教师招聘考试《中学数学》模拟真题一

教师招聘考试《中学数学》模拟真题一

1［单选题］

■

设随机变量……,工(〃>1)独立分布，且方差标>0,记亍=12人则为4与M的

"i=!

相关系数为()0

A.-1

B.0

C.1/2

D.1

正确答案：B

参考解析：

由于X,独立分布.故DX^.DX=SL.COV(X,.X.)=0("I).COV(XLX

Cov(X.X)=Cov(Xi.--y.X.)-DX»—^Cov(Xi.X,)-PX«—CO*(XI.XI)-DX3^---=0

nZF"annn

2［单选题］在矩形ABCD中，AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从A、

C两处出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B,点Q以

2cm/s向D移动，当P,Q距离为10cm时，P、Q两点从出发开始经过

时间为()s。

7_

A.r

工或风

B.3取3

参考解析：设P、Q两点从出发开始经过时间为t,则AP=3t,CQ=2t,

PQ=10,由勾股定理得PQ2=AD2+(AB-AP-CQ)2,代入得

101=&+(16-50'.经计算汨到，=：或卷，选择3

3［单选题］在半径为r的圆中，内接正方形与外接正六边形的边长

之比为（）。

A.2：3

B.2：VT

C.i：vT

D.V2~：1

正确答案：D

参考解析：圆内接正方形的边长等于。『.圆内接正六边形的边长等

于r。所以比值为。3

4［单选题］设_____

A.科为椭园小+£=1的左、右焦点，点P在椭圆匕出中;Len1,则熹喝।的

43l/Ti取天

值和最小值的和是（）。

10

A.9

14

B.V

15

C.4

21

D.4

正确答案：C

仝生:,•耐1-耐5±1」耐用/J耐|=2++1耐上2-々。所•片=1耐1畸corf,

参考解析：22

由余弦定理可得2"斓干:吃"代入可得

肉•用4叶卜号2；，篇翁点p在椭圆上,所以加而取最

大值时，P在椭圆长轴的顶点，值为2»力.2：。加）《+•是对勾函数，在

区间［1,2］上为单调递减，故最大值和最小值在f（l）和f（2）处取得，

和为富。

5［单选题］若S,为等差数列前n项和，有S5=30,S10=120,求证为

（）O

A.260

B.270

C.280

D.290

正确答案：B

参考解析：

解析:对于等差数列,依次*个暇之和仍组成一个等差效列,即＜&.Sb8.S«-Ssl构成等差数

现已知5s=30.5卡120.所以（3OJ2O-3O.S„-I2O，成等差数列.故£,=270。

6［单选题］在过点P（l,3,6）的所有平面中，有一平面，使之与三

个坐标平面所围四面体的体积最小值是（）。

A.18

B.48

C.72

D.81

正确答案：D

参考解析：应用拉格朗日乘数法。设平面方程Ax+by+Cz=l,其中A,

B,C为正数，则它与三个坐标平面围成的四面体体积为

4T^=»C+A=0.

(14

空'=4C+3A=0.y.

on

氏=4B+6A=0.♦得

oCt

%AIflC/4+3«+«C=I.令1,C.A)乂BC+A(4+3B+6C-1).贝|由督M+3B-»6C-1=O.

HA4

由于求体积的最小值.故所求的平面方程为「尹言=i网^18^1

7［单选题］已知集合/UUttMAOI4H为实敬集）。

A.［0,1］

B.（0,1）

C.（-8,o）

D.（0,1］

正确答案：B

参考解析：由题意得4岫＞开.胃（4他＜11*才45）口13孙麟

8［单选题］如图在AABC中，DE〃BC,若AD：DB=1：3,DE=2,则

BC等于（）。

A.8

B.6

参考解析：由于DE〃BC,所以DE：BC=AD：AB,又由AD:DB=L3,

所以AD：AB=1:4,由DE=2得BC=8。

9［单选题］在下面的信息资料中，适合用折线统计图表示的是

（）0

A.学校教师的人数

B.8月份气温变化情况

C.学校各年级的人数

D.2004—2008年每年招收一年级新生人数变化情况

正确答案：B

参考解析：气温变化情况重点在于变化的情况，即增减变化情况，

而“折线统计图最大的优势是能清楚地反映数量的增减变化情况。”

所以B项适用折线统计图。

10［单选题］从底面半径为1,高为4的圆柱体中掏出一个长方体，

然后再在这个长方体中掏出一个最大的圆柱体，则掏出的圆柱体体积

最大为（）。

A.A.2VT

B.2

C.2Ji

D.4Ji

正确答案：c

参考脑析：要想掏出的圆柱体的体积最大，则要求在此之前掏出的

长方体的底面为正方形,其横截面如图所示：

设R为大B8半径.，为小08半径.财力“+/=«：-2?=1-2为£,则小BI柱体的体积为“/汕=1«

C-）\4=2ir.

11［单选题］在欧氏平面几何中，一个平面正多边形的每一个外角都

等于72,则这个多边形是（）。

A.正六边形

B.正五边形

C.正方形

D.正三角形

正确答案：B

参考解析:

多边形的外角和为360°.又因为此多边形为正多边形.所以边数应为黑=5,即此多边形

为正五边形，故选B。

12［单选题］()是指打乱传统的按年龄编班的做法，而按学生的

能力或学习成绩编班。

A.内部分组

B.外部分组

C.班级授课制

D.设计教学法

正确答案：B

参考解析：打乱传统的按年龄编班的做法，而按学生的能力或学习

成绩编班的教学组织形式是外部分组。外部分组主要有两类：学科能

力分组和跨学科能力分组。

13［单选题］因数分解(xT)2-9的结果是()。

A.(x-8)(x+1)

B.(x-2)(x-4)

C.(x-2)(x+4)

D.(x+2)(x-4)

正确答案：D

参考解析：原式=(xT+3)(xT-3)=(x+2)(x-4)。因式分解中常用的

公式有：完全平方公式：(a+b)2=a?+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+bL，；平方

22

差公式：(a+b)(a-b)=a-b;十字相乘法公式：

x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)等。

14［单选题］已知几何体的三视图如图所示，则该几何体体积为()o

主视图左视图俯视四

A.3冗

B.10/3Ji

C.8/3Ji

D.6Ji

正确答案：A

参考解析：由三视图可知，该几何体是一个圆柱从侧面被斜切了一

刀，求该几何体的体积时，找一个同样的几何体补全。该几何体的体

积即为直径为2,高为6的圆柱体积的一半八N4；

15［单选题］在空间中，下列命题正确的是（）。

A.平行直线的平行投影重合

B.平行于同一直线的两个平面平行

C.垂直于同一平面的两个平面平行

D.垂直于同一平面的两条直线平行

正确答案：D

参考解析:平行直线的平行投影除了重合之外还可能平行,A错误；

平行于同一直线的两个平面可以相交，B错误；垂直于同一平面的两

个平面可以相交，C错误。

16［单选题］

设椭圆告+忐上一点P到其左焦点的距离为3,到右焦点的距离为1,则尸点

到右准线的距离为（)O

A.6

B.2

C.吟

D.7

正确答案：B}

参考解析.解析：由椭圆第一定义知a=2,所以mU,椭圆方粤为f+£=1.则;*.所以d=20

17［单选题］a>2.则双曲线由市一二小的离心率的取值范围是（）。

A92

B（于S）

C,呼”）

D.（VAT,+8）

正确答案：B

参考解析：双曲线离心率

“乃严市M而当a>2时，e是关于a的

单调递增函数,所以离心率的取

S3

值范围是3

18［单选题］已知

/（z）=sin（2x+W）,其中0<伊<2宣，若（卷）］对xwR恒成立，且/（丁）>,（e）

则0的一个可能取值可以是（）。

IT

A.6

llir

D.丁

正确答案：C

参考解析：「•次手方⑺，可得内呷Xi”.故《应为第三或第四象限由〃.对xeR恒

成立4，）应为最值点，贴得答案为C。

19［单选题］下列选项正确的是（）。

A.一种商品先提价10%,再降价10%,价格不变

B.圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大6倍

C.侧面积相等的两个圆柱，它们的体积也相等

D.两个合数可以是互质数

正确答案：D

参考解析：设商品的原价为x,先提价10%之后的价格为

（l+10%）x=l.lx,再降价10%价格为（ITO%）XLlx=O.99x<x,

A项错误；圆的半径扩大3倍，它的面积就扩大32=9倍，B项错误;

侧面积相等的两个圆柱，底部的半径不一定相等，所以它们的体积也

不一定相等，C项错误；两个合数可以是互质数，例如4和9,D项

正确。

20［单选题］一次函数y产kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论:

①k<0；②a>0；③当x<3时，y《y2中正确的个数是（）

A.0

B.1

C.2

D.3yi^Jcx-¥b

正确答案：B

参考解析：由一次函数y尸kx+b的图象可知，该函数在R上单调递

减且与y轴的正半轴相交，由此可得k<0,b>0o同理，由一次函数

y2=x+a的图象可知，该函数与y轴的负半轴相交，可得a<0。当x<3

时，y产kx+b的图象始终在，y2=x+a图象的上方，所以y〉y2。所以题

中结论正确的只有①。

21［填空题］

如下图，正方体ABCD—ABCD中，M是DD的中点，0是底面正方形

ABCD的中心，P为棱AB上任意一点，则直线0P与直线AM所成角的

过点。作交AD于H.因为4尸〃AB,所以。即点O、H、A「P在

同一个平面内,因为（阳_平面AD0A：,所以0H1AM,又AiHlAM且=所以AM,平面

OHA।PCPU平面。H.。P,所以AM5严,所以直线0P与直线AM所成的角为90'.

22［填空题］

已知a,b为常数,若/(X)=X2+4X+3,f(ax+b)=x2+10x+24,则

5a_bo

参考解析：2。

解析：由：(ax+b)'>4(ax+b)+3V7Qx+24,即

V=>.

.比较系数褥：,2o6U<z=10.If得：o=-l.b=-7,或o=l,b=3.则5o-6=20

62*464.3=24.

23［填空题］

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出模型思想的建立是学生

体会和理解与联系的基本途径。

参考解析：数学；外部世界。

24［填空题］

若竹（nwN*）展开中的第五项为常数，则n等于。

参考解析：据二项式定理可得展开式第n+1项为由

、小。”"《产2）、I_4=0n〃=12

x因为第五项为常数项，所以，2故填

12.

25［填空题］

用计算器产生一个在区间［10,20］上的随机数a（a£Z）,则水14的

概率是O

参考解析：去。

在区间［10,20］共有整数11个.因为a£Z,在区间内满足a<14的

整数共有4个，故所求概率为：

26［填空题」

在中.府=a.布”.尔=3而.”为8c的中点.则瓦”=。（用a、b表

示）。

参考解析：

【答案】Ja+\ba解析：由词=3记得痴产=3；记'=3（a动）,7炉=«+1.所以巾）-（，+［-”

4424/

--仇

44

27［填空题］

两个袋子中都装有红、黄、白三个小球，这些球除颜色外，形状、大

小、质地等完全相同。搅匀后，在看不到球的条件下，随机分别从两

个袋子中摸出一个球，摸出两球的颜色相同的概率是o

参考解析：1/3。

28［填空题］

x-y+l>0,

z=3"",

若实数X,Y满足xwo.则Z的取值范围是O

参考解析：［1，9］o

目标函数：=产•是单调递增函数，求其取值范围可将其简化，构造新目

标函数m=x+2y,先求其取值范围。可行域如图所示，验证易得m在

点A(0.1)处取得最大值为2,在原点处取得最小值为0,故m£［0,

2］,所以原目标函数2的取值范围是［1,9］o

29［填空题］

已知双曲线捻-旨=1的一个焦点与抛物线f=4x的焦点重合，且双曲线的离心率为

vT.则该扁线的方程式为________,

参考解析：

【答案】卢I.健析：由已知易得依物纹的焦点坐标为(1,0).，+6—三1,。=：-=寸5•故0=(丁，

该双曲线的方程为5d-；/=>.

30［填空题］

如图，正方体ABCD-ABCD中，求BBi与平面GDB所成角的正切值为

4

4R

参考解析：

考工.解析：设正方体边长为a,8®与平面CQ8所成角为仅四面体DBBC体粗如果以

△B&G为底面可求得卜；-必3厚,若以△8DG为底面上“总7近注羊一人但考三已故且

到底面8DG的高为+誓•/=&£•(».故④小空•.cSvT^的=乂£,皿0=嗯=3£.

n52333cowL

31［简答题］

设函数f(X)=X+aln(l+X)+bXsinX,g(X)=kX3,若f(X)与g(X)在X-*0

是等价无穷小，求a,b,k的值。

原式曰im=同（1+—）欣52

即1-H»=0.6-1-=0.^-=1

参考解析：•HTA4—十

32［简答题］

分别用分析法，综合法证明如下命题。

命题：如图。三角形ABC的角B和角C的角平分线相交于点0,过点

0作平行于底边BC的直线，交AB边于点D,交AC边于点E,则DE=BD+EC0

参考解析：（1）分析法证明：

要证DE=BD^EC,

需证OD=RD,OE=CE,

需证4DBO=ZDOB.ZECO-Z.EOC.

Si然由已知08为Z.AHC的平分线.OC为乙£C8的平•分线.ADE//BC,所以乙/）8。二4。。8,乙£。。=

ZEOC,所以命题成立。

（2）综合法证明：

:OB为乙。BC的平分线,OC为£EC8的平分线,且DE//BC.

:・LDBO^LOBC=乙DOB,乙ECO=乙RCO：乙EOC,

\BD=OD,EC^OEo

又;DE=0IM)E.

:J)E=BD+ECA

33［简答题］

已知|a|=l,|b|=2。

(1)若a〃b,求a•b；

⑵若a,b的夹角为60°,求|a+b|；

⑶若a-b与a垂直，求当k为何值时，(ka-b)±(a+2b)0

参考解析：\'\bIt2.

(2)a-fr=|a|-|CM600Kl,|«+AIga卜+2a・6+|A|三7,故|a+*l=V7

(3)若a-b与a垂直.则(a-»)・a=0.a2=lal：=l,使得(局-卜)_L(a+2*),只要(*«")•(a+2h)=0.

0k\all(U-l)a3-2B|三0.即A+(2i-1)-2x4=0,解得£=3.

34［简答题］

“星光大道”民间歌手选拨现场有数百观众和5名参赛选手，5名参

赛选手代号分别为1至5号。现场观众根据自己的喜好投票，选出最

佳歌手。每位观众只能独立在选票上选3名歌手，其中观众A是1号

选手的粉丝，必须选1号，不选2号，另需在3至5号中随机选2名，

观众B,C没有偏爱，可从5名选手中随机选出3名。

(1)求5号选手被A选中，但不被B选中概率；

⑵设X表示5号选手得到观众A,B,C的票数和，求X的