高中数学第三章不等式3-3-2-2简单线性规划的应用同步课件新人教A版必修5

第2课时

简单线性规划的应用

类型一实际问题中的最值问题【典例1】(2019·铜仁高一检测)某家具厂有方木料90m3,五合板600m2,准备加工成书桌和书橱出售.已知生产每张书桌需要方木料0.1m3,五合板2m2,生产每个书橱需要方木料0.2m3,五合板1m2,出售一张书桌可获利润80元,出售一个书橱可获利润120元.请问怎样安排生产可使所得利润最大?【解题指南】设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元,

可得z=80x+120y,利用线性规划可得结果.【解析】由题意可画表格如下:方木料(m3)五合板(m2)利润(元)书桌(张)0.1280书橱(个)0.21120设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元,则z=80x+120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域,即可行域.作直线l:80x+120y=0,即直线l:2x+3y=0.把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上的点M,此时z=80x+120y取得最大值.由解得点M的坐标为(100,400).所以当x=100,y=400时,z的最大值为80×100+120×400=56000(元).因此,生产书桌100张、书橱400个,可使所得利润最大.【方法总结】线性规划中有关最值问题的解题技巧(1)最优解的常见位置:线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有无数多个.【方法总结】线性规划中有关最值问题的解题技巧(1)最优解的常见位置:线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得,即满足条件的最优解有无数多个.(2)四舍五入:在解决实际问题时,若最优解要求满足一定的精确度,则要注意不可随意将所求结果进行四舍五入,否则有可能使近似值对应点超出可行域,而导致所求解无意义.【拓展延伸】解答线性规划应用题的技巧(1)在线性规划问题的应用中,常常是题中的条件较多,因此认真审题非常重要.(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断.(3)结合实际问题,分析未知数x,y等是否有限制,如x,y为正整数、非负数等.(4)分清线性约束条件和线性目标函数,线性约束条件一般是不等式,而线性目标函数却是一个等式.【跟踪训练】某茶吧配制两种饮料,甲种饮料每杯含奶粉5克,蜂蜜3克,糖8克;乙种饮料每杯含奶粉8克,蜂蜜3克,糖6克.已知每天原料的使用限额为奶粉3200克,蜂蜜1380克,糖3360克.如果甲种饮料每杯能获利0.6元,乙种饮料每杯能获利0.9元,每天在原料的使用限额内配制的甲、乙两种饮料都能售完.若每天获得最大利润时,甲、乙两种饮料配制的杯数分别为x,y,则x+y=________.

乙两种饮料都能售完.若每天获得最大利润时,甲、乙两种饮料配制的杯数分别为x,y,则x+y=________.

【解析】由题意得画出该不等式组表示的平面区域OABCD,

其中A(0,400),B(160,300),C(300,160),D(420,0),z=0.6x+0.9y,所以x=160,y=300时,zmax=366,此时x+y=460.答案:460类型二线性规划中的整解问题【典例2】某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物,集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据见下表,那么为了获得最大利润,甲、乙两种货物应各托运多少箱?货物每箱体积(m3)每箱重量(kg)每箱利润(百元)甲5220乙4510托运能力限制数2413【解题指南】设甲货物托运x箱,乙货物托运y箱,根据题意列出目标函数与约束条件,利用线性规划求解.【解析】设甲货物托运x箱,乙货物托运y箱,利润为z,由题意得z=20x+10y,作出可行域,如图阴影中的整点,作直线l:20x+10y=0,当直线z=20x+10y经过可行域上的点A时,z最大,又A(4.8,0)不是整点,解方程组得点B(4,1)为整点.所以甲货物托运4箱,乙货物托运1箱,可获得最大利润.【方法总结】求线性规划中最优整数解的三种方法(1)平移直线法:先在可行域内打网格,再描整点,平移直线,最先经过或最后经过的整点坐标便是整点最优解.(2)筛选优值法:当可行域内整点个数较少时,也可将整点坐标逐一代入目标函数求值,经比较得最优解.(3)调整最优值法:先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程的知识调整最优值,最后筛选出最优解.提醒:在应用线性规划解决实际问题时,要考虑到未知量的实际意义,特别是有些未知量为整数这一限制条件.【跟踪训练】已知A类药片每片1元,B类药片每片2元,两类药片的有效成分如表所示.若要求至少提供12毫克阿司匹林、70毫克小苏打、28毫克可待因,则两类药片的最小总数是多少?怎样搭配总价格最低?成分种类阿司匹林小苏打可待因A(毫克/片)251B(毫克/片)176【解析】设A,B两种药片分别需要x片,y片,则且x∈N,y∈N.两类药片的总数为z=x+y,两类药片的总价格为k=x+2y.作出不等式组表示的平面区域如图所示,由可得P.由于P不是整点,因此不是z的最优解,结合图形可知,当直线z=x+y经过可行域内的整点(1,10),(2,9)或(3,8)时,z取得最小值11,即两类药片的最小总数为11.同理可得,当x=3,y=8时,k取得最小值19,即A类药片3片,B类药片8片搭配时,总价格最低.【知识思维导图】Thebestclassroomintheworldisatthefeetofanelderlyperson.世界上最好的课堂在老人的脚下.Havingachildfallasleepinyourarmsisoneofthemostpeacefulfeelingintheworld.让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.Beingkindismoreimportantthanbeingright.善良比真理更重要.Youshouldneversaynotoagiftfromachild.永远不要拒绝孩子送给你的礼物.Sometimesallapersonneedsisahandtoholdandahearttounderstand.有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.Love,nottime,healsallwounds.治愈一切创伤的并非时间,而是爱.Lifeistough,butI'mtougher.生活是艰苦的,但我应更坚强.励志名言请您欣赏由可得P.由于P不是整点,因此不是z的最优解,结合图形可知,当直线z=x+y经过可行域内的整点(1,10),(2,9)或(3,8)时,z取得最小值11,即两类药片的最小总数为11.同理可得,当x=3,y=8时,k取得最小值19,即A类药片3片,B类药片8片搭配时,总价格最低.成分种类阿司匹林小苏打可待因A(毫克/片)251B(毫克/片)176【解题指南】设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元,

可得z=80x+120y,利用线性规划可得结果.设生产书桌x张,书橱y个,利润总额为z元,则z=80x+120y.在平面直角坐标系内作出上面不等式组所表示的平面区域,即可行域.(2)四舍五入:在解决实际问题时,若最优解要求满足一定的精确度,则要注意不可随意将所求结果进行四舍五入,否则有可能使近似值对应点超出可行域