第14讲 三角恒等变换、三角函数的应用（7大考点）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第14讲三角恒等变换、三角函数的应用（7大考点）

u考点考向

1同角三角函数的基本关系式：sin20+cos2^=l,tan6=^2,

COS。

2正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变，符号看象限)

3和角与差角公式

sin(6Z±/?)=sinacosp±cosasin/?;cos(a±/?)=cosacos(3「sinasin/7;

ana2

tan(cr±/?)=--^P_#(sina±cosa)=l±2sinacosa

1.tanatanP

asina+hcosa=yla2-i-h2sm(a+(p)由点(a,b)的象限决定，tan°=2).

a

3二倍角公式及降嘉公式

sin2a=2sinacosa.

cos2a=cos之a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

1-tan2a

.1-cos2a1+cos2a

sin2a=--------,cos2a----------

22

4三角函数的周期公式

2%

函数y=sin(@x+e),(A,3,0为常数，且AW0)的周期7=二一；

l(y|

7TTT

函数y=tan(cyx+°),XHeZ(A,3,。为常数，且AWO)的周期T=——.

2\a>\

三角函数的图像：

口^考点精讲

一.y=Asin（o）x+（p）中参数的物理意义（共2小题）

1.（2021秋•山西期末）简谐运动可用函数f（x）=4sin（8x4），xe[0,+~）表示，则这个简谐运动的

初相为（）

A.—TTB._JTC.o_JTD.8x

99Y9

【分析】当函数y=AsinQa）x+（p）（A>0,3>0,AG[0,+°°））表示一个简谐振动时，则1=0时的相位夕

叫做初相，由定义即可求解.

【解答】解：简谐运动可用函数f(x)=4sin(8x/-)，》日°，+8)表示，

9

当x=o时，8xo-2L--2L,则这个简谐运动的初相为-工.

999

故选:B.

【点评】本题考查了复合三角函数的初相的求法，考查了对定义的运用能力，属于基础题.

2.(2021•让胡路区校级开学)函数f(x)=Asin(O)x+。)(A>o，①>0，|。|〈卷，X€R)的

部分图象如图，M是图象的一个最低点，图象与x轴的一个交点的坐标为6，0),与y轴的交点坐标为

(0,-V2).

(I)求A,3,(P的值；

(II)若关于x的方程/(x)-机=0在[0,2m上有一解，求实数相的取值范围.

【分析】(I)由函数/(x)的部分图象求出7、3和叩、A的值：

(II)由/(x)-,77=0得f(x)=〃?，画出/(x)在x€[O,2n]上的图象，结合图象求出m的取值范围.

【解答】解：(1)由函数/(x)的部分图象可知，函数/(X)的周期为T=4X[*-(T)]=4加

冗，解得3」；

co2

又函数图象与x轴的一个交点坐标为0),

..17T..

,,Asin(yX—+(p)=0'

..n..

,,sin(—+(t>)=S

ITTT

•**—+*$•=k^：»蛇Z,即。二女兀-工(k€Z)；

由I。l<当，得号<。〈字，

.・.®=今；

，函数y=f(x)=Asin(Xc--2L).

24

当时，y=Asin=-V2,

，A=2；

综上可知，4=2,3」，0=工.

24

(II)由/(x)-m=G得f(x)—m,

要使方程/(x)-，〃=o在x€[0,2m上有一解,

只需直线与函数/(x)的图象在x€[0,2ir]上只有一个交点；

由(I)可知f(x)=2sin

画出函数f(x)=2sinC|xT)在区间【°，2n]上的图象，如图所示;

由图象知，当一反《m〈后或m=2时，满足题意，

所以〃?的取值范围是[-&,V2)U(2).

【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程的问题，是中档题.

二.三角函数的最值(共6小题)

3.(2022秋•梧州期中)已知函数f(x)=Asin(a)x+<p)+b(A>0,w>0,0W(pW2ir)在同一周期内有最

高点(三，1)和最低点(卫，-3),则此函数在[-三，2□的值域为()

121236

A.[-V3-1-1]B.[-V3-BV3-1]C.[-V3-1.2]D.[百-1,

2]

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A和6由周期求出3,由五点法作图求出⑴的值，可得函数的解

析式，进而利用正弦函数的性质即可求解.

【解答】解：由题意可得b=1+(-3)=-A=1-(-1)=2,周期T=2(工三-三)=11=空_,

212123

求得3=2,

可得/(x)=2sin(2x+(p)-1,

再根据五点法作图可得2X三+⑴=三，

122

所以年=三，

3

所以f(x)=2sin(2x+勺)-1,

因为在[-三，2L],

36

所以曰-322L],

333

所以sin(2X+2L)[-近，1],

32

所以f(x)=2sin(2X+A)-111].

3

故选：A.

【点评】本题主要考查由函数尸Asin(u)x+(p)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A和4

由周期求出3,由五点法作图求出年的值，考查了正弦函数的性质，属于基础题.

4.(2022秋•平房区校级月考)函数/(x)=cos2x+V3sinx-A(xe[n,2n])的最大值是——_.

44

【分析】利用配方法可得/(%)=-(siar-近)2+1,利用正弦函数的性质可求sinA-Gl-b0J,进而即

2

可求解/(x)的最大值.

【解答】解：因为f(x)—1-sin2A+V3sirir--

4

=-sin2x+5/3siru+A

4

=-(sinx-亚_)2+l,

2

又因为2n],可得sinx6[-l,0],

所以当sinx=0时，函数/(x)取最大值

故答案为：1.

4

【点评】本题考查了正弦函数的性质，考查了函数思想的应用，属于基础题.

5.(2021秋•琼海校级期末)已知函数y=2cos(2xf)-l，x€[；,兀]，则当》=_等_时，函

数取得最小值为-3.

【分析】由xR三，川，知然-工日三，且L],再结合余弦函数的图象与性质，得解.

3333

【解答】解：因为n],所以2x-匹日三，且L],

3333

当2x-工=皿，即x=22L时，函数取得最小值，为2X(-1)-1=-3,

33

所以当时，函数取得最小值为-3.

3

故答案为：22L；-3.

3

【点评】本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握余弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理

能力和运算能力，属于基础题.

6.(2022秋•禅城区月考)(1)已知点P(2/M,-3m)(%>0)为角a终边上一点，角B终边上的点。与

点P关于y轴对称，求cos(a+p)的值；

(2)函数f(x)=2sinxcosx-2V^cos2x+V^，求函数/(%)在区间［-^万,-初］上的最值，

【分析】(1)方法1：根据三角函数的定义，结合和角的余弦公式求解即可；

方法2：由对称性可得a+0=n+2E,从而利用诱导公式求解即可；

(2)由题知f(x)=2sin(2x工)，再整体代换求解即可.

3

【解答】解：(1)方法1：由题意得，点。的坐标为(-2〃?，-3M,

所以sina=I3m=5-=^7=-'cosa=-i=====5-=-7=",

v(2m)+(-3m)013Y(2m)+(-3m)V13

Sin22

Q(-2m)2；(-3m)2V138s(-2m)+(-3m)池

所以cos(a+p)=cosacosP-sinasinp=—2=^x(X(-=-1-

V13V13V13V13

方法2：因为角0的终边与角a的终边关于y轴对称，

所以a+0=7T+2/nr,kWZ,

所以cos(a+p)=cos(冗+2日)=cosn=-1.

⑵f(x)=2sinxcosx-V3(2cos2x-l)=sin2x-V3cos2x=2sin

因为时，所以—<2X-；4WL

122633

所以，当2x』=多时，函数/(X)有最小值为f(x)1111n=2sin(*)=-l；

当■时，函数/(x)有最大值为f(x)111ax=2sin卷~=2・

【点评】本题主要考查任意角的三角函数，三角函数的最值，三角恒等变换的应用，考查转化思想与运算

求解能力，属于中档题.

7.(2022秋•北乐期中)已知函数f(x)nW^sinxcosx+sin'x-cos%，

(1)求函数/(x)取最大值时x的取值集合；

（2）设函数f（x）在区间味，m］是减函数，求实数，〃的最大值.

【分析】Q）利用正余弦的二倍角公式，结合辅助角公式化简/（x）,再求取得最大值时的x的取值集合即

可；

（2）求得/（x）的单调减区间，结合题意，即可求得加的最大值.

22=sin2jr-

［解答］解：(1)由题意，(x)=2V3sinxcosx+sinx-cosx^cos2x=2sin(2x

-2L),

6

当/(x)取最大值时，B|jsin(2x--)=1,止匕时2x-JL=2KT+」L,k&Z,即X=KT+2L,kWZ,

6623

所以x的取值集合为{xk=E+N,依Z}.

3

(2)由2L+2knW2x-keZ,

262

得Z2L+2^nW2x＜且L+2E,keZ,

33

即2LbtnWxW且L+br,kez,

36

所以/(x)的减区间［匹+内1,且I_+E］,依Z,

36

当A=o,且口是一个减区间，且三曰3,且口，

36236

所以［2L,/M］CG［2L,

23

所以，花（匹，且L］,所以m的最大值为且L.

266

【点评】本题考查三角函数的应用，属于中档题.

8.（2022秋•北京期中）已知函数/（X）=2COS2O）X-sinx.

（1）求/'（（））的值;

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求函数/（x）在［一,看］上的最小

值，并直接写出函数f（x）的一个周期.

①3=2;②3=1;③(1)-

2

注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分.

【分析】（1）直接利用函数的关系式求出函数的值;

（2）选条件①②③首先把函数的关系式进行变换，进一步利用二次函数的性质和正弦型函数的性质的应用

求出结果.

【解答】解：(1)f(0)=2COS20-sin0=2.

⑵选择条件①，f(x)=2cos2x-sinx=2(l-sin2"-sinx=-2(sinx+1)2聂

因为x€［4-，看］'所以sinxE［-1)-y］-

所以当sinr=-1或sinx=a时，即x=$或看时，/⑴在［一^-，看］取得最小值1，

f(x)的一个周期为21T.

选条件②时，f(x)=2COS22X-sinx=(cos4x+l)-siar

当xE0］时，，(X)＞。恒成立

当(0,时，/(无)是减函数，

6

所以当X吟时，f(X)在［一卷，卷］取得最小值0,

/(%)的一个周期为2a

选择条件③时，f(x)=2c。s2"|-sinx=(cosx+1)-sin^=Mcos(+1，

囚为x€1F-，-T-］'

Nb

所后二l以、Ixg兀E广「［工兀，5而兀r〉

所以当卫L时，

412

即X工时，/(X)在［工，工］取得最小值上。旦；

6262

f(x)的一个周期为2TT.

【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，函数的关系式的变换，函数的性质的应用，主要考查学生

的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

三.三角函数恒等式的证明(共1小题)

9.(2021秋•道里区校级期末)已知A,B,C为△ABC的内角.

(1)若tart4=-2,求tanB・tanC的取值范围；

(2)求证：tan?&'tan?旦+tan2上21；

222

(3)设a,B,ye(0,-2L),且tana=tanA•tanA,tanB=tanA•tan—,tanv=tan—,tanA,求证:

2222222

6sin2a+6sin2p+6sin2y^sin2a+sin2p+sin2Y.

【分析】(1)根据两角和的正切公式及均值不等式求解；

⑵先证明tan--1any+tan--tan|-+tanytarr^-=T再由不等式〃2+/+c22"+bc+ac证明即可;

(3)找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.

【解答】解：(1)VtanA=-2,:.B,。为锐角，JtanB〉。，tanOO,

tanB+tanC

2=-tanA=tan(B+C)-

l-tanB-tanC

.斗〉4tanBtanC

21-tanB-tanC

(1-tanBtanC)2

解得0<tanBtanC《苫手，当且仅当B=C时，等号成立,

即tanBtanCt]•

(2)证明：在AABC中，£W=go。，

=B/AC、AC

-tarr^-(tarr^+tan,)+tarrytarr2

=B)(1-tan--tan1-)+tan--tair~

-tanytan

l-tanftanjnanf

2A2B、cAB+2c2B、cCB+2A2C、c卜C

tan-y+tan5,2tarrytany，tan万+tanT-^Stan^tany，tan万+tan-Z-^2tan'7-tarTZ"

乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙

・2A2B2C、ABBCCA.

,•tan-+tan-+tantan-tarr^+tan-ytarr^+tan-ytarr^~=1•

(3)证明：由(2)知tana+tanB+tanY=l，

2

•­.2tana_2tanC(

•sinna=---------—，sin/a-----------方—

1+tana1+tana

6sin2a+6sin2p4-6sin2y^sin2a+sin2p+sin2Y

即证3tan2a+3±日+3」如2工_》tana+tanB+tanY

1+tan2a1+tan2P1+tan2Y1+tan2a1+tan2P1+tan2Y

令x=tana,y=tan0,z=tany,

222

原不等式等价于套4+3y:/z仔)o,

1+x1+y1+z2

y=广在（0，1）上为增函数，

x?+lxd

X

二（i32-）（x4）＞0,1■-（3x-1）‘

32

X+1（1）+1X+11。

同理可得，平于$（的一1）,聿；$（3z-l），

.x(3x-l)y(3y-l)z(3z-l)>^(x4y+z)*>=0.

■*25+5

x+1y+1z+1

222

故不等式红年且寻电子〉o成立,

l+x1+y21+z2

问题得证.

【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系，基本不等式和三角不等式的证明问题，考查了转化思想,

属于难题.

四.两角和与差的三角函数（共9小题）

10.（2022秋•金沙县期中）若tana=Ltan（TT-p）=上，则tan（a+p）=（）

34

A.-LB..^LC.AD.二

131377

【分析】由已知利用诱导公式可求得tan（3的值，进而利用两角和的正切公式即可求解.

【解答】解：因为tana=』，tan（IT-p）=-tanp=A,

34

可得tanp=-A,

4

1z1s

—+（——）

则tan（a邛）=tand+tanB=————

1-tanCttanP］」x（二）1?

故选：A.

【点评】本题考查了诱导公式，两角和的正切公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化

思想，属于基础题.

11.（2022秋•鞍山期中）若a是第二象限角，且sin（a+p）cosp-sinpcos（a+p）=也＞,则tan4-等于5.

132

【分析】由已知利用两角差的正弦公式可求sina的值，结合a是第二象限角，利用同角三角函数基本关系

式可求cosa的值，进而利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式即可求解tanW的值.

2

【解答】解：因为sin(a+p)cosp-sinPcos(a+p)=sin[(a+p)-0]=sina=-^-,

13

又a是第二象限角，

所以cosa=-_

VJ-Ox/115a=

a.aa5

sin2sin-^-cos-^-

所以颔旦=―^n-=—Sina=13=5.

2co干2cos2亍-cosa1+(系)

乙乙xo

故答案为：5.

【点评】本题考查了两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的

应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.

12.(2022春♦兰陵县月考)对于锐角a,若sin(a-2L)=旦，则cos(2a+2L)=-24.

1253—25—

【分析】观察角与角之间的关系，利用诱导公式和二倍角公式将所求角转化为己知角，能求出结果.

【解答】解：：a为锐角，二V且L,

121212

Vsin(a-2I_)=3,/.cos(Q-

125125

..71.兀、兀

•20.^--2(0.-)

OJL乙乙

贝Hi！l]lcos(、2a+I-/-1-)、=cos[r-兀--+,2/A(/a__T_T_)、]]=-si.n2G(/a__兀__)、

321212

=-2csi•n/(a__兀__)、cos(/a___兀_)、

1212

--2x3x—~一

5525

故答案为：

25

【点评】本题考查角与角之间的关系、诱导公式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

13.(2022秋•和平区校级期中)若a,§£(Q,且(l+sir^a)sinB=sinacosacosB，则tan0的最

大值为近.

—4―

【分析】由题意结合商数关系及平方关系可得tanB—，再利用基本不等式即可得出答案.

2tan2Ct+l

【解答】解：由(l+sin2a)sinp=sinacosacosp,

汨sinCIcosCIsinClcosCltanCt

^tanpc=-------5----=---------------3—=------3------，

1+sina2sina+cosa2tana+1

因为a€(0,所以tanaE(0,+8),

则tan6=一=-------J—<—r---------冬

4

2tana+12tanCH一二-212tanaL-

tanCIVtanCL

当且仅当2tanCL=T-，即tana=挈时，取等号，

tan。2

所以tanp的最大值为亚.

4

故答案为：返_.

4

【点评】本题主要考查了同角三角函数间的基本关系，以及基本不等式的应用，属于基础题.

14.(2021秋•如皋市校级期末)—+2sin2口sinll0°的值为1

cos200+vl-coS21600

【分析】根据诱导公式，平方关系即可解出.

［解答］解：原式=Vl+2sin20。cos20"=J(sin200+cos200)2=sin200+cos200

cos200+sinl600sin200+cos200sin200+cos20°

故答案为：1.

【点评】本题主要考查诱导公式，属于中档题.

15.(2022春•罗湖区校级期中)已知a,0为锐角，tana=2,sin(a-p)=丫乂).

10

(1)求cos2a的值；

(2)求tanp的值.

2,22

【分析】(1)由已知结合cos2a=cosa-sina=1-tana,代入即可求解；

cos2a+sin2a1+tan2a

(2)由题意得a-B<Z—>结合同角基本关系可求COS(a-p),tan(a-B),然后利用tan0=tan|a

22

-(a-0)片tana七5(a-8),代入可求.

1+tanCItan(a-B)

【解答】解：(1)因为a,B为锐角，tana=2,

所以cos2a=*电里工29_上却应=4=_3：

cos2CL+sin2CL1+tan2a1+45

(2)由题意得

2-2

因为sin(a-［?)

10

所以cos(a-P)=3'，"J，,tan(a-P)=—,

103

所以tan0=tan［a-(a-P)］=Tin(0-bJ=----:=L—=1.

1+tanCltan(a-B)］+2X—

3

【点评】本题考查了同角基本关系，二倍角公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.

16.(2021秋•西青区校级期末)己知函数f(x)=sin(2x+^~)+sin(2x-^~)+cos2x-L

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)当xC［0,子］时，求/(X)的单调区间；

(3)在(2)的件下，求/(x)的最小值，以及取得最小值时相应自变量x的取值范围.

【分析】(1)根据周期公式计算即可.

(2)求出/(x)单调区间，然后与所给的范围取交集即可.

(3)根据(2)的结论，对/(0)与广(匹)进行比较即可.

4

【解答】解：(1)f(x)=sin2xcos^-+cos2xsiir^-+sin2xcos^--cos2xsirr^_+cos2x-1

=V3sin2x+cos2x-l

=2sin(2r+—)-1.

6

T=22L_=22L=7r,故/(x)的最小正周期为it.

ICOI2

(2)先求出增区间,即：

令弓-+2k兀42x•t^<~^-+2k兀，(k€Z),

TTjr

解得［一丁+k兀，7~+k兀］,(kO

36

(x)的单调递增区间为［-2L+E,—+kn］,(髭Z),

36

f(x)的单调递减区间为［工+ATT,22L+内r］,(kez),

63

所以在区间［0,A］±,当了€［0,看］时，函数/(X)单调递增，当［看，­-］时，函数/(X)

单调递减；

所以f(x)的单调递增区间为［0,看］，单调递减区间为小，

(3)由(2)所得到的单调性可得/(0)=2sin—_1=0,/(2L)=2sin(2LJL)7=愿-1，

6426

所以f（x）在x=0时取得最小值0.

【点评】本题主要考查三角函数的最值，属于中档题.

17.（2021秋•西青区校级期末）已知a€（今，兀）•

（1）ia=—>求tana和cos2a的值；

sn3

（2）若cos（a=二应，求cosa的值.

35

【分析】（1）根据Sin2（x+cos2（x=l,且（今，兀），可求得cosa,进而得到tana,再利用二倍角公式

求得cos2a；

（2）根据两角差的三角函数公式求解即可.

【解答】解：(1)*-*sinCl=—»aC(―-,兀)，siiAx+cos2a=1,

32

解得cosa=一2衣,则tana=sina=—^--=-退_,

3cosa卬24

S-

cos2a=l-2sin2a=1-2X(A)2=Z..

39

兀），.“守（看,手）,

(2)Va€(A.

22

cog(a-无)=,sin(a--2I_)+cos(a--1_)=1,

cos13/533

sin(a-=&5”,

35

cosa=cos[(a-2I_')+_2I_]=cos(a--2L)cos-sin(a--ZL.)sina=x=

__3333344-¥4

10

【点评】本题考查的知识点是二倍角公式、两角和与差的余弦公式，难度不大，属于基础题.

18.（2021秋•呈贡区校级期末）己知函数f（x）=2sin?（T~+x）-A/ECOS2X。

（1）求/（x）的最小正周期.

（2）求/G）的单调递增区间.

（3）若关于x的方程F（x）-m=2在xE卷］上有解，求实数m的取值范围.

【分析】（1）先将函数解析式化简整理得到f（x）=2sin（2xf）+l，再由正弦函数的周期性，即可求出

结果;

(2)根据正弦函数的单调性可求/(x)的单调递增区间；

(3)关于x的方程f(x)-m=2在xC吁，子］上有解，则关于x的方程f(x)=m+2在xC,-y］

上有解，求出f(x)=2sin(2x工)+1值域，即可得到关于机的不等式，求解即可.

3

【解答】解：(1)函数

71

冗1-cos(］-+2x)冗

f(x)=2sin2(~^~+x)-V3cos2x=2----------------V3cos2x=sin2x-V3cos2x+l=2sin(2x-^-)+1

故函数的最小正周期为"二兀.

2

(2)令2k兀专2x《W2k兀吟,解得kir兀5兀

《xWk兀+■

^272

二单调递增区间为［k兀令，k兀+^］，(k€Z)-

(3)因为x6[―,—1-

xcL42J

所福i以、i2x兀=£尸「[-兀T-.不2兀一卜1

O0O

所以sin(2xW~)E[/，1],

所以/(x)的值域为［2,3］,

关于x的方程/(x)-m=2在xE耳，三］上有解，

则关于x的方程/(x)=〃?+2在x£6，今］上有解,

所以〃任242,3］,

所以机曰0,1］,

所以实数的取值范围是［0,1］.

【点评】本题考查了三角函数的恒等变换和三角函数的性质，考查了方程的有解问题，属于中档题.

五.二倍角的三角函数(共8小题)

19.(2022秋•雨花区校级月考)已知sin(aj-)」，则cos(2CtZ^)=()

633

A.1B.J.C.迤D./

9999

【分析】由已知利用诱导公式可求cos(a+3)的值，进而利用二倍角的余弦公式即可求解cos(2a

的值.

【解答】解：因为sin(a」=sin[a-(---)]=-cos(a+-2L),

sink623233

所以cos(a+-^-)=-―,

33

22

贝ijcos(2d/：)=cos2(a+-^-)=2cos(a+-^-)-1=2*(-A)-1=--Z.

故选：B.

【点评】本题考查了诱导公式，二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化

思想，属于基础题.

20.(2021秋•泉州期末)将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值,

这样的分割被称为黄金分割.黄金分割蕴藏着丰富的数学知识和美学价值，被广泛运用于艺术创作、工艺

设计等领域.黄金分割的比值为无理数近二1该值恰好等于2sinl8°,则cos36°=()

2_

A.V5-2B.辰-IC.娓+1D.娓7

442

【分析】由题意，利用二倍角的余弦公式，计算cos36。的值.

【解答】解：由题意，2sinl80=近二1,AsinlS0=近二1,

24

.,.cos36°=1-2sin2180=1-2X海二L)=1-2义生逅=近旦

'4'84

故选：C.

【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.

21.(2021秋•长安区校级期末)若a€(0,tan2a=—,则cosa=_Yq_.

22-sinCl4

【分析】由已知化切为弦求得sina,再由平方关系求得cosa.

[解答]解：由tan2a,c°sa,得丝皿弩5

2-sinal-2sin2a2-sinJ

JT

丁a£(0,,cosaWO,

则2sinCl1,,得sina=A,

l-2sin2a2-sina4

V15

..cosa=

故答案为:

【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题.

22.(2021秋•玉溪期末)，3-§inl6g的值等于2.

l+sin2350

【分析】利用诱导公式，二倍角公式化简即可求解.

3-sinl60°_3-sin(90°+彳0°)3-cos700

【解答】解:

23-cos700

l+sin35°1+l-cos700

2

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题.

23.（2021秋•天津期末）已知点尸（"2,2m）（机W0）是角a终边上任一点，贝!jcos2a+l=—.

一5一

【分析】利用三角函数的定义，求出tana,然后利用同角三角函数基本关系式转化求解即可.

【解答】解：：点尸（m,2/T?）（〃?W0）是角a终边上任一点，则tana=2,

:2cos2a22=2

cos2a+1=2cos2a-

siNa+cos2atan2a+12^+15

故答案为：2.

5

【点评】本题考查三角函数的定义，以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，是基础题.

24.(2021秋•滨江区校级期末)设f(x)=cos2(x」^)+cosjos2x.

126

（1）求£（"）的值及/（X）的单调递增区间；

（2）若ae（0,微f（a）=y-求sin（2&4*|■兀）的值.

【分析】（1）利用倍角公式降幕，再由辅助角公式化简，得到了（X）=iin(2x+—)+1,再利用正弦函

232

数的图像与性质求解即可.

（2）先求出sin2a,cos2a,再利用两角和的正弦公式求解即可.

1+cos(2x-^-r-)历

2cos2x

【解答】解：(1)f(x)=cos(x+,^)+cos~^~~------------2_+XA_COS2X

22

=l-lcos(2x+—)+叵OS2X=A-Y^cos2x+」sin2x+义Zcos2v=1-sin2v+1^cos2x+工

22622442442

=Asin(2X+-2I_)+A,

232

贝Ijf(2L)=Lin(2XJL+JL)+工=」sin-U=l；

、12121232222

-2L+2kn^2x+—^JL+2lai,kwZ,

232

则-5兀+而k€Z,

1212

：.f(x)的单调递增区间为[-§£+内r,2L+hr],kCZ.

1212

(2)若ae(0,2L),贝112a+2Le(2L,

2323

•:f(a)=2,AAsin(2a+2L)+工=2,

32323

/.sin(2a+2L)=工，cos(2a+2L)=-.212,

3333

.".sin2a=sin[(2a+—1-)-^L]=sin[(2a+-ZL)cos-2L-cos(2a+-7r、K_2A/6+1

——)sin------------,

3333336

JI、.7T-V3-2V2

cos2a=cos|(2a+---)-—I_J=cosl(2a+-^-)cos-^-+sin(2a+—-)sin——---------------,

3333336

贝I]sin（2Ct+^~兀）=sin2acos2兀+cos2asin2兀=+1x（-A）义^^_=.

33362626

【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=Asin（3x+（p）型函数的图象与性质，考查计算能力,

是中档题.

25.（2021秋•天津期末）已知sina=1",aG（―,n）

52

（I）求tana,sin2a的值；

（II）求cos（a4）的值.

o

【分析】（I）由已知利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解tana,sin2a的值;

（II）利用两角差的余弦公式即可求解.

【解答】解：（I）♦.•sina=Y^，且aE（工，兀），

5