湖北省孝感市2024-2025学年高一数学上学期1月期末考试试题含解析

Page18湖北省孝感市2024-2025学年高一数学上学期1月期末考试试题试卷满分：150分留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号等填写在答题卡和试卷指定的位置上.2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如须要改动，先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项是符合题目要求的）1.设全集，集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】逐一带入验证的方法，先考虑中的那些元素满意，得到集合，然后依据补集的定义算出.【详解】依据集合的定义，肯定值的意义可知，逐一带入到中，只有符合，于是，所以.故选：D2（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简求解即可.【详解】.故选：B.3.下列函数中是偶函数且在区间上是增函数的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依据奇偶性的定义推断推断函数的奇偶性，依据函数的解析式推断单调性的.【详解】因为，所以是奇函数，因为，所以是奇函数，因为，所以是偶函数，且在上单调递减，因为，所以是偶函数，且在上单调递增.故选：C.4.函数的部分图象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依据函数的奇偶性可解除，然后取特别值计算，可得结果.【详解】函数的定义域为则所以该函数为奇函数，故解除又，故解除，则正确故选：A【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，推断图象的左右位置；从函数的值域，推断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，推断图象的改变趋势；(3)从函数的奇偶性，推断图象的对称性；(4)从函数的特征点，解除不合要求的图象.5.已知某扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依据扇形面积公式可构造方程求得半径，代入扇形弧长公式可得结果.【详解】设扇形的半径为，则扇形面积，解得：，扇形弧长.故选：B.6.设，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合正弦函数在上图像的性质，先推出的等价关系，然后推断其和的关系后进行分析.【详解】，，则，，由，结合正弦函数图像在上的性质可知，或，所以不肯定推出，但可以推出，于是“”是“”的必要不充分条件.故选：B7.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将分别与1，比较大小.【详解】，，，又因为，所以，．所以，故选：D8.已知定义在上的函数满意：当时，，且对随意的，均有，若，则的取值范围是（是自然对数的底数）（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】通过对于抽象表达式合理赋值，推出是奇函数，结合奇函数的性质，先赋值推出上的单调性，然后得出上的单调性，最终解不等式.【详解】令，即，则，令，即，则，结合定义域为可知，是奇函数，对于，用替代，得到，结合是奇函数，上式可化简成，，且，，结合题目条件：当时，，于是，，即，故在上递增，又是定义域为的奇函数，依据奇函数性质，在上递增，于是等价于不等式：，解得故选：D二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.已知函数在区间上的值域是，则区间可能是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】依据二次函数对称轴及单调性即可求得.【详解】函数对称轴为，且，，又因为值域为，由单调性可知A，B符合；C，D选项的值域为.故选：AB10.下列结论中，正确的结论有（）A.假如，那么的最小值是2B.假如，，，那么的最大值为3C.函数的最小值为2D.假如，，且，那么的最小值为2【答案】BD【解析】分析】对A.假如，那么，命题不成立；对B.运用基本不等式得即可得的最大值；对C.函数，当且仅当时取等号，此时无解；对D.依据题意构造，将“1”替换为，代入用基本不等式求解.【详解】对于A：假如，那么，最小值是2不成立；对于B：假如，，，则，整理得，所以，当且仅当时取得最大值，所以的最大值为3，故B正确；对于C：函数，当且仅当时取等号，此时无解，不能取得最小值2，故C错误；对于D：假如，，且，那么，当且仅当时取得最小值，故D正确.故选：BD11.关于函数，列说法中正确的有（）A.函数是奇函数B.函数的零点有三个C.不等式的解集是D.若存在实数满意，则的最小值是9【答案】BC【解析】【分析】A选项：由定义域不关于原点对称推断不是奇函数；B选项：分与解分段方程；C选项：分与解分段不等式；D选项：作出的图象，由对称性知，利用的取值范围并化简得，依据基本不等式求的最小值，要验证等号成立的条件.【详解】A选项：函数的定义域为，不是奇函数，故A错误；B选项：令且，得或，令且，得，故函数有三个零点分别是，，8，故B正确；C选项：令且，得，令且，得，故C正确；D选项：如图，若，则关于对称，所以；由图知，由得，即，所以所以，但，故取不到最小值9，所以D错误.故选：BC12.已知函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，则（）A.函数的对称中心是B.函数的对称中心是C.函数有对称轴D.函数有对称轴【答案】ACD【解析】【分析】对于AB，依据函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件分析推断，对于CD，依据函数的图像关于直线成轴对称图形的充要条件分析推断.【详解】对于A，因为函数，所以为奇函数，所以点是函数的对称中心，所以A正确，对于B，，则，令，因为，所以不是奇函数，所以点不是函数的对称中心，所以B错误，对于C，因为，所以，当时，函数为偶函数，所以有对称轴，所以C正确，对于D，因为，所以，当时，为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以D正确，故选：ACD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，则___________（用，表示）【答案】【解析】【分析】干脆利用换底公式以及对数的运算性质，求解即可.【详解】由题知，故答案为：14.已知角的终边经过点，则的值为___________．【答案】##08【解析】【分析】用诱导公式化简的值，再依据三角函数的定义求出的值即可.【详解】因为，又因为角的终边过点，所以，故答案为：15.已知函数是定义域为的偶函数，且周期为2，当时，则___________．【答案】1【解析】【分析】依据周期为2及偶函数得，的值可以代入求得.【详解】由题知当时，，因为函数周期为且为偶函数，所以，所以．故答案为：116.已知函数，若关于的不等式恰好有两个整数解，则实数的取值范围是___________．【答案】【解析】【分析】由不等式为，分，和探讨求解.，【详解】解：由题意知：不等式可化为，当时，该不等式无解；当时，，如图所示：由图象知：，此时要有两个整数解是，，所以，所以，当时，，如图所示：由图象知：，此时由两个整数解0，1，所以，所以所以，综上的取值范围是故答案为：四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知全集，集合，集合（1）求，；（2）集合，若“是的充分不必要条件”，求实数的取值范围．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）分别求解一元二次不等式，分式不等式，得到集合后进行求解；（2）先写出集合，然后依据集合的包含关系求解参数范围.【小问1详解】由题可知集合或集合，所以，【小问2详解】因为集合，又因为是的充分不必要条件，所以有，所以有，则，所以的取值范围是18.已知（1）化简．（2）若，求的值．（3）若，且，求的值．【答案】（1）（2）1（3）【解析】【分析】（1）干脆利用诱导公式即可得到化简得；（2）；（3）依据同角三角函数关系求得，则得到的值.【小问1详解】由题知【小问2详解】因为，，所以，【小问3详解】因为，且，所以，则所以19.已知函数，函数（1）若函数为奇函数，求的值．（2）若，且，求不等式的解集．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据奇函数的定义列方程求解即可；（2）求得，令，可推断其为奇函数，且在上单调递增，则，从而将转化为，再利用其单调性可求得结果.【小问1详解】因函数为奇函数，定义域为则所以有，所以【小问2详解】因为，所以，所以，因为在上单调递增，在上单调递增，所以在定义域上单调递增，令，因为，所以为奇函数，则，，则．所以不等式可以化为，则，所以．原不等式的解集为.20.已知函数（其中）的图像与轴交于，两点，，两点间的最短距离为，且直线是函数图像的一条对称轴．（1）求和的值．（2）若，求的最值．（3）若函数在内有且只有一个零点，求实数的值．【答案】（1），（2）最大值为1，最小值为（3）或．【解析】【分析】（1）依据三角函数的性质即可求解和的值；（2）探讨函数在给定区间的单调性，进而可求最值；（3）依据函数在恰好为一个周期，所以要使得函数只有一个零点，则或,即可求解.【小问1详解】由题知，两点间的最短距离为，所以，，所以，直线是函数图像的一条对称轴，所以，，又因为，所以【小问2详解】由（1）知，因为，所以，令，则，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即时，函数有最大值，最大值为．当，即，函数有最小值，最小值为．综上，的最小值为，最大值为【小问3详解】因为函数在内有且只有一个零点，所以在范围只有一个实根，即函数在的图像在与直线只有一个交点，因为恰为函数的一个周期，所以要使函数在的图像在与直线只有一个交点，则或，所以或．21.2024年我市某新能源汽车生产企业安排引进一批新能源汽车设备，经过前期的市场调研，生产新能源汽车制造设备，预料全年需投入固定成本500万元，每生产百台设备，需另投入成本万元，且依据市场行情，每百台设备售价为700万元，且当年内生产的设备当年能全部销售完．（1）求2024年该企业年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式；（2）2024年产量为多少百台时，企业所获年利润最大？最大年利润是多少万元？（注：利润=销售额－成本）【答案】（1）（2）2024年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元【解析】【分析】（1）依据利润=（销售额－投入成本－固定成本）求出关于的函数关系式；（2）分别求两段函数的最大值，再取它们中较大者为最大年利润.【小问1详解】由题知当时，当时，所以【小问2详解】若，，所以当时，若，，，当且仅当即时，．因为,所以2024年产量为100百台时，企业所获年利润最大，最大年利润是8900万元.22.已知幂函数是其定义域上的增函数．（1）求函数的解析式；（2）若函数，，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2）存在（3）【解析】【分析】（1）因为是幂函数，所以；（2）考虑函数中x的次数，换元成二次函数解题；（3）因为在定义域范围内为减函数，故有，相减后得，进而，换元成二次函数解题.【小问1详