高一数学一隅三反系列(人教A版必修第一册)3.1函数的概念及表示(精讲)(原卷版+解析)

3.1函数的概念及表示（精讲）考点一区间的表示【例1-1】(2023·全国·高一专题练习）将下列集合用区间表示出来．(1)；(2)；(3)；(4)或．【例1-2】(2023广东）若函数的定义域为，值域为，则a的取值范围是________.【【方法总结】用区间表示数集的原则有①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭不能弄错；用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．【一隅三反】1．(2023·全国高一课时练习）用区间表示下列集合：（1）______；（2）______；（3）______．2．(2023·江苏·高一）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．52．(2023·安徽）已知为一个确定的区间，则a的取值范围是________.考点二函数概念的辨析【例2-1】(2023·湖南·高一课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②【例2-2】(2023·四川省）下列是从集合A到集合B的函数的是（

）A．，对应法则B．，，对应法则C．，对应法则D．，，对应法则【一隅三反】1．(2023·全国·高一专题练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（

）A． B．C． D．2．(2023·江苏·高一）如图，设，，表示A到B的函数的是__________填序号．3．(2023·云南）有对应法则f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．考点三函数的定义域【例3-1】(2023·江苏·高一）函数的定义域为（

）．A． B．C． D．【例3-2】(2023·广东）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；（2）已知的定义域为，求的定义域；（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．(4）已知函数的定义域为，则函数的定义域为【例3-3】（1）(2023·新疆）若函数的定义域为R，则a的范围是（

）A．B．C．D．（2）(2023·广东·广州市白云中学高一期中）已知的定义域是R，则实数a的取值范围是(

)A． B．【一隅三反】1．(2023·江苏·高一）函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高一阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．(2023·江苏·高一）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．4．(2023·全国·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.5．(2023·江苏·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.6．(2023·江苏）已知函数，若的定义域为，则的取值范围是________．7．(2023·湖南）函数的定义域为，若，则的取值范围是__________．8．(2023·青海）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.考点四函数的表示方法【例5-1】(2023·全国·专题练习）已知函数，部分与的对应关系如表：则（

）A． B． C． D．【例5-2】(2023·北京）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（4）已知，求函数的解析式；（5）已知是上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．【例5-3】(2023·黑龙江）作出下列函数的大致图像（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【一隅三反】1．(2023·河南）已知函数，用列表法表示如下：则（

）A． B． C． D．2．(2023·全国·高一专题练习）根据下列条件，求函数的解析式；（1）已知是一次函数，且满足；（2）已知函数为二次函数，且，求的解析式；（3）已知；（4）已知等式对一切实数､都成立，且；（5）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立；（6）已知，求的解析式．3．(2023·全国·高一课时练习）把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域并作出函数图像：（1）；（2）.考点五相等函数的判断【例5】(2023·全国·高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【一隅三反】1(2023·云南）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（

）A．， B．，C．， D．，2．(2023·全国·高一）下列函数中与函数是同一函数的是（

）A． B．C． D．3．(2023·江苏·高一）下列各组函数的图象相同的是（

）A． B．

C． D．考点六分段函数【例6-1】(2023·江苏·高一）函数f(x)＝若f(x)＝2，则x的值是(

)A． B．± C．0或1 D．【例6-2】(2023·新疆）已知函数，若，则a的值是（）A．3或 B．或4 C． D．3或或4【一隅三反】1．(2023·河南信阳）已知函数(1)求的值；(2)若，求x的值.2．(2023·浙江）已知（1）画出的图象；（2）若，求x的取值范围；（3）求的值域.3(2023·江西）已知函数（1）在坐标系中作出函数的图象；（2）若，求a的取值集合.3.1函数的概念及表示（精讲）考点一区间的表示【例1-1】(2023·全国·高一专题练习）将下列集合用区间表示出来．(1)；(2)；(3)；(4)或．答案:(1)；(2)；(3)；(4).解析：(1)用区间表示为；(2)用区间表示为；(3)用区间表示为；(4)或用区间表示为.【例1-2】(2023广东）若函数的定义域为，值域为，则a的取值范围是________.答案:解析：由区间的定义知，解得.【【方法总结】用区间表示数集的原则有①数集是连续的；②左小右大；③区间的一端是开或闭不能弄错；用区间表示数集的方法：区间符号里面的两个数字(或字母)之间用“，”隔开；（3）用数轴表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别．【一隅三反】1．(2023·全国高一课时练习）用区间表示下列集合：（1）______；（2）______；（3）______．答案:（1）（2）（3）解析：（1）根据集合与区间的改写，可得．（2）由或．（3）由或．2．(2023·江苏·高一）下列集合不能用区间的形式表示的个数为（

）①；②；③；④；⑤；⑥．A．2 B．3 C．4 D．5答案:D解析：区间形式可以表示连续数集，是无限集①②是自然数集的子集，③是空集为有限集，都不能用区间形式表示，④是图形的集合，不是数集，等边三角形组成的集合．⑥Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，故只有⑤可以，区间形式为，故答案为：D.2．(2023·安徽）已知为一个确定的区间，则a的取值范围是________.答案:.解析：由为一个确定的区间知，解得，因此a的取值范围是.故答案为：考点二函数概念的辨析【例2-1】(2023·湖南·高一课时练习）设集合，，那么下列四个图形中，能表示集合到集合的函数关系的有（

）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②答案:C解析：由题意，函数的定义域为，对于①中，函数的定义域不是集合，所以不能构成集合到集合的函数关系；对于②中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；对于③中，函数的定义域为集合，值域为集合，所以可以构成集合到集合的函数关系；对于④中，根据函数的定义，集合中的元素在集合中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以不正确.故选：C【例2-2】(2023·四川省）下列是从集合A到集合B的函数的是（

）A．，对应法则B．，，对应法则C．，对应法则D．，，对应法则答案:B解析：A：当，，但，所以集合A中的一个元素在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故A错误；B：集合A中的任意元素在集合B中都有元素和它一一对应，是函数，故B正确；C：集合A中的负数在集合B中没有元素和它对应，不是函数，故C错误；D：集合A中元素为0时，其倒数不存在，所以在集合B中五对应元素，不是函数，故D错误；【一隅三反】1．(2023·全国·高一专题练习）下列图形中，不能表示以为自变量的函数图象的是（

）A． B．C． D．答案:B解析：B中，当时，有两个值和对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B2．(2023·江苏·高一）如图，设，，表示A到B的函数的是__________填序号．答案:④解析：根据函数的定义，在③中，存在一个x对应两个y，③不是函数；①，②中函数的值域不是，故排除①②③；可知④符合题意.故答案为：④．3．(2023·云南）有对应法则f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．答案:（1）(4)解析：（1）由函数的定义知，正确；（2）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（3）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（4）由函数的定义知，正确；（5）因为集合A不是数集，故错误；故答案为：（1）(4)考点三函数的定义域【例3-1】(2023·江苏·高一）函数的定义域为（

）．A． B．C． D．答案:D解析：要是函数有意义，必须，解之得则函数的定义域为故选：D【例3-2】(2023·广东）（1）已知的定义域为，求函数的定义域；（2）已知的定义域为，求的定义域；（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．(4）已知函数的定义域为，则函数的定义域为答案:（1）；（2）；（3）.(4)解析：（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．∴，∴，即的定义域为．（2）由题意知中的，∴.又中的取值范围与中的x的取值范围相同，∴的定义域为．（3）∵函数的定义域为，由，得，∴的定义域为．又，即，∴函数的定义域为.（4）由题函数的定义域为，在中，所以，在中，所以.【例3-3】（1）(2023·新疆）若函数的定义域为R，则a的范围是（

）A．B．C．D．（2）(2023·广东·广州市白云中学高一期中）已知的定义域是R，则实数a的取值范围是(

)A． B．C． D．答案:（1）D（2）D解析：（1）若的定义域为R，则当时，满足题意；当时，，解得：；当时，无法满足定义域为R．综上所述：，D正确．故选：D（2）由题意可知，的解集为，①当时，易知，即，这与的解集为矛盾；②当时，若要的解集为，则只需图像开口向上，且与轴无交点，即判别式小于0，即，解得，综上所述，实数a的取值范围是.故选：D.【一隅三反】1．(2023·江苏·高一）函数的定义域为（

）A． B． C． D．答案:D解析：使得函数的表达式有意义，则且，解得故选：D2．(2023·全国·高一阶段练习）函数的定义域为（

）A． B． C． D．答案:C解析：要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为．故选：C.3．(2023·江苏·高一）已知函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．答案:B解析：因为函数的定义域为，所以，则，所以，解得，所以的定义域为，故选：B4．(2023·全国·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义城是________.答案:解析：因为函数的定义域为，所以要使函数有意义，只需，即，所以函数的定义城是.故答案为：5．(2023·江苏·高一）已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________.答案:解析：函数的定义域为，即，所以，所以，即，所以函数的定义域为.故答案为：.6．(2023·江苏）已知函数，若的定义域为，则的取值范围是________．答案:解析：由已知得对恒成立，即，∴.故答案为：.7．(2023·湖南）函数的定义域为，若，则的取值范围是__________．答案:解析：由于，所以解得或.所以的取值范围是.故答案为：8．(2023·青海）已知函数的定义域为，求实数的取值范围.答案:解析：由题意，函数的定义域为，即在上恒成立，当时，对任意恒成立；当时，要使恒成立，即方程无实根，只需判别式，解得，综上，实数的取值范围是.考点四函数的表示方法【例5-1】(2023·全国·专题练习）已知函数，部分与的对应关系如表：则（

）A． B． C． D．答案:D解析：由表知，，则．故选：D．【例5-2】(2023·北京）（1）已知，求的解析式；（2）已知，求函数的解析式；（3）已知是二次函数，且满足，，求函数的解析式；（4）已知，求函数的解析式；（5）已知是上的函数，，并且对任意的实数x，y都有，求函数的解析式．答案:（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解析：（1）∵，∴．（2）设，则，，即，∴，∴．（3）∵是二次函数，∴设．由，得．由，得，整理得，∴，∴，∴．（4）∵，①∴，②②①，得，∴．（5）令，则，∴．【例5-3】(2023·黑龙江）作出下列函数的大致图像（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．答案:见解析解析：（1），图象如图所示：（2），图象如图所示：（3），图象如图所示：（4），图象如图所示：（5），【一隅三反】1．(2023·河南）已知函数，用列表法表示如下：则（

）A． B． C． D．答案:B解析：由列表可知.故选：B.2．(2023·全国·高一专题练习）根据下列条件，求函数的解析式；（1）已知是一次函数，且满足；（2）已知函数为二次函数，且，求的解析式；（3）已知；（4）已知等式对一切实数､都成立，且；（5）知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立；（6）已知，求的解析式．答案:（1）；（2）；（3）或；（4）；（5）；（6）．解析：（1）设，则所以解得：所以；（2）设，解得：（3），令，由双勾函数的性质可得或，，或（4）因为对一切实数､都成立，且令则，又因为所以，即（5）将代入等式得出，联立，变形得：，解得（6）由题意得：定义域为设，则

．3．(2023·全国·高一课时练习）把下列函数写成分段函数的形式，求出定义域和值域并作出函数图像：（1）；（2）.答案:（1）定义域为，值域为，图像见解析；（2）定义域为，值域为，图像见解析.解析：（1），定义域为，值域为，图像如图所示：（2）定义域为，值域为.图像如图所示：考点五相等函数的判断【例5】(2023·全国·高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（

）A．与B．与C．与D．与答案:C解析：A．函数的定义域为，，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，故选：C．【一隅三反】1(2023·云南）下列四组函数中，表示相等函数的一组是（

）A．， B．，C．， D．，答案:A解析：对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.故选：A.2．(2023·全国·高一）下列函数中与函数是同一函数的是（

）A． B．C． D．答案:D解析：函数的定义域为R.对于A：的定义域为，故与函数不是同一函数.故A错误；对于B：的定义域为，故与函数不是同一函数.故B错误；对于C：的定义域为R，但是，故与函数不是同一函数.故C错误；对于D：的定义域为R，且，故与函数是同一函数.故D正确.故选：D.3．(2023·江苏·高一）下列各组函数的图象相同的是（

）A． B．

C． D．答案:B解析：若函数与的图象相同则与表示同一个函数，则与的定义域和解析式相同.A：的定义域为，的定义域为，故排除A；B：，与的定义域、解析式相同，