2024-2025学年高中数学第三周 函数的最大值与最小值(一)教学设计

2024-2025学年高中数学第三周函数的最大值与最小值(一)教学设计授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容分析本节课的主要教学内容是函数的最大值与最小值(一)。该部分内容涉及函数的增减性、极值以及最值的概念。教学内容与学生已有知识的联系主要体现在以下几个方面:

1.知识点回顾:在开始本节课之前,学生需要回顾已学过的函数基础知识,如函数的定义、图像、导数等。这些知识将为学生理解本节课的内容打下基础。

2.知识点衔接:本节课所涉及的最大值和最小值概念,与学生在初中阶段学习的数学知识有关。例如,学生在初中阶段学习过二次函数的顶点,而本节课所涉及的最值概念就是二次函数顶点的一个应用。

3.实际应用:本节课所学的函数最大值和最小值的概念,在实际生活中有着广泛的应用。例如,在优化问题中,需要求解函数的最大值或最小值来得到最优解。通过实际应用的引入,可以激发学生的学习兴趣和积极性。

结合以上分析,本节课的教学设计将重点讲解函数的增减性、极值和最值的概念,并通过实例分析和实际应用,帮助学生理解和掌握所学知识。同时,教学过程中要注意启发学生的思维,引导学生主动探究和发现规律,提高学生的数学素养。核心素养目标本节课的核心素养目标在于培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算能力。首先，通过分析函数的增减性、极值和最值的概念，学生能够理解并抽象出函数的本质特征。其次，通过对函数图像的观察和分析，学生能够运用逻辑推理能力，得出函数最大值和最小值的求解方法。此外，通过实例分析和实际应用，学生能够将所学知识运用到解决实际问题中，提高数学建模能力。最后，在求解函数最值的过程中，学生能够运用数学运算能力，熟练掌握相关运算技巧。通过本节课的学习，学生能够全面提升数学核心素养，为后续学习打下坚实基础。教学难点与重点1.教学重点

本节课的核心内容是函数的最大值与最小值。具体来说，重点包括以下几个方面：

（1）理解函数的增减性：学生需要掌握如何通过导数判断函数的单调性，进而得出函数的增减性。

（2）掌握极值的概念：学生需要了解极值的概念，并学会如何求解函数的极值。

（3）求解函数的最值：学生需要掌握求解函数最值的方法，并能够灵活运用到实际问题中。

（4）理解实际应用：学生需要理解函数最值在实际问题中的应用，提高解决问题的能力。

2.教学难点

本节课的难点主要体现在以下几个方面：

（1）导数与函数单调性的关系：学生难以理解如何通过导数判断函数的单调性，进而得出函数的增减性。

（2）求解函数极值：学生对于如何求解函数的极值存在困难，特别是对于多元函数和隐函数的极值问题。

（3）函数最值的求解方法：学生难以掌握求解函数最值的方法，特别是在多元函数和含有绝对值、分段函数等问题中。

（4）实际应用的建模：学生难以将所学知识运用到实际问题中，建立合适的数学模型求解最值问题。

针对以上重点和难点，教师在教学过程中应当有针对性地进行讲解和强调。例如，可以通过绘制函数图像、举例说明、引导学生自主探究等方式，帮助学生突破难点，理解重点。同时，教师应当注重启发式教学，引导学生运用逻辑推理和数学运算能力，提高解决问题的能力。教学资源1.软硬件资源：

-教室内的多媒体设备，包括投影仪和白板

-学生每人一台计算器

-数学绘图软件，如GeoGebra

2.课程平台：

-学校提供的在线学习平台，用于上传教学资料和作业

-数学学科论坛或讨论区，供学生提问和交流

3.信息化资源：

-教学PPT和教案

-相关视频教程，如KhanAcademy数学教学视频

-数学题库网站，如Mathway，供学生自主练习

4.教学手段：

-小组讨论和合作学习

-案例分析和问题解决

-引导式教学和发现式学习

-利用数学软件进行函数图像绘制和数值计算教学流程（一）课前准备（预计用时：5分钟）

学生预习：

发放预习材料，引导学生提前了解函数的最大值与最小值的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。

设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习函数的最大值与最小值内容做好准备。

教师备课：

深入研究教材，明确函数的最大值与最小值教学目标和函数的最大值与最小值重难点。

准备教学用具和多媒体资源，确保函数的最大值与最小值教学过程的顺利进行。

设计课堂互动环节，提高学生学习函数的最大值与最小值的积极性。

（二）课堂导入（预计用时：3分钟）

激发兴趣：

提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入函数的最大值与最小值学习状态。

回顾旧知：

简要回顾上节课学习的函数基础知识，帮助学生建立知识之间的联系。

提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为函数的最大值与最小值新课学习打下基础。

（三）新课呈现（预计用时：25分钟）

知识讲解：

清晰、准确地讲解函数的最大值与最小值知识点，结合实例帮助学生理解。

突出函数的最大值与最小值重点，强调函数的最大值与最小值难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。

互动探究：

设计小组讨论环节，让学生围绕函数的最大值与最小值问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。

鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。

技能训练：

设计实践活动或实验，让学生在实践中体验函数的最大值与最小值知识的应用，提高实践能力。

（四）巩固练习（预计用时：5分钟）

随堂练习：

随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对函数的最大值与最小值知识的掌握情况。

鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决函数的最大值与最小值问题。

错题订正：

针对学生在随堂练习中出现的函数的最大值与最小值错误，进行及时订正和讲解。

引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。

（五）拓展延伸（预计用时：3分钟）

知识拓展：

介绍与函数的最大值与最小值内容相关的拓展知识，拓宽学生的知识视野。

引导学生关注学科前沿动态，培养学生的创新意识和探索精神。

情感升华：

结合函数的最大值与最小值内容，引导学生思考学科与生活的联系，培养学生的社会责任感。

鼓励学生分享学习函数的最大值与最小值的心得和体会，增进师生之间的情感交流。

（六）课堂小结（预计用时：2分钟）

简要回顾本节课学习的函数的最大值与最小值内容，强调函数的最大值与最小值重点和难点。

肯定学生的表现，鼓励他们继续努力。

布置作业：

根据本节课学习的函数的最大值与最小值内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

提醒学生注意作业要求和时间安排，确保作业质量。知识点梳理1.函数的增减性：

-导数的概念：导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

-导数的应用：通过导数可以判断函数的单调性，即函数的增减性。

-单调增函数：如果函数的导数大于0，则函数在该区间内单调递增。

-单调减函数：如果函数的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。

2.极值的概念：

-极值的定义：函数在某一点的导数为0，且该点附近的导数符号发生改变，称为极值点。

-极大值：如果函数在极值点处取得局部最大值，则称为极大值。

-极小值：如果函数在极值点处取得局部最小值，则称为极小值。

3.函数的最值：

-最大值和最小值的定义：函数在定义域上的最大值和最小值分别是最值。

-求解最值的方法：可以通过求解导数为0的方程来找到极值点，然后比较极值点和端点处的函数值。

-闭区间上的最值：如果函数在闭区间上连续，则最大值和最小值只可能在端点或极值点处取得。

4.实际应用：

-优化问题：在实际问题中，往往需要找到函数的最大值或最小值来解决问题。

-成本问题：在成本优化问题中，通常需要最小化成本函数，即找到成本函数的最小值。

-收益问题：在收益优化问题中，通常需要最大化收益函数，即找到收益函数的最大值。典型例题讲解1.例题1（教材P68，第1题）

题目：已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

解答：

（1）首先，求出函数的导数f'(x)=2x-4。

（2）令导数等于0，解方程2x-4=0，得到x=2。

（3）接下来，分析函数的增减性。当x<2时，导数f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>2时，导数f'(x)>0，函数f(x)单调递增。

（4）因此，函数在x=2处取得极小值，即f(2)=2^2-4*2+3=-1。

（5）最后，比较端点处的函数值。f(-1)=(-1)^2-4*(-1)+3=8，f(3)=3^2-4*3+3=0。

（6）所以，函数在区间[-1,3]上的最大值为8，最小值为-1。

2.例题2（教材P69，第3题）

题目：已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1，求函数在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

解答：

（1）首先，求出函数的导数f'(x)=3x^2-6x+2。

（2）令导数等于0，解方程3x^2-6x+2=0，得到x=1。

（3）接下来，分析函数的增减性。当x<1时，导数f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>1时，导数f'(x)<0，函数f(x)单调递减。

（4）因此，函数在x=1处取得极大值，即f(1)=1^3-3*1^2+2*1-1=1。

（5）最后，比较端点处的函数值。f(-1)=(-1)^3-3*(-1)^2+2*(-1)-1=-3，f(2)=2^3-3*2^2+2*2-1=-1。

（6）所以，函数在区间[-1,2]上的最大值为1，最小值为-3。

3.例题3（教材P70，第5题）

题目：已知函数f(x)=(x-1)^2-4(x-1)+5，求函数在区间[-2,4]上的最大值和最小值。

解答：

（1）首先，将函数展开得到f(x)=x^2-2x+1-4x+4+5=x^2-6x+10。

（2）求出函数的导数f'(x)=2x-6。

（3）令导数等于0，解方程2x-6=0，得到x=3。

（4）接下来，分析函数的增减性。当x<3时，导数f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>3时，导数f'(x)>0，函数f(x)单调递增。

（5）因此，函数在x=3处取得极小值，即f(3)=3^2-6*3+10=1。

（6）最后，比较端点处的函数值。f(-2)=(-2)^2-6*(-2)+10=32，f(4)=4^2-6*4+10=6。

（7）所以，函数在区间[-2,4]上的最大值为32，最小值为1。

4.例题4（教材P72，第9题）

题目：已知函数f(x)=2x^3-9x^2+18x-9，求函数在区间[-3,1]上的最大值和最小值。

解答：

（1）首先，求出函数的导数f'(x)=6x^2-18x+18。

（2）令导数等于0，解方程6x^2-18x+18=0，得到x=1。

（3）接下来，分析函数的增减性。当x<1时，导数f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当x>1时，导数f'(x)<0，函数f(x)单调递减。

（4）因此，函数在x=1处取得极大值，即f(1)=2*1^3-9*1^2+18*1-9=10。

（5）最后，比较端点处的函数值。f(-3)=2*(-3)^3-9*(-3)^2+18*(-3)-9=-129，f(1)=10。

（6）所以，函数在区间[-3,1]上的最大值为10，最小值为-129。

5.例题5（教材P74，第12题）

题目：已知函数f(x)=x^2+4x+3，求函数在区间[-2,3]上的最大值和最小值。

解答：

（1）首先，求出函数的导数f'(x)=2x+4。

（2）令导数等于0，解方程2x+4=0，得到x=-2。

（3）接下来，分析函数的增减性。当x<-2时，导数f'(x)<0，函数f(x)单调递减；当x>-2时，导数f'(x)>0，函数f(x)单调递增。

（4）因此，函数在x=-2处取得极小值，即f(-2)=(-2)^2+4*(-2)+3=1。

（5）最后，比较端点处的函数值。f(3)=3^2+4*3+3=18。

（6）所以，函数在区间[-2,3]上的最大值为18，最小值为1。教学反思与改进首先，我意识到在讲解函数的增减性时，部分学生对于如何判断函数的单调性还存在一定的困惑。在未来的教学中，我计划通过更多的实例和图形的展示，帮助学生更好地理解和掌握导数与函数单调性的关系。

其次，在求解函数的极值和最值时，我发现部分学生对于如何找到极值点和比较函数值还存在困难。为了更好地帮助学生理解和掌握这部分内容，我计划