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考点5:不等式与不等式组1.(2023达州)关于x不等式组恰有3个整数解,则a的取值范围是_______.2.(2023乐山)解不等式组.请结合题意完成本题的解答(每空只需填出最后结果).解:解不等式①,得______.解不等式②,得______.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.所以原不等式组解集为______.3.(2023绵阳)已知关于x的不等式组无解,则的取值范围是_________.4.(2023成都)解不等式组:.5.(2023广元)先化简,再求值:÷(1﹣),其中x是不等式组的整数解.6.(2023宜宾)不等式组的解集为______.7.(2023自贡)解不等式组:,并在数轴上表示其解集.8.(2023泸州)某经销商计划购进,两种农产品.已知购进种农产品2件,种农产品3件,共需690元;购进种农产品1件,种农产品4件,共需720元.(1),两种农产品每件的价格分别是多少元?(2)该经销商计划用不超过5400元购进,两种农产品共40件,且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍.如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元,种每件200元的价格全部售出,那么购进,两种农产品各多少件时获利最多?9.(2023眉山)建设美丽城市,改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元,2021年投入资金1440万元,现假定每年投入资金的增长率相同.(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率;(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变,求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区?10.(2023达州)某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场,就用4000元购进一批这种T恤衫,面市后果然供不应求.商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但每件的进价贵了4元.(1)该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元?(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售,最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出,要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%(不考虑其他因素),那么每件T恤衫的标价至少是多少元?11.(2023内江)(12分)为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针,内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.在此次活动中,若每位老师带队30名学生,则还剩7名学生没老师带;若每位老师带队31名学生,就有一位老师少带1名学生.现有甲、乙两型客车,它们的载客量和租金如表所示:甲型客车乙型客车载客量(人/辆)3530租金(元/辆)400320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元.(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人?(2)每位老师负责一辆车的组织工作,请问有哪几种租车方案?(3)学校租车总费用最少是多少元?12.(2023德阳)习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调:实施乡村振兴战略,是党的十九大作出的重大决策部署,是新时代做好“三农”工作的总抓手.为了发展特色产业,红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株,种树苗400株,已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍.(1)求、两种树苗的单价分别是多少元?(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种,其中种树苗不多于25株,在单价不变,总费用不超过480元的情况下,共有几种购买方案?哪种方案费用最低?最低费用是多少元?13.(2023凉山州)为全面贯彻党的教育方针,严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神,保障学生每天在校1小时体育活动时间,某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍,已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元;购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元.(1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价.(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副,且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍,请给出最省钱的购买方案,求出最少费用,并说明理由.14.(2023绵阳)某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售,部分水果批发价格与零售价格如下表:水果品种梨子菠萝苹果车厘子批发价格(元/kg)45640零售价格(元/kg)56850请解答下列问题:(1)第一天,该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg,当日全部售出,求这两种水果获得的总利润?(2)第二天,该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果,当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失,只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg,这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润,请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些?15.(2023南充)南充市被誉为中国绸都,本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品,它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件.(利润=售价-进价)种类真丝衬衣真丝围巾进价(元/件)a80售价(元/件)300100(1)求真丝衬衣进价a的值.(2)若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件,据市场销售分析,真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍.如何进货才能使本次销售获得的利润最大?最大利润是多少元?(3)按(2)中最大利润方案进货与销售,在实际销售过程中,当真丝围巾销量达到一半时,为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%,衬衣售价不变,余下围巾降价销售,每件最多降价多少元?考点5:不等式与不等式组1.(2023达州)关于x不等式组恰有3个整数解,则a的取值范围是_______.答案:解析:分析:首先确定不等式组的解集,先利用含a的式子表示,根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解,根据解的情况可以得到关于a的不等式,从而求出a的范围【详解】解:解不等式①得:,解不等式②得:,不等式组有解,∴不等式组的解集为:,不等式组恰有3个整数解,则整数解为1,2,3,解得.故答案为:.【点睛】考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.本题要根据整数解的取值情况分情况讨论结果,取出合理的答案.2.(2023乐山)解不等式组.请结合题意完成本题的解答(每空只需填出最后结果).解:解不等式①,得______.解不等式②,得______.把不等式①和②的解集在数轴上表示出来.所以原不等式组解集为______.答案:;;见详解;解析:分析:分别解两个不等式,然后在数轴上表示解集,再根据公共部分确定不等式组的解集.【详解】解:解不等式①,得,解不等式②,得,把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为:所以原不等式组解集为:.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示,熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键.3.(2023绵阳)已知关于x的不等式组无解,则的取值范围是_________.答案:解析:分析:分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案.【详解】解∶,解不等式①得:,解不等式②得:,∵不等式组无解,∴,解得:,∴.故答案为:【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.4.(2023成都)解不等式组:.答案:解析:分析:分别解出两个不等式的解集再求其公共解.【详解】解:不等式①的解集是x≥-1;不等式②的解集是x<2;所以原不等式组的解集是-1≤x<2.【点睛】求不等式组的解集应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.5.(2023广元)先化简,再求值:÷(1﹣),其中x是不等式组的整数解.答案:,当x=2时,原分式的值为解析:分析:由题意先把分式进行化简,求出不等式组整数解,根据分式有意义的条件选出合适的x值,进而代入求解即可.【详解】解:原式=;由可得该不等式组的解集为:,∴该不等式组的整数解为:-1、0、1、2,当x=-1,0,1时,分式无意义,∴x=2,∴把x=2代入得:原式=.【点睛】本题主要考查分式的运算及一元一次不等式组的解法,要注意分式的分母不能为0.6.(2023宜宾)不等式组的解集为______.答案:解析:分析:先分别求出不等式组中每一个不等式的解集,再根据确定不等式组解集原则“大大取较大,小小取较小,大小小大,中间找,大大小小无处找”确定出不等式组的公共解集即可.【详解】解:,解①得:x≤–1,解②得:x>-4,∴-4<x≤-1.故答案为:-4<x≤-1.【点睛】本题考查解不等式组,掌握确定不等式组解集原则“大大取较大,小小取较小,大小小大,中间找,大大小小无处找”是解题的关键.7.(2023自贡)解不等式组:,并在数轴上表示其解集.答案:-1<x<2,数轴表示见解析解析:分析:分别解两个不等式,找出其解集的公共部分即不等式组的解集,再把不等式组的解集在数轴上表示出来即可.详解】解:解不等式①,得:x<2,解不等式②,得:x>-1,则不等式组的解集为-1<x<2,将不等式的解集表示在数轴上如下:【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集,正确掌握解不等式组的方法是解决本题的关键.8.(2023泸州)某经销商计划购进,两种农产品.已知购进种农产品2件,种农产品3件,共需690元;购进种农产品1件,种农产品4件,共需720元.(1),两种农产品每件的价格分别是多少元?(2)该经销商计划用不超过5400元购进,两种农产品共40件,且种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍.如果该经销商将购进的农产品按照种每件160元,种每件200元的价格全部售出,那么购进,两种农产品各多少件时获利最多?答案:(1)A每件进价120元,B每件进价150元;(2)A农产品进20件,B农产品进20件,最大利润是1800元.解析:分析:(1)根据“购进种农产品2件,种农产品3件,共需690元;购进种农产品1件,种农产品4件,共需720元”可以列出相应的方程组,从而可以求得A、B两种农产品每件的价格分别是多少元;
(2)根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式,从而可以解答本题.小问1详解】设A每件进价x元,B每件进价y元,由题意得,
解得:,答:A每件进价120元,B每件进价150元;小问2详解】设A农产品进a件,B农产品(40-a)件,由题意得,
解得,
设利润为y元,则,
∵y随a的增大而减小,
∴当a=20时,y最大,最大值y=2000-10×200=1800,
答:A农产品进20件,B农产品进20件,最大利润是1800元.【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和不等式的性质解答.9.(2023眉山)建设美丽城市,改造老旧小区.某市2019年投入资金1000万元,2021年投入资金1440万元,现假定每年投入资金的增长率相同.(1)求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率;(2)2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元.2022年为提高老旧小区品质,每个小区改造费用增加15%.如果投入资金年增长率保持不变,求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区?答案:(1)20%(2)18个解析:分析:(1)先设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为,根据2019年投入资金2021年投入的总资金,列出方程求解即可;(2)由(1)得出的资金年增长率求出2022年的投入资金,然后2022年改造老旧小区的总费用要小于等于2022年投入资金,列出不等式求解即可.【小问1详解】解:设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为,根据题意得:,解这个方程得,,,经检验,符合本题要求.答:该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%.【小问2详解】设该市在2022年可以改造个老旧小区,由题意得:,解得.∵为正整数,∴最多可以改造18个小区.答:该市在2022年最多可以改造18个老旧小区.【点睛】此题考查了一元二次方程的应用,不等式的应用,解决此题的关键是找到相应的等量关系和相应的不等关系,列出正确的方程和不等式.10.(2023达州)某商场进货员预测一种应季T恤衫能畅销市场,就用4000元购进一批这种T恤衫,面市后果然供不应求.商场又用8800元购进了第二批这种T恤衫,所购数量是第一批购进量的2倍,但每件的进价贵了4元.(1)该商场购进第一批、第二批T恤衫每件的进价分别是多少元?(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售,最后缺码的40件T恤衫按七折优惠售出,要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%(不考虑其他因素),那么每件T恤衫的标价至少是多少元?答案:(1)该商场购进第一批每件的进价为40元,第二批T恤衫每件的进价为44元(2)每件T恤衫的标价至少是80元解析:分析:(1)设该商场购进第一批每件的进价为元,第二批T恤衫每件的进价为元,根据“所购数量是第一批购进量的2倍”列分式方程求解检验即可;(2)设每件T恤衫的标价是元,根据“两批T恤衫全部售完后利润率不低于80%”列不等式,求解即可.【小问1详解】设该商场购进第一批每件的进价为元,第二批T恤衫每件的进价为元,由题意得,,解得,经检验,是原方程的解且符合题意,,所以,该商场购进第一批每件的进价为40元,第二批T恤衫每件的进价为44元;【小问2详解】两批T恤衫的数量为(件),设每件T恤衫的标价是元,由题意得:,解得所以,每件T恤衫的标价至少是80元.【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题,列不等式解决实际问题,准确理解题意,找准数量关系是解题的关键.11.(2023内江)(12分)为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针,内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动.在此次活动中,若每位老师带队30名学生,则还剩7名学生没老师带;若每位老师带队31名学生,就有一位老师少带1名学生.现有甲、乙两型客车,它们的载客量和租金如表所示:甲型客车乙型客车载客量(人/辆)3530租金(元/辆)400320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元.(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人?(2)每位老师负责一辆车的组织工作,请问有哪几种租车方案?(3)学校租车总费用最少是多少元?分析:(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人,可得:30x+7=31x﹣1,即可解得参加此次劳动实践活动的老师有8人,参加此次劳动实践活动的学生有247人;(2)根据每位老师负责一辆车的组织工作,知一共租8辆车,设租甲型客车m辆,可得:,解得m的范围,解得一共有3种租车方案:租甲型客车3辆,租乙型客车5辆或租甲型客车4辆,租乙型客车4辆或租甲型客车5辆,租乙型客车3辆;(3)设学校租车总费用是w元,w=400m+320(8﹣m)=80m+2560,由一次函数性质得学校租车总费用最少是2800元.【解答】解:(1)设参加此次劳动实践活动的老师有x人,参加此次劳动实践活动的学生有(30x+7)人,根据题意得:30x+7=31x﹣1,解得x=8,∴30x+7=30×8+7=247,答:参加此次劳动实践活动的老师有8人,参加此次劳动实践活动的学生有247人;(2)师生总数为247+8=255(人),∵每位老师负责一辆车的组织工作,∴一共租8辆车,设租甲型客车m辆,则租乙型客车(8﹣m)辆,根据题意得:,解得3≤m≤5.5,∵m为整数,∴m可取3、4、5,∴一共有3种租车方案:租甲型客车3辆,租乙型客车5辆或租甲型客车4辆,租乙型客车4辆或租甲型客车5辆,租乙型客车3辆;(3)设租甲型客车m辆,则租乙型客车(8﹣m)辆,由(2)知:3≤m≤5.5,设学校租车总费用是w元,w=400m+320(8﹣m)=80m+2560,∵80>0,∴w随m的增大而增大,∴m=3时,w取最小值,最小值为80×3+2560=2800(元),答:学校租车总费用最少是2800元.【点评】本题考查一元一次方程,一元一次不等式组及一次函数的应用,解题的关键是读懂题意,列出方程,不等式和函数关系式.12.(2023德阳)习近平总书记对实施乡村振兴战略作出重要指示强调:实施乡村振兴战略,是党的十九大作出的重大决策部署,是新时代做好“三农”工作的总抓手.为了发展特色产业,红旗村花费4000元集中采购了种树苗500株,种树苗400株,已知种树苗单价是种树苗单价的1.25倍.(1)求、两种树苗的单价分别是多少元?(2)红旗村决定再购买同样的树苗100株用于补充栽种,其中种树苗不多于25株,在单价不变,总费用不超过480元的情况下,共有几种购买方案?哪种方案费用最低?最低费用是多少元?答案:(1)种树苗的单价是4元,则B种树苗的单价是5元(2)有6种购买方案,购买种树苗,25棵,购买B种树苗75棵费用最低,最低费用是475元.解析:分析:(1)设种树苗的单价是x元,则B种树苗的单价是1.25x元,根据“花费4000元集中采购了种树苗500株,种树苗400株,”列出方程,即可求解;(2)设购买种树苗a棵,则购买B种树苗(100-a)棵,其中a为正整数,根据题意,列出不等式组,可得,从而得到有6种购买方案,然后设总费用为w元,根据题意列出函数关系式,即可求解.【小问1详解】解:设种树苗的单价是x元,则B种树苗的单价是1.25x元,根据题意得:,解得:,∴1.25x=5,答:种树苗的单价是4元,则B种树苗的单价是5元;【小问2详解】解:设购买种树苗a棵,则购买B种树苗(100-a)棵,其中a为正整数,根据题意得:,解得:,∵a为正整数,∴a取20,21,22,23,24,25,∴有6种购买方案,设总费用为w元,∴,∵-1<0,∴w随a的增大而减小,∴当a=25时,w最小,最小值为475,此时100-a=75,答:有6种购买方案,购买种树苗,25棵,购买B种树苗75棵费用最低,最低费用是475元.【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用,一元一次不等式组的应用,一次函数的应用,明确题意,准确得到数量关系是解题的关键.13.(2023凉山州)为全面贯彻党的教育方针,严格落实教育部对中小学生“五项管理”的相关要求和《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》精神,保障学生每天在校1小时体育活动时间,某班计划采购A、B两种类型的羽毛球拍,已知购买3副A型羽毛球拍和4副B型羽毛球拍共需248元;购买5副A型羽毛球拍和2副B型羽毛球拍共需264元.(1)求A、B两种类型羽毛球拍的单价.(2)该班准备采购A、B两种类型的羽毛球拍共30副,且A型羽毛球拍的数量不少于B型羽毛球拍数量的2倍,请给出最省钱的购买方案,求出最少费用,并说明理由.答案:(1)型羽毛球拍的单价为40元,型羽毛球拍的单价为32元(2)最省钱的购买方案是采购20副型羽毛球拍,10副型羽毛球拍;最少费用为1120元,理由见解析解析:分析:(1)设型羽毛球拍的单价为元,型羽毛球拍的单价为元,根据“购买3副型羽毛球拍和4副型羽毛球拍共需248元;购买5副型羽毛球拍和2副型羽毛球拍共需264元”建立方程组,解方程组即可得;(2)设该班采购型羽毛球拍副,购买的费用为元,则采购型羽毛球拍副,结合(1)的结论可得,再根据“型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍”求出的取值范围,然后利用一次函数的性质求解即可得.【小问1详解】解:设型羽毛球拍的单价为元,型羽毛球拍的单价为元,由题意得:,解得,答:型羽毛球拍的单价为40元,型羽毛球拍的单价为32元.【小问2详解】解:设该班采购型羽毛球拍副,购买的费用为元,则采购型羽毛球拍副,由(1)的结论得:,型羽毛球拍的数量不少于型羽毛球拍数量的2倍,,解得,在内,随的增大而增大,则当时,取得最小值,最小值为,此时,答:最省钱的购买方案是采购20副型羽毛球拍,10副型羽毛球拍;最少费用为1120元.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用,正确建立方程组和函数关系式是解题关键.14.(2023绵阳)某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售,部分水果批发价格与零售价格如下表:水果品种梨子菠萝苹果车厘子批发价格(元/kg)45640零售价格(元/kg)56850请解答下列问题:(1)第一天,该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg,当日全部售出,求这两种水果获得的总利润?(2)第二天,该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果,当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失,只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg,这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润,请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些?答案:(1)500元;(2)方案一购进88kg菠萝,210kg苹果;方案二购进94kg菠萝,205kg苹果.解析:分析:(1)设第一天,该经营户批发了菠萝xkg,苹果ykg,根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出x,y的值,再利用总利润=每千克的销售利润×销售数量(购进数量),即可求出结论;(2)设购进菠萝mkg,则购进苹果,根据“菠梦进货量不低于88kg,且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”,即可得出关于m的一元一次不等式组,解之即可得出m的取值范围,再结合m,均为正整数,即可得出各进货方案.【小问1详解】解:设第一天,该经营户批发菠萝xkg,苹果ykg,根据题意得:,解得:,∴元,答:这两种水果获得的总利润为500元;【小问2详解】解:设购进菠萝mkg,则购进苹果,根据题意:,解得:,∵m,均为正整数,∴m取88,94,∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案,方案一购进88kg菠萝,210kg苹果
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