2023-2024学年吉林省“三区九校”高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年吉林省“三区九校”高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数5i−2的共轭复数是(

)A.2+i B.−2+i C.−2−i D.2−i2.已知a,b是两个单位向量，则下列四个结论正确的是(

)A.a=b B.a⋅b=1 3.如图，正方形OABC边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是(

)

A.2cm2 B.2cm24.从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为(a,b)，则logab为正整数的概率为A.320 B.15 C.1105.为做好“甲型流感”传染防控工作，某校坚持每日测温报告，以下是高三(一)班，高三(二)班各10名同学的体温记录(从低到高)：高三(一)班：36.1，36.2，36.3，36.4，36.5，36.7，36.7，36.8，36.8，37.0(单位：℃)，高三(二)班：36.1，36.1，36.3，36.3，36.4，36.4，36.5，36.7，36.9，37.1(单位：℃)则高三(一)班这组数据的第25百分位数和高三(二)班第80百分位数分别为(

)A.36.3，36.7 B.36.3，36.8 C.36.25，36.7 D.36.25，36.86.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，l⊄α,l⊄β,则(

)A.α // β且l// α B.α⊥β且l⊥β

C.α与β相交，且交线垂直于l D.α与β相交，且交线平行于l7.随着卡塔尔世界杯的举办，全民对足球的热爱程度有所提高，组委会在某场比赛结束后，随机抽取了若干名球迷对足球“喜爱度”进行调查评分，把喜爱程度较高的按年龄分成5组，其中第一组：[20,25)，第二组：[25,30)，第三组：[30,35)，第四组：[35,40)，第五组：[40,45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第四组与第五组共有150人，第二组中女性球迷有75人，则第二组中男性球迷的人数为(

)

A.140 B.120 C.100 D.808.已知▵ABC中，角A,B,C对应的边分别为a，b，c，D是AB的中点且CD=1，a−bc+b=sinC−sinBA.832 B.833二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知平面向量a=−1,2，b=3,−4A.a⋅b=−11 B.b在a上的投影向量为−2a

C.与b共线的单位向量的坐标为−35,410.已知事件A,B,则下列说法正确的是(

)A.若B⊆A,则PA∪B=PA

B.若A,B互斥，则PA+PB≤1

C.若A,B独立，则11.已知四边形ABCD是等腰梯形(如图1)，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB.将▵ADE沿DE折起，使得AE⊥EB(如图2)，连结AC，AB，设M是AB的中点.下列结论中正确的是(

)

A.BC⊥AD B.点E到平面AMC的距离为​63

C.EM//平面ACD D.四面体ABCE三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知圆台的上，下底面半径分别为2和6，母线长为8.则该圆台的表面积为

．13.已知事件A、B互斥，PA∪B=35，且PA=2PB，则14.如图，一幢高楼楼面上有一块浮雕，上沿为C，下沿为D，某班数学小组在斜坡AB坡脚A处测得浮雕下沿D的仰角α满足tanα=43，在斜坡AB上的B处测得∠ABC满足tan∠ABC=1711.已知斜坡AB与地面的夹角为∠BAH满足tan∠BAH=13,AB=210m，AE=8m，则浮雕四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知z是复数，z+1为纯虚数，zi的实部为2(i为虚数单位)(1)求复数z;(2)求z⋅3+4i的模．16.(本小题12分)在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b1+(1)求角C；(2)若c=23，且1sinA17.(本小题12分)某校对2022年高一上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图：请完成以下问题：(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均数；(2)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在[50,60)和[60,70)的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生至少有1人成绩在[60,70)内的概率．18.(本小题12分)在四棱锥P−ABCD中，∠ABC=90∘,∠BAC=∠DAC=π3,AC2=AB⋅AD,PA⊥平面ABCD，E(1)求证：平面BPC⊥平面AEF;(2)求二面角E−AC−D的大小．19.(本小题12分)国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位(下述简称为“第一批文保单位”)分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓群”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表：行政区门类个数东城区A：革命遗址及革命纪念建筑物3C：古建筑及历史纪念建筑物5西城区C：古建筑及历史纪念建筑物2丰台区A：革命遗址及革命纪念建筑物1海淀区C：古建筑及历史纪念建筑物2房山区C：古建筑及历史纪念建筑物1E：古遗址1昌平区C：古建筑及历史纪念建筑物1F：古墓葬1(1)某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率；(2)小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率；(3)现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为p1，抽不到海淀区的概率为p2，试判断p1和p答案解析1.B

【解析】解：5i−2=5−i−2i−22.D

【解析】解：对于A，因为a,所以a=b不一定成立，故对于B，a⋅b=a⋅对于C，a2=a2=1,对于D，|a|2故选：D．3.C

【解析】在直观图中，OA=1,OB=所以在原图中OA′=1,OB′=2所以原图形的面积是2故选：C．4.A

【解析】从4，2，3，8，9中任取两个不同的数，记为a,b，共有20个基本事件，分别为(4,2),(4,3),(4,8),(4,9),(2,4),(2,3),(2,8),(2,9),(3,4),(3,2),(3,8),(3,9)，(8,4),(8,2),(8,3),(8,9),(9,4),(9,2),(9,3),(9,8)，记“logab所以事件A包含3个基本事件：(2,4),(3,9),(2,8)，故其概率为P(A)=3故选：A．5.B

【解析】10×0.25=2.5，故从小到大，选取第3个数据作为高三(一)班这组数据的第25百分位数，即36.3；10×0.8=8，故从小到大，选取第8个和第9个数据的平均数作为第80百分位数，即36.7+36.92故选：B．6.D

【解析】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l//α．

又n⊥平面β，l⊥n,l⊄β，所以l//β．

由直线m,n为异面直线，且m⊥平面α,n⊥平面β，

则α与β相交，否则，若α//β，则推出m//n，与m,n异面矛盾，

所以α,β相交，且交线平行于l．

故选D．7.C

【解析】由题意结合频率分布直方图可得，第四组与第五组的频率之和为(0.04+0.02)×5=0.3，第二组频率为0.07×5=0.35．因为第四组与第五组共有150人，所以样本容量n=150所以第二组人数为500×0.35=175，所以第二组中男性球迷人数为175−75=100．故选：C．8.C

【解析】因为a−bc+b=sin由正弦定理得aa−b=c+bc−b，可得所以cos∠ACB=又∠ACB∈0,π，则∠ACB=D是AB的中点，CD=1，故CA+两边平方得CA2∴b2+其中ab≤a+b24，故b+a2=4+ab≤4+解得a+b≤4故选：C9.AD

【解析】对于A，a⋅b=−1×3+2×(−4)=−11对于B，b在a方向上的投影向量a⋅ba对于C，与b共线的单位向量为±b|b|=±15对于D，cosa,b故选：AD．10.ABD

【解析】若B⊆A，则P(A∪B)=P(A)，故A正确；因为A，B互斥，所以PA+PB因为A，B独立，由独立事件的性质可知：二者同时发生的概率P(AB)=P(A)P(B)，由概率大于零可知：P(A)+P(B)≤1不一定成立，故C错误；因为A，B独立，所以PAPB故选：ABD．11.BD

【解析】解：因为DE⊥AB，∠BAD=45°，所以△ADE为等腰直角三角形，过C做CF⊥AB，交AB于F，如图所示：所以△ADE≌△BCF，即AE=BF，又AB=3，DC=1，所以AE=EF=FB=DE=CF=1，则AD=BC=对于A：因为AE⊥EB，AE⊥DE，

BE⋂DE=E，BE,DE⊂平面BCDE，所以AE⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，所以AE⊥BC，若BC⊥AD，

且AE⋂AD=A，AE,AD⊂平面ADE，则BC⊥平面ADE，DE⊂平面ADE，所以BC⊥DE，与已知矛盾，所以BC与AD不垂直，故A错误；对于B：连接MC，如图所示，在Rt△DEC中，DE=DC=1，所以EC=​2，又BC=所以EC2+B又因为AE⊥BC，AE⋂EC=E，AE,EC⊂平面AEC，所以BC⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，所以BC⊥AC，即△ABC为直角三角形，在Rt△AEC中，AE=1,EC=2，所以因为M是AB的中点，所以△AMC的面积为Rt△ABC面积的一半，所以S△AMC因为DE⊥AE,DE⊥EB，AE∩EB=E,AE,EB⊂平面AEB，

所以DE⊥平面AEB，所以DE即为点D到平面AEM的距离，因为VE−AMC=VC−AEM，设点E到平面则13×S所以ℎ=63，所以点E到平面AMC的距离为​对于C：因为EB//DC，EB⊄平面ADC，DC⊂平面ADC，所以EB//平面ADC，若EM//平面ACD，且EB∩EM=E,EB,EM⊂平面AEB，所以平面ACD//平面AEB，与已知矛盾，故C错误．对于D：因为EC⊥BC，所以▵BCE的外接圆圆心为EB的中点，又因为AE⊥EB，所以△ABE的外接圆圆心为AB的中点M，根据球的几何性质可得：四面体ABCE的外接球心为M，又E为球上一点，在△ABE中，EM=所以外接球半径R=ME=所以四面体ABCE的外接球表面积S=4πR2=4π×54=5π，故12.104π

【解析】由题意知该圆台的表面积为：S=πR故答案为：104π13.45【解析】解：∵事件A、B互斥，且PA∵

P∴解得PB∴PB故答案为：4514.3815【解析】过B作BF⊥CE于点F，则四边形BHEF是矩形，在Rt▵ADE中，tanα=所以DE=32在Rt▵ABH中，tan∠BAH=13所以cos∠BAH=所以AH=6，BH=所以BF=HE=AH+AE=6+8=14，在Rt▵BCF中，tan=tan而tan∠CBF=所以CF=56所以CD=CE−DE=(CF+EF)−DE=56故答案为：381515.（1）设z=a+bi(a,b∈R)，由z+1=(a+1)+bi

为

纯虚数，则a+1=0，得a=−1,b≠0由zi=a+bii=b−ai所以z=−1+2i；（2）z⋅(3+4i)=(−1+2i)(3+4i)=−11+2i，z⋅(3+4i)=【解析】(1)设z=a+bi(a,b∈R)，由已知条件列方程求出a,b即可；(2)由复数的乘法化简z⋅3+4i16.（1）因为b1+cosC所以由正弦定理得，sin=sin又sinB>0，所以cos又0<C<π，所以C=2π（2）由c=23，则故1sinA=4a所以a+b=ab，又cosC=a2则a+b2解得ab=4，所以▵ABC

的

面积为S=1

【解析】(1)根据正弦定理求出cosC=−12，再由0<C<π(2)由已知条件及正弦定理得a+b=ab，根据余弦定理得a2+b2+ab−12=017.（1）由10(0.01+0.01+0.015+0.04+a+0.005)=1，得a=0.02，数学成绩在[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的频率依次为：0.1,0.1,0.15,0.4,0.2,0.05，样本平均值为：45×0.1+55×0.1+65×0.15+75×0.4+85×0.2+95×0.05=71.5，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计71.5分．（2）依题意，分数段50,60内人数为100×0.1=10，分数段60,70内人数为100×0.15=15，按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在分数段50,60内抽2人，记为A1,A2，在分数段60,70内抽设“从样本中任取2人，至少有1人在分数段60,70内”为事件A，则样本空间Ω=A1A而A的对立事件A=A1A2所以抽取的这2名学生至少有1人在[60,70)内的概率为910【解析】(1)根据频率分布表求出a，再求出样本平均数，并估计该校高一期中数学考试成绩的平均数．(2)求出在[50,60)和[60,70)内抽取的人数，再用列举法求出概率即得．18.（1）∵∠BAC=∠CAD=π∴▵ABC∽▵ACD,∴∠ACD=90∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA，又∠ACD=90∵PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,∴CD⊥PC，又在▵PCD中，E,F分别为PD,PC中点，故EF//DC,∴EF⊥PC，又∵∠ACB=π又∵F是PC中点，∴PC⊥AF，又∵FA∩FE=F,PC⊥AF,PC⊥EF∴PC⊥平面AEF，∵PC⊂平面BPC，∴平面BPC⊥平面AEF．（2）取AD的中点M，连接EM，取AC的中点H，连接EH,MH，由EM//PA,PA⊥平面ABC