第18讲 y=Asin(ωx+φ)（教师版）-2023年新高一（初升高）暑期数学衔接（新人教版）

第18讲y=Asin(ωx+φ)三角恒等变换【学习目标】了解的实际意义，能借助图象理解参数的意义，了解参数的变化对函数图象的影响【基础知识】一、参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响2.ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响3.A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响二、由函数y＝sinx的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的途径由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种主要途径：“eq\o(□,\s\up4(01))先平移后伸缩”与“eq\o(□,\s\up4(02))先伸缩后平移”．(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移三、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质【考点剖析】考点一：左右平移变换例1．(2022学年贵州省黔东南州凯里市第一中学高一下学期期中)将函数的图像向右平移个单位得到的图像，则(

)A． B． C．0 D．【答案】B【解析】由题得，所以．故选B考点二：沿x轴方向的伸缩变换例2．(2022学年浙江省温州市高一上学期期期末)已知函数，若特它的图象向左平移个单位，再将横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，则得到的函数解析式是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意知，将函数图象向左平移个单位，得，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得，故选A考点三：沿y轴方向的伸缩变换例3．(2020-2021学年河北省石家庄市第二中学高一下学期3月教学衔接测量)将函数的图象向左平移个单位长度，将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，则下列说法不正确的是(

)A．函数的最小正周期为B．函数的单调递减区间为C．直线是函数图象的一条对称轴D．函数图象的一个对称中心为点【答案】D【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到，将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数，则的最小正周期，故A正确，由，得，，即函数的单调递减区间为，故B正确，是最大值，则直线是函数图象的一条对称轴，故C正确，D错误.故选D．考点四：y=Asin(ωx＋φ)的性质例4．(2022学年山西省长治市第四中学校高一上学期期末)设函数，则下列结论不正确的是(

)A．函数的值域是；B．点是函数的图像的一个对称中心；C．直线是函数的图像的一条对称轴；D．将函数的图像向右平移个单位长度后，所得图像对应的函数是偶函数．【答案】B【解析】因为，，所以，即函数的值域是，故A正确；因为，所以函数关于对称，故B错误；因为，所以函数关于直线对称，故C正确；将函数的图像向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确；故选B考点五：三角变换与三角函数性质的交汇例5.(2022学年陕西省西安市长安区高一上学期期末)已知函数，则下列说法正确的有________.①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到②在上单调递增③在内有2个零点④在上的最大值为【答案】②③【解析】由函数，对于①中，将函数的图象向右平移个单位长度，得到，所以①不正确；对于②中，令，解得，当时，可得，即函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，所以②正确；对于③中，令，可得，解得，当时，可得；当时，可得，所以在内有2个零点，所以③正确；对于④中，由，可得，当时，即时，函数取得最大值，最大值为，所以④不正确.故答案为②③.考点六：由图象确定函数解析式例6．(2022学年甘肃省定西市高一下学期统一检测)函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，则函数的解析式是(

)A．B．C．D．【答案】C【解析】由图可知；设周期为，则，所以；又，所以.由，，令，得.所以；因为将的图象向右平移单位长度得到函数的图象，所以.故选C.【真题演练】1．(2022学年河南省驻马店市高一下学期期中)要得到函数的图像，只需将的图像(

)A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】将的图像向右平移个单位长度可得.故选B.2.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为 () ()A． B． C． D．【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为，故选C3.(2022学年山东省潍坊市高一下学期5月优秀生测试)关于函数有如下四个命题：甲：该函数在上单调递减；乙：该函数图象向左平移个单位长度得到一个偶函数；丙：该函数图象的一条对称轴方程为丁：该函数图象的一个对称中心为．如果只有一个假命题．则该命题是(

)A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】C【解析】设，若丙丁都正确，则且，但，故矛盾，所以丙丁中有一个是错误的，故甲乙都正确，函数的图象向左平移个单位长度后所得图象对应的解析式为：，因为平移后的图象对应的函数为偶函数，故，故，若为偶数，则，当，，因为在为减函数，故在为减函数，符合，若为奇数，则，当，，因为在为减函数，故在为增函数，舍，故.而，故该函数图象的对称中心为，丙错误，，故该函数图象的对称中心为，丁正确.故选C4.(2021年高考全国甲卷理科)已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．【答案】2【解析】由图可知，即，所以；由五点法可得，即；所以．因为，；所以由可得或；因为，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，解得，令，可得，可得的最小正整数为2．方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2．5.(多选)(2022学年山东省临沂第一中学高一下学期6月月考)已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的是(

)A．的图象关于直线对称B．在上单调递减C．的图象的一个对称中心是D．将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象【答案】AC【解析】由题意可得，所以，所以.对于A，由于，可知A正确；对于B，当，，，函数先增后减，故B错误；对于C，令，求得，故函数的图象关于点中心对称，故C正确；对于D，把的图象向右平移个单位可得的图象，故D不正确.故选AC.6.(多选)(2022学年辽宁省辽南协作体高一下学期期中)函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是(

)A．B．若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是偶函数C．函数的图像关于直线对称D．若把函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是增函数【答案】AC【解析】对A，由图，，则，故，所以，又，即，所以，即，因为，故，所以，故A正确；对B，把函数的图像向左平移个单位可得为奇函数，故B错误；对C，当时，为的对称轴，故C正确；对D，把函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到，当时，不为的增区间，故D错误；故选AC7.(2022学年吉林省长春市长春吉大附中实验学校高一下学期期中)已知函数的部分图象如图所示，则的值为______．【答案】【解析】由图象可知：，最小正周期，因为，所以，解得：，将，即代入解析式得：，解得：，因为，所以8.(2022学年山东省淄博市高一下学期期中)已知的最小正周期为，图像关于直线对称.(1)求函数的解析式；(2)将的图像上所有点向左平移个单位长度，再将得到的图像上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数的图像，求的单调递增区间．【解析】(1)因为的最小正周期为，所以；因为图像关于直线对称，所以，即，因为，所以；所以.(2)由题意得；，，即，；所以的单调递增区间为.【过关检测】1.(2022学年青海省海南藏族自治州高级中学高一上学期期末)简谐运动可用函数表示，则这个简谐运动的初相为(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】由初相定义可知，当时的相位称为初相，所以，函数的初相为.故选B2.为了得到函数的图象，只需将函数的图象(

)A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度【答案】D【解析】函数；将函数的图象向左平移个单位长度得到，故选D．3.(2022学年北京市第三十五中学高一下学期期中)已知函数的图象如图所示，则函数的解析式的值为(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】由图象可知：，所以，解得：，将点代入解析式得：，所以，因为，所以，此时，故选A4.(2022学年重庆市西南大学附属中学校高一下学期期中)已知函数，下列结论错误的是(

)A．的值域为B．的图象关于直线对称C．的图象关于点对称D．的图象可由函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到【答案】C【解析】A：因为，所以，即的值域为，故A正确；B：当时，为最小值，故函数的图象关于对称，故B正确；C：若函数的图象关于对称，由，得其一条对称轴为，当时，，不是最值，所以不是函数的对称轴，即函数不关于对称，故C错误；D：将函数图象纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到，故D正确.故选C5.(多选)(2022学年甘肃省张掖市高台县第一中学高一下学期4月月考)要得到函数的图象，只需将函数图象上所有点的坐标(

)A．向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)B．向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)C．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度D．横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度【答案】BC【解析】函数的图象向左平移个长度单位，得，再将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得；函数图象将横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，得，再向左平移个长度单位，得，即.故选BC6.(多选)(2022学年贵州省六枝特区高一下学期期中)函数的图像如图，把函数的图像上所有的点向右平移个单位长度，可得到函数的图像，下列结论正确的是(

)A．B．函数的单调递减区间为，C．函数在区间上单调递增D．直线是函数的一条对称轴【答案】BC【解析】根据图形可得：，则，∴图像过点，即∵，则或当时，不是最大值，不合题意当时，，符合题意，则，A错误；，，则∴函数的单调递减区间为，，B正确；∵，则∴函数在区间上单调递增，C正确；不是最值，D错误；故选BC．7.(2022学年山东省济宁市泗水县高一下学期期中)关于函数，下列命题中是真命题的为(

)A．为偶函数B．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度C．的图象关于直线对称D．在内的增区间为和【答案】BC【解析】对于A选项，，所以，函数为非奇非偶函数，A错；对于B选项，因为，所以，要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度，B对；对于C选项，因为，所以，的图象关于直线对称，C对；对于D选项，由，解得，记，，所以，函数在内的增区间为、和，D错.故选BC.8.(2022学年山东省临沂市罗庄区高一下学期期中)将函数()图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是的图象的一条对称轴，则_________.【答案】【解析】，因为是的图象的一条对称轴，所以，，解得：，因为，所以时，符合要求，所以.9．(2022学年浙江省衢州市高一下学期6月教学质量检测)已知函数(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；(2)把的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，已知关于x的方程在上有两个不同的解.①求实数m的取值范围；②证明：.【解析】(1)∴函数的最小正周期又∵，即函数的单调递增区间(2)①由题意可得且方程在上有两个不同的解∵，则∴结合正弦函数可得②结合正弦函数对称性可得且即