①当时顶角时，其余两个角是底角且相等，则有：；②当时底角时，则有：顶角；故答案为：，或，．【点睛】本题考查等腰三角形性质：两个底角相等，还考查了分类讨论的思想．2．(2023春·黑龙江黑河·八年级校考期末）等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少，则这个等腰三角形的顶角度数是_____．答案:或或分析：设另一个角是，表示出一个角是，然后分①是顶角，是底角，②是底角，是顶角，③与都是底角根据三角形的内角和等于与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】解：设另一个角是，表示出一个角是，①是顶角，是底角时，，解得，所以，顶角是；②是底角，是顶角时，，解得，所以，顶角是；③与都是底角时，，解得，所以，顶角是；综上所述，这个等腰三角形的顶角度数是或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的内角和定理，难点在于分情况讨论，特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．3．(2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为______．答案:或或##或或##或或##或或##或或##或或分析：求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【详解】∵平分，∴，分三种情况：①当时，如图，∵，∴，∴；②当时，如图，∵，∴；③当时，如图，∵，∴，∴，综上，的度数为：或或，故答案为：或或【点睛】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．4．(2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨德强学校校考期中）在中，，，点D在边上（不与B、C重合），连接，若是等腰三角形，则的度数为___________．答案:或分析：在中，根据，，得到，再根据是等腰三角形及三角形外角公式分类讨论即可得到答案．【详解】解：如图所示,在中，∵，，∴，若是等腰三角形，①当时，，，②当时，，，，综上所述或．【点睛】本题考查利用等腰三角形性质求角度及三角形内外角关系，解题关键是分析出的腰．5．(2023春·江西赣州·八年级统考期中）如图，在中，，，点P在的三边上运动，当为等腰三角形时，顶角的度数是________．答案:或或分析：作出图形，然后分点P在上与上两种情况讨论求解．【详解】解：①如图1，点P在上时，，顶角为，②∵，，∴，如图2，点P在上时，若，顶角为，如图3，若，则顶角为，综上所述，顶角为或或．故答案为：或或．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，注意要分情况讨论求解．6．(2023春·上海虹口·八年级校考期中）如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”，例如，在中，如果，那么就是一个“倍角三角形”．如果一个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是____________．答案:或##36°或90°分析：分两种情况：当顶角是底角的2倍时和当底角是顶角的2倍时，根据三角形的内角和定理，列出方程，计算即可．【详解】解：当顶角是底角的2倍时，设顶角为，则底角为，∴，解得：，当底角是顶角的2倍时，设顶角为，则底角为，∴，解得：，综上所述，它的顶角的度数是或．故答案为：或【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的定义、解一元一次方程，解本题的关键在分情况讨论思想的应用．【易错点三求有关等腰三角形中的多解题没有分类讨论产生易错】例题：(2023春·河南平顶山·八年级校联考期中）如图，B、C、D在同一直线上，，，于O，，P为线段上一个动点，点P从点D向终点B运动（不包括D、B），当为等腰三角形时，的长为______．答案:3或或13分析：根据勾股定理求出，进而求出和的长，分三种情况，根据勾股定理、等腰三角形的性质计算，得到答案．【详解】解：∵，∴，在中，，∴，∵，∴，当时，，当时，，在中，，即，解得，，则，当时，，综上所述，是等腰三角形时，线段DP的长度为3或或13．故答案为：3或或13．【点睛】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．【变式训练】1．(2023春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在长方形中，点E是上的一点，过点E作，交于点F，作点D关于的对称点G，依次连接、、．已知，，且当是以为腰的等腰三角形时，则的值为_________________．答案:或分析：①当时，是以为腰的等腰三角形，设，则，，在中，根据勾股定理，可列出方程求出x的值，进而可得的值；②当时，是以为腰的等腰三角形，过点B作，证明，，再列方程求解即可．【详解】解：①当时，是以为腰的等腰三角形，在长方形中，∵D关于的对称点G，∴，∵是以为腰的等腰三角形，∴，∴，设，则，，在中，即：，解得：，，∴的值为；②当时，是以为腰的等腰三角形，如下图1，过点B做，∵四边形是长方形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵点D关于的对称点G，∴，∴，，∵，，∴，，∴，∵，，，∴，∵，，∴，在和中∴，∴，，设，则，∵，，，∴，∵，∴，解得：，∴；综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，则的值为或．【点睛】本题考查了长方形、等腰三角形、轴对称的性质，根据勾股定理巧妙设方程求解是解本题的关键，综合性较强，难度较大．2．(2023春·陕西西安·八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形的四个顶点分别为点，，，，点D是线段的中点，点P在边上，若是腰为5的等腰三角形，则点P的坐标为____________．答案:或分析：先求出点D的坐标为，设点P的坐标为：，分两种情况：或，求出a的值，即可得出答案．【详解】解：∵点，，点D是线段的中点，∴点D的坐标为，，∵点，，∴轴，设点P的坐标为：，当时，，解得：或，∵，∴舍去，∴此时点P的坐标为：；当时，，解得：或（舍去），∴此时点P的坐标为：；综上分析可知，点P的坐标为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，勾股定理，平面直角坐标系中点的特点，解题的关键是设出点P的坐标，列出方程，注意进行分类讨论．【易错点四三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论产生易错】例题：(2023春·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则顶角的度数是______．答案:或分析：首先根据题意画出图形，一种情况是等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为；另一种情况是等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为；【详解】如图1，等腰三角形为锐角三角形，∵，，∴；如图2，等腰三角形为钝角三角形，∵，，∴，∴．故答案为：或【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确的画出图形，结合图形利用数形结合的思想求解是解题的关键．【变式训练】1．(2023春·北京西城·八年级校考期中）在中，，是边上的高，，则的度数为______．答案:或分析：分两种情况：当在线段上时，根据题意，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的内角和定理，计算即可得出的度数；当在线段的延长线上时，根据题意，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角的性质，计算即可得出的度数，综合即可得出答案．【详解】解：如图，当在线段上时，∵是边上的高，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴；如图，当在线段的延长线上时，∵是边上的高，∴，又∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，综上所述，的度数为或．故答案为：或．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、等边对等角、三角形的外角的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，分类讨论．2．(2023春·广东广州·八年级校考阶段练习）在中，，上的中线把三角形的周长分成和两部分，则底边的长为______．答案:或分析：分两种情况：；，可得的长，再由另一部周长即可求得底边的长．【详解】解：由题意得：；当时，即，，，；当时，即，，，；综上，底边的长为或；故答案为：或．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，中线的含义，涉及分类讨论．3．(2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆市第七中学校校考阶段练习）一个等腰三角形的周长为36，其中一条边的长度为10，则底边上高的长度为___________．答案:6或12##12或6分析：分两种情况：①当长度为10的边是腰时，②当长度为10的边是底时，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解∶①当长度为10的边是腰时，则底为，底边上高的长度为；②当长度为10的边是底时，则腰为，底边上高的长度为，综上所述，底边上高的长度为6或12，故答案为∶6或12．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．4．(2023秋·山东威海·七年级统考阶段练习）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形