专题1.2 子集、全集、补集（八大题型）-苏教版高一《数学》同步学与练（解析版）

第第页专题1.2子集、全集、补集课程标准学习目标A．理解子集、全集、补集的概念．B．能用符号和Venn图表达集合间的关系．C．掌握列举有限集的所有子集的方法．1、数学抽象：对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解2、逻辑推理：集合的子集、补集的辨析与应用3、数学运算：会计算集合的子集、真子集的个数4、直观想象：利用venm图表示集合相等以及集合间的关系5、数字建模：通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义知识点一：子集1、一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，那么集合A为集合B的子集，记作（或），读作“A包含于B”（或“B包含A”）．2、规定：空集是任何集合的子集，即．3、子集的性质：（1）任何一个子集都是它本身的子集，即．（2）若，且，则．【即学即练1】写出集合的所有子集．【解析】集合的所有子集为知识点二：韦恩图韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图．A是B的子集，可用下图表示：BBA【即学即练2】已知全集，那么正确表示集合和的关系的韦恩图是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为，所以⫋．故选：B．知识点三：真子集1、如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作（或），读作：A真包含于B（或B真包含A）．2、真子集的性质（1）空集是任何非空集合的子集．（2）若，，则．【即学即练3】已知AB，且B＝{0，1，2}写出满足条件A的所有集合．【解析】AB，且B＝{0，1，2}；∴满足条件A的所有集合为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}．知识点四：集合的相等与子集的关系1、如果A⊆B且B⊆A，则A=B．2、如果A=B，则A⊆B且B⊆A．【即学即练4】）已知，，若，则（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【解析】因为，所以或，解得或或，又集合中的元素需满足互异性，所以，则．故选：C．知识点五：有限集合的子集个数若集合A中有n个元素，则集合A的所有子集的个数为2n，真子集个数为2n－1，非空子集个数2n－1，非空真子集个数为2n－2．【即学即练5】已知集合，则集合的真子集个数为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【解析】集合，所以集合的真子集个数为：．故选：B．知识点六：补集1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，全集通常用表示．2、如果集合A是全集的一个子集，则由中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在中的补集，记作．3、数学表达式：．4、用Venn图表示（阴影部分）如图所示：UUA5、给定全集的子集及其任意一个子集A，则=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．【即学即练6】已知全集，集合，，则________．【答案】8【解析】因为全集，集合，，所以，即，所以．故答案为：8．题型一：写出给定集合的子集、真子集以及个数问题例1．（2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习）符合的集合的个数为（

）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】A【解析】由，设，，故有个.故选：A.例2．（2023·全国·高一假期作业）集合的子集个数为（

）．A．4 B．7 C．8 D．16【答案】C【解析】因为，所以该集合的子集的个数为，故选：C．例3．（2023·河南洛阳·高一洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知集合，且.(1)求实数的取值的集合；(2)写出（1）中集合的所有子集.【解析】（1）因为，且，所以或，解得或或，当时，，集合中出现两个0，故舍去；当时，，符合题意；当时，，符合题意；∴实数的取值的集合（2）因为，所以集合的子集有：【方法技巧与总结】（1）分类讨论是写出所有子集的有效方法，一般按集合中元素个数的多少来划分，遵循由少到多的原则，做到不重不漏．（2）若集合A中有n个元素，则集合A有个子集，有个真子集，有个非空子集，有个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用．题型二：韦恩图及其应用例4．（2023·内蒙古呼和浩特·高一校考期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】化简集合，判断集合没有包含关系，即可得出答案.，集合没有包含关系故选：A例5．（2023·江苏·高一专题练习）已知集合和的关系如图所示，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据集合间的包含关系可得B选项正确.例6．（2023·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由图可得，由选项即可判断.由图可知：，，由选项可知：，故选：D.变式1．（2023·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是()①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.A．①③ B．②③C．③④ D．③⑥【答案】D【解析】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，①S∈U，故错误；②F⊆T，故错误，③S⊆T，故正确；④S⊆F；故错误，⑤S∈F；故错误，⑥F⊆U故正确故选D．【方法技巧与总结】是集合的又一种表示方法，使用方便，表达直观，可迅速帮助我们分析问题、解决问题，但它不能作为严密的数学工具使用．题型三：由集合间的关系求参数的范围例7．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）①当时，即，解得，此时满足；②当时，要使得，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.（2）由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解，所以实数不存在，即不存在实数使得.例8．（2023·全国·高一假期作业）已知集合.(1)若，则实数a的值是多少?(2)若，则实数a的取值范围是多少?(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?【解析】（1）因为集合，，所以.（2）因为，如图，

由图可知，即实数a的取值范围是.（3）因为B⫋A，如图，

由图可知，即实数a的取值范围是.例9．（2023·高一单元测试）已知集合.(1)若集合，且，求的值；(2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围.【解析】（1）因为，且，所以或，解得或，故.（2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素，所以.当时，，满足题意；当时，当时，，解得，满足题意；当时，且，此时无解；当时，且，此时无解；当时，且，此时无解；综上，a的取值范围为.变式2．（2023·江西九江·高一德安县第一中学校考期中）已知.(1)若，求a的值；(2)若，求实数a的取值范围.【解析】（1）由方程，解得或所以，又，，所以，即方程的两根为或，利用韦达定理得到：，即；（2）由已知得，又，所以时，则，即，解得或；当时，若B中仅有一个元素，则，即，解得，当时，，满足条件；当时，，不满足条件；若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.综上，实数a的取值范围是或或.变式3．（2023·安徽芜湖·高一校考阶段练习）若集合，，且，求实数m的值.【解析】，当时，，当时，，因为，所以或，所以或，综上所述，或或.【方法技巧与总结】根据集合之间关系，求参数的值或范围（1）求解此类问题通常是借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，同时还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示．（2）涉及“A⊆B”或“A⫋B，且B≠⌀”的问题，一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视．题型四：集合间的基本关系例10．（2023·江苏·高一假期作业）设集合，，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，，则.故选：D.例11．（2023·福建福州·高一校联考期中）已知集合，则下列关系中，正确的是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】因为集合，对于A，因为，故选项A错误；对于B，是一个集合，且，故选项B错误；对于C，因为集合，所以集合与集合不存在包含关系，故选项C错误；对于D，因为集合，任何集合都是它本身的子集，所以，故选项D正确，故选：D.例12．（2023·高一课时练习）设集合，则下列关系中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，所以，故选：B变式4．（2023·高一课时练习）已知集合和，那么（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，得到，所以，又，所以，故选：C.变式5．（2023·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意，，，，而，{偶数}，因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即，所以.故选：C变式6．（2023·辽宁大连·高一辽师大附中校考阶段练习）已知集合，，则之间的关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，，∴，故排除选项，，又∵，，∴排除，故选：.【方法技巧与总结】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的．这就需要把较为抽象的集合具体化（如用列举法来表示集合）、形象化（用Venn图，或数形集合表示）．题型五：判断两集合是否相等例13．（2023·高一课时练习）下列集合的表示方法中，不同于其他三个的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】选项A，B，D对应的集合中只有一个元素2018，故它们是相同的集合，而C中虽只有一个元素，但该元素是用等式作为元素，而不是实数2018，故选项C与其他三个选项不同.故选：C.例14．（2023·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）下列与集合表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由解得或，所以，C正确；选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集，故选：C例15．（2023·全国·高一假期作业）已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为集合，集合，所以集合与集合都是奇数集，所以，故选：C.变式7．（2023·贵州安顺·高一统考期末）下列集合中表示同一集合的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对AD，两集合的元素类型不一致，则，AD错；对B，由集合元素的无序性可知，，B对；对C，两集合的唯一元素不相等，则，C错；故选：B【方法技巧与总结】判断两个集合间是否相等的关键在于：元素是否相同．题型六：根据两集合相等求参数例16．（2023·湖北武汉·高一武汉市第六中学校考阶段练习）已知集合，若，则（

）A．1 B．0 C． D．无法确定【答案】B【解析】由可知，，因为，所以或，①当时，得或（舍），则，解得或（舍），此时，符合题意，此时；②当时，得或（舍），则，解得或（舍），此时，符合题意，此时.综上所述：.故选：B例17．（2023·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）若，则实数a的值为（

）A．-1 B．0 C．1 D．-1或1【答案】A【解析】在中，且，而，则有，解得，所以实数a的值为-1.故选：A例18．（2023·江苏南通·高一海安高级中学校考阶段练习）已知a，，若，则的值为（

）A．1 B．0 C．－1 D．±1【答案】C【解析】，因为要有意义，所以，所以，求得：，故，所以，解得：，根据元素互异性，舍去，故，所以.故选：C变式8．（2023·高一单元测试）已知集合，若，则（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【解析】因为且，所以，且，又，所以和为方程的两个实数根，所以；故选：D变式9．（2023·高一课时练习）设，，，若，则（

）.A． B． C．.0 D．1【答案】A【解析】由题意得：，所以故选：A【方法技巧与总结】元素相同，注意满足集合元素的三大性质．题型七：空集的性质例19．（多选题）（2023·新疆乌鲁木齐·高一乌鲁木齐市第六十八中学校考期中）下列关系中正确的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】A：是集合中的元素，故，正确；B：是任意非空集合的真子集，故，正确；C：是的真子集，故，正确；D：研究数值，而研究有序数对，故它们不相等，错误.故选：ABC例20．（多选题）（2023·四川巴中·高一统考期中）下列关系中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对A：因为空集是任何非空集合的真子集，所以，故选项A正确；对B：因为空集没有任何元素，所以错误，故选项B错误；对C：由子集的定义可得，故选项C正确；对D：因为不一定等于，所以错误，故选项D错误.故选：AC.例21．（多选题）（2023·高一课时练习）下列关系式正确的为(

)A． B． C． D．【答案】AD【解析】A：集合里面的元素没有顺序，且一个集合是其本身的子集，故A正确；B：空集里面没有元素，故B错误；C：元素与集合是属于或不属于的关系，故C错误；D：空集是任何集合的子集，故D正确﹒故选：AD﹒变式10．（多选题）（2023·广西南宁·高一校考期中）下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】对于A：空集没有任何元素，故不正确.故A错误；对于B：Q为有理数集，而是无理数.故B正确；对于C：是任何集合的子集.故C正确；对于D：是由0和1构成的数集，而是由构成的点集.故D错误.故选：BC变式11．（多选题）（2023·河南新乡·高一校考阶段练习）下列四个选项中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】对于A选项，集合的元素是，集合的元素是，故没有包含关系，A选项错误；对于B选项，集合的元素是点，集合的元素是，故两个集合不相等，B选项错误；对于C选项，由集合的元素的无序性可知两个集合是相等的集合，故C选项正确；对于D选项，空集是任何集合的子集，故D选项正确.故选：CD.【方法技巧与总结】空集不含任何元素的集合．题型八：补集及其运算例22．（2023·江苏·高一假期作业）已知全集，.用列举法表示集合________.【答案】【解析】因为全集，所以.故答案为：.例23．（2023·广西贺州·高一校考阶段练习）已知全集U={x∈Z|-1≤x≤3}，集合A={x∈Z|0≤x≤3}，则=______【答案】【解析】因为，，所以，故答案为：.例24．（2023·江苏·高一假期作业）已知.若，则实数m的取值范围为________.【答案】或.【解析】已知集合，且，或当时，，解得，符合题意；当时，且，则或，解得，综上：实数的取值范围为或.故答案为：或.变式12．（2023·湖南株洲·高一株洲二中校考阶段练习）已知集合，，则______．【答案】或【解析】因为，所以，所以或．故答案为：或【方法技巧与总结】补集的求解步骤及方法（1）步骤：①确定全集：在进行补集的简单运算时，应首先明确全集；②紧扣定义求解补集．（2）方法：①借助Venn图或数轴求解；②借助补集性质求解．一、单选题1．（2023·江苏盐城·高一江苏省响水中学校考期末）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.2．（2023·全国·高一假期作业）已知集合和，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得到，所以，又，所以，故选：C.3．（2023·江苏·高一假期作业）集合，集合，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．集合间没有包含关系【答案】D【解析】由集合表示函数图象上所有的点的集合，又由结合表示轴上方所有点的集合，因为，但，所以集合与之间没有包含关系.故选：D.4．（2023·高一课时练习）已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于表示一元二次方程的解的集合，而最多有两个不相等的实数根，由于，所以故由韦达定理可得，故选：C5．（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（

）A．4 B．8 C．15 D．16【答案】D【解析】集合，,，故有个子集.故选：D．6．（2023·广东揭阳·高一校考期末），那么下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于，是任何集合的子集，也即，故选项错误；对于，因为，所以成立，故选项正确；对于，因为，所以成立，故选项正确；对于，因为是任何集合的子集，所以成立，故选项正确，所以结论错误的是，故选：.7．（2023·高一单元测试）已知集合和集合，若，则中的运算“⊕”是（

）A．加法 B．除法 C．乘法 D．减法【答案】C【解析】若，则，，，因此排除ABD．故选：C．8．（2023·四川眉山·高一校考期末）若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（

）A． B． C． D．与互不包含【答案】C【解析】对于集合，当时，，当时，，所以.故选：C.二、多选题9．（2023·江苏·高一假期作业）设集合，集合，则集合中的元素可能是（

）A． B．2 C． D．3【答案】AC【解析】因为，所以，故选：AC．10．（2023·广东广州·高一校考期末）设集合，若，则a的可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】因为，如图：所以，所以，故a的可能取值为，.故选：CD.11．（2023·山西大同·高一山西省阳高县第一中学校校考期末）设集合，，若，则实数a的值可以是（

）A．0 B． C． D．2【答案】ABC【解析】由题得，，则当时，有，，故C正确；当时，有，，故B正确；当时，，故A正确；故选：ABC.12．（2023·四川眉山·高一校考期末）已知集合，，若，则的可能取值为（

）A．1 B． C．0 D．2【答案】ABC【解析】由已知，当时，，满足，当时，，则或，得或，所以.故选：ABC.三、填空题13．（2023·江苏·高一假期作业）集合，则集合的子集的个数为________.【答案】4【解析】由方程，解得或，即集合，所以集合的子集为，共有4个子集.故答案为：4.14．（2023·江苏·高一假期作业）已知集合，且，则实数m的取值范围是________.【答案】.【解析】由集合，若时，可得，此时满足；若时，要是得到，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.故答案为：.15．（2023·江苏·高一假期作业）（1）集合与________相等集合．（填“是”或“不是”）（2）若集合，集合且，则________，________．【答案】是1【解析】（1）因为，所以或．又，所以．（2）由题意知，，故，∴，则，此时，由于，∴.16．（2023·全国·高一专题练习）给定集合，对于，如果，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．【答案】6【解析】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有，共有6个.故答案为：6．四、解答题17．（2023·江苏·高一假期作业）指出下列各对集合之间的关系.(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；(2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}；(3)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(4)M＝{x|x＝2